芝诺“飞矢不动”的悖论说：飞行的箭，每个时刻都占据了一个确定的位置，这意味着它不会同时存在其他的位置，箭矢的位置固定，所以它在这时刻是静止的。依此推理，飞行的箭在任何时刻都是静止的，所以运动在逻辑上是不可能的。

对于这个悖论，有不同的解答。黑格尔认为运动就是一对矛盾，每个时刻飞矢是既在这个位置又不在这个位置上，用辩证法回避了形而上学的挖掘。康德认为时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性，这个矛盾是我们过去时空观念的疵瑕。休谟否认时空的无限可分性，以此也可以给出有穷时空的离散化解释。而牛顿坚持了时空无穷可分的观点，用微积分给予近代的解释。从而也让时空无穷可分的假设变成了公认的真理。

运动在直观上是个时间段上位移的现象，当一个物体在时刻t₀到t₁的时段，从位置x₀到了x₁，如果Δt = t₁-t₀≠0时Δx = x₁-x₀≠0，我们说它是在运动。物体在这时段的速度为Δx /Δt，意思是位移对时段里时间流逝的变化率。物体时刻t₁在位置x₁，这个信息，不足以判定它是静止还是运动的。只要Δt > 0，速度Δx/Δt≠0，在 [t₀，t₁）时段都是在运动，牛顿把这确信是运动的区间无限缩小，当Δt→0，Δx/Δt→v时，用这个无穷过程的极限，把运动和速度的概念扩展到时刻和位置点上，定义时刻t₁，物体在位置x₁处的速度为v，只要t₁时刻（或x₁位置上）v≠0，说明这时在这一点也是在运动。

这区间里的运动和速度，从单纯逻辑上不能推出在t₁和x₁也是如此，这里还需要一个假设。他的信念是，运动的概念在这无穷过程推到了极限，都应该保持不变，在数学上的表达是：运动速度是连续，也就是说它不会在同一时刻有不同的值。牛顿用速度加速度的极限定义和力学第二定律，规定速度是连续的，而力可以是不连续的。在牛顿的力学世界里，运动是一阶可导的位置函数。

当计算区间无限缩小到达极限时，时段变成了时刻，位移变成了位置，这个变化实质是，无穷的过程用它的极限值来代表了。比值的无穷过程说法（这是柯西略微修正了牛顿无穷过程的比值说法），赋予速度新的含义，称之为在这一点的导数。微积分里用了莱布尼茨在数学上不严谨但应用上很直观符号，记为：dx/dt.

这个无穷解释的观念影响至今，有了微积分这个利器，从此人们慢慢习惯世界是连续、无穷可分、确定性的，甚至是线性的了。这再次体现了康德的名言：“理性为自然立法”。

实数域上函数$f(x)$在某一点的导数$f’(x)$是函数值在这一点的变化率，它的直观几何图像是函数在这一点切线的斜率。函数的微分与变量的微分是一种线性关系$df(x)=f’(x)dx$，这让人们构造数学模型时可以应用叠加原理，在近似时用差分来计算，因此被广泛地应用。

实数或复数值函数在所有点的导数，构成了导函数。所以对函数求导，可以看成函数空间的一种线性变换。记微分算子$D=\frac{d}{dx}, \; Df(x)=f'(x)$，它是作用在巴拿赫空间的一个线性算子。让我们从线性代数的角度来看，这线性算子将怎么分解所在的空间。

在线性代数中，我们知道线性算子在线性空间中有特征值，特征向量的子集，张成对这算子的不变子空间，全体构成线性空间的基，所有的向量都可表示为这些特征向量的线性组合。微分算子特征向量和它们张成的子空间对导数和积分运算封闭，微分方程在这里表现成向量之间的代数关系式，我们可以用它来解微分方程和逼近。下面考察怎样应用特征向量的例子。

显然，指数函数$e^{-iat}$是微分算子D的一个特征向量，这里i是虚数符号，a是任意复数，t是实数变量。对这特征向量，D的特征值是-ia。取任意一组这样的特征向量，它们的线性组合是微分算子D的不变子空间。但是仅仅如此的应用不多，我们更关心的是能否有个可数的正交基张成希尔伯特空间，让它里面的函数都能表示成无穷级数的和。这就和空间的拓扑性质有关了。

考虑希尔伯特空间L²[0,2π]，那么D的特征向量集合$\{e_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ikt} \; | \; k \in  \mathbb{Z} \}$便是这空间上的一个正交归一基。

让我们首先来验证正交归一性。对于L²[0, 2π]空间，它的内积定义是$ \left \langle f{(\cdot)},g(\cdot) \right \rangle = \int_0^{2\pi}f(t)\overline{g(t)}dt$，对于任意整数m,n，我们有：

$\left \langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-imt},\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-int}\right \rangle =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-imt}e^{int}dt =\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-i(m-n)t}dt = \delta_{mn}$

这就证明了它们是正交归一的。空间中向量$f(\cdot)\in L^2[0,2\pi]$在e_k上的投影是：

$\left \langle f(\cdot),e_k \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{2\pi}f(t)e^{ikt}dt$

这是大家熟悉的函数$f(\cdot)$傅立叶系数的复数形式（若将复数展开成余弦和正弦正交基，则系数乘一个常数因子）。函数$f(\cdot)$对这组向量的分解是傅立叶级数，不难证明这个傅立叶级数收敛于$f(\cdot)$。所以它们构成了L²[0, 2π]空间上的基。经典的傅立叶级数，就是建立在微分算子D一组在L²[-T，T]空间正交归一的特征向量上。这组可数的基张成了L²[-T，T]希尔伯特空间。

注意到微分算子D，有不可数的特征向量$e^{-iat}$，所以它们在无穷序列表达下可能是线性相关的。这取决于它们所在的空间。

是不是所有希尔伯特空间中的点都能表达成无穷级数？也就是说，是不是它们都有可数的基？答案是否定的。

例如：对于函数定义内积为$\left \langle f(\cdot),g(\cdot) \right \rangle = \lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_{-T\pi}^{T\pi} f(t)\overline{g(t)}dt$，它构造了一个希尔伯特空间$L^2(-\infty, \infty)*$，对所有的实数s，t的函数$e_s(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ist} $都是这空间上线性算子D的特征向量，不难验证它们是正交归一的，这组向量是不可数的。

$L^2[-T, T]$是可分的希尔伯特空间，里面的函数可以用傅立叶级数来表达（在L²积分意义下收敛，级数展开几乎处处逐点收敛于它）。而$L^2(-\infty, \infty)*$ 这希尔伯特空间是不可分的，所以这里的函数不能用傅立叶级数来表达。例子里那组向量是个不可数的正交归一基，这空间里的函数可以用积分变换来表达对这组基的分解和线性组合。从内积公式得到傅立叶变换，即是对这组基分解的分布函数；对基向量分布性分解的线性组合可直接写出傅立叶变换的反演。这提供了一个通俗的直观解读。更深入的探讨，诸如无穷区域的积分，无穷小分解系数分布函数的表达，积分的线性组合表示，及扩充到广义函数等等数学细节，在Sobolev空间可以得到更严谨的解读。

数学是直观想象在逻辑上精确化的学问。希尔伯特空间的研究，源自狄拉克对量子力学算符的表达。狄拉克非常注重数学上形式的美，简洁的美，他以此扩充了许多直观概念的应用场合，取得十分漂亮的结果。但在无穷世界的想象，还是需要用精确的逻辑来校正。1927年冯·诺依曼、希尔伯待和诺戴姆的论文《量子力学基础》，纠正了狄拉克缺乏严谨的不足。

在早期的泛函分析研究，特别是在物理应用中，希尔伯特空间指的是可分的完备的内积空间，即这空间有可数的稠集。上面的例子说明并非都是如此的。

大家已经熟悉在$\mathbb{R}^n$空间上的微分，怎么将它推广到往整体看不是那么“平整”的空间？先看看平面几何是怎么使用的。我们生活的大地实际上是地球球面上的一部分，把这个局部当作2维的欧几里德空间，或者说映射到$\mathbb{R}^2$空间。每一个局部地方在映射下对应着一个平面地图，球面上每个地点对应着平面地图上一个坐标，我们可以用坐标进行这个球面局部的各种计算。用几张平面地图覆盖了全球，就可以计算地球的各处。

对高维和更一般情况，也可以类似地，把拓扑空间X的一个局部开集，一一映射到$\mathbb{R}^n$空间上来计算。X空间上的一个点x对应着$\mathbb{R}^n$空间上的一个点，称为x的坐标，x的邻域对应着坐标的邻域以保持对应的收敛关系。所以这个映射必须是同胚的，也就是这个一一对应的映射双向都是连续的，就像X中的这个开集通过伸缩变形展平成$\mathbb{R}^n$空间的开集一样。如果有一族这样的开集覆盖了X，都能做到这样的映射，那么X上的每个点都有了n维实数的局部坐标。这样的X空间便称为流形。覆盖开集的重叠部分，流形上的点在不同映射的局部坐标系上，可以进行坐标变换。因为这样的映射是定义在开集上，所以x点总有一个足够小的邻域是完全在一个映射的局部坐标系上，x点与它坐标的收敛关系是一一对应的，如果交集之处的坐标变换是连续可导的，整个流形通过这些映射的坐标系，便可以有对应的微积分计算，这时称为微分流形。

当然并非任何的拓扑空间都能做到这一点。流形X的拓扑不能太粗，对于两个点必须有能够分开的邻域，即是T2或者称为Hausdorff空间；拓扑也不能太复杂，要有可数的拓扑基（其元素的并能够生成所有开集，即是第二可数的）。局部映射必须与相同维数的$\mathbb{R}^n$空间同胚。下面是用数学语言描述的定义。

X是第二可数，T2的拓扑空间，若在一个覆盖X的开集族中的每个开集，都有一个嵌入$\mathbb{R}^n$的同胚映射，X可以称为n维拓扑流形，这个映射称为坐标图。在拓扑流形上，两个坐标图交集部分的点在不同的坐标图上映成不同的（坐标）点，如果这两个坐标变换函数有r阶连续导数，则称它们是C^r相容的坐标图。如果所有坐标图都是C^r相容的，则称这个流形为C^r微分流形。r为无穷大时称为光滑微分流形。

对于一般的距离空间，它是T2，但只是第一可数的。如果它还是可分的，则它是第二可数的，这个拓扑中任何的开集都能由一组可数开球，用它们的并集来构成。可分的距离空间满足第二可数和T2的条件，只要每点的开邻域都有同维数的同胚坐标映射，就可以是流形。

两个维数分别为m和n的C^r微分流形间的映射称为C^r映射，它可以表示为对应点局部坐标上的C^r函数。对这个函数的求导和积分，对应着这两个流形间的映射在这局部区域上的相应的运算。比如说，n维光滑微分流形X到$\mathbb{R}$的函数，在X中点x的邻域对应着$\mathbb{R}^n$空间上一段光滑曲线。这条光滑曲线，对应着x点的切线（用方向导数表示）是一个n维向量，所有这些切向量形成的空间称为X在x处的切空间。虽然上述的切空间是由某一局部坐标系下定义的，可以证明不同的坐标系导出的切空间是相同的。直观上可以想象成二维X曲面在x这一点上的切平面。如果一个映射F将C^r微分流形X上每一点都对应着它切空间上的一个向量，F称为C^r向量场，在局部坐标下表示如下，其参数都是C^r函数。

$F = \sum _{i=1}^n a_i(x)\frac{\partial }{\partial x_i}$

纤维丛的定义了包含三个拓扑空间B，M，Y和一个投影映射p：基空间M是全空间B的投影p(B)=M；基空间上每一个点x对应着这个投影在全空间B里的原像p^-1(x)，这原像与丛空间Y同胚，称为这点上的丛；基空间上每一点存在着一个邻域U，直积空间UxY与U的投影原像p^-1(U)同胚。在直观上可以想象二维曲面M，每一点x上都有一根p^-1(x)的纤维，这些纤维互不相交，全体构成三维空间B。B中的每一点都可以沿着纤维对应到M的同一个点上（称为投影），全空间上点的邻域在纤维上和投影到基空间上仍然是它们的邻域。不要把基空间M想象成一把刷子的底部，M应该看成是全空间的一个横截面，密实的纤维集束穿过这个横截面向两边无限延伸。每根纤维都像直线Y的弯曲变形。纤维丛的数学模型也可以用来描述物理空间中的场。

微分流形和纤维丛，若以欧几里德三维空间中的曲面和纤维集束几何体来看，都不难想象其图像。不过它们是在抽象的点集拓扑空间上有严格的定义，从而能够在上面推广微积分的应用。这些都是现代微分几何课程的内容，这里的简略介绍，希望通过较精确的数学定义，让大家可以想象这些概念。

（待续）

【扩展阅读】

1. 冯·诺依曼关于量子理论的数学基础，算子环，遍历理论的研究http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/2/25/2_25_1008.htm

2. 钱诚德，高等量子力学http://course.zjnu.cn/huangshihua/book/%E9%92%B1%E8%AF%9A%E5%BE%B7_%E9%AB%98%E7%AD%89%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6.pdf

3. 关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979

4. 维基百科，流形http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%81%E5%BD%A2

5. 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社，2007 http://product.dangdang.com/9350967.html