数学的空间是集合上赋有某些数学性质的论域。距离空间赋予集合中点的远近概念，让我们可以很直观地想象无穷空间中的收敛、极限和连续。微分、积分和求极限的计算都是线性的，线性运算依赖于，所在空间的点有着对线性运算封闭的代数结构。微积分中大部分概念，可以在有拓扑结构和线性结构的点集空间中理解和推广。所以我们要了解同时拥有这两种结构的空间。

集合X中的元素如果对线性运算封闭，即对于数域（实数或复数）$\mathbb{K}$

$ x, y \in X, a \in \mathbb{K}\Rightarrow x+y \in X, ax \in X$

那它是线性空间，其中元素叫向量。赋予向量“长度”（范数）的概念，则可以导出距离。

设X是数域$\mathbb{K}$上的线性空间，X上的范数定义为从X到$\mathbb{R}$一个映射：$x\mapsto \Vert x\Vert$ ，它对于任意的$ x, y \in X, a \in\mathbb{K}$ 满足非负性，比例性和三角不等式：

$\Vert x\Vert\ge 0, \Vert x\Vert =0 \Leftrightarrow x=0$; $\Vert ax\Vert=|a|\Vert x\Vert$ ; $\Vert x+y \Vert  \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert$

$\Vert x\Vert$叫做点x的范数（norm），赋以范数的线性空间叫做线性赋范空间（Normed linear space）或简称赋范空间，记为$(X,\Vert \cdot\Vert)$.

线性赋范空间是定义了“长度”的线性空间，空间中两个点之差也是个空间中的点，以此可用长度来定义距离。令$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$，则定义了一个距离。如果线性赋范空间按其导出的距离是个完备的距离空间，则称它是巴拿赫（Banach）空间。线性空间中的点有时也称为向量，以强调它的线性元素性质。

在线性代数中，大家熟悉的是有限维的线性空间，赋向量予范数，当然也成了赋范空间。所以实数以其绝对值为范数，n维欧几里德空间以其分量平分和的开平方为范数，都是巴拿赫空间。显然还可以以其他方式来定义不同的范数，可以证明n维赋范空间不同定义的范数都是等价的，因此n维巴拿赫空间不同定义的距离也都是等价的。就是说，它们在一种定义下收敛，在另一种定义下也必然如此。从实数的完备性，不难推出它们的完备性。这些已是大家熟知的结果。

对巴拿赫空间，人们更感兴趣的是无穷维的情况，它的性质略有些不同。让我们看几个例子。

例5.1：在闭区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]，对任意的$f\in C[a,b] $ 定义范数 $\Vert f\Vert = \max_{a\leq t \leq b} |f(t)|$，它是一个巴拿赫空间。

线性空间的维数是其中最多线性不相关向量的个数。在闭区间[a,b]上的多项式是这个巴拿赫空间上的向量，它们不可能都是有限个幂函数xⁿ的线性组合，所以这空间是无穷维的。

例5.2：记无穷数列x =（x_n）为集合中的一个点，对于任何一个自然数p，都可以定义一个范数 $\Vert x \Vert_p = (\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p)^{1/p},\;\;\; 1\le p<\infty$

对于给定的自然数p，范数值有限的无穷数列的集合，在这范数下是一个巴拿赫空间，这空间很有用，记为$l^p$。

例5.3：在E上p次勒贝格可积函数，在下面范数下是一个巴拿赫空间，这是分析中更常遇见的空间，记为$L^p(E)$, $\Vert f \Vert_p = (\int_E|f(x)|^p dx)^{1/p},\;\;\; 1\le p<\infty$

下面将看到以$L^2(E)$最为著名。$l^\infty$,$L^\infty(E)$及更多巴拿赫空间的例子见【1】。

既然线性空间的点，被看作是向量，从几何直观上很自然会想象到夹角的概念，如果用正交的向量做分解，在物理和工程上会很有用。这要推广欧几里德空间的内积概念。

设X是数域$\mathbb{K}$（通常指实数或复数）上的线性空间，定义映射$\left\langle x,y \right \rangle$ : $X\times X\rightarrow \mathbb{K}$，称为X上的内积，如果它满足下列性质：$\forall x,y,z\in X, \forall a,b \in \mathbb{K}$ 有

正定性: $\left\langle x,x\right \rangle \ge 0, \left \langle x,x \right \rangle = 0\Leftrightarrow x=0$;

共轭对称性:$\left\langle x,y \right \rangle = \overline{\left \langle y,x \right \rangle}$;

对第一变量的线性: $\left\langle ax+by,z \right \rangle = a\left \langle x,z \right \rangle + b \left\langle y,z \right \rangle$

赋以内积性质的线性空间称为内积空间。（注：有的教材的定义是对第二变量线性。）

定义范数$\Vert x \Vert = \sqrt{\left \langle x,x \right \rangle}$，如果按其导出的距离是个完备的距离空间，则称它是希尔伯特（Hilbert）空间。

不难看到，例5.2和5.3中$l^2$和$L^2$空间，很容易用内积来定义。

例5.4：$l^p$空间中无穷数列x =（x_n），y =（y_n）定义它们的内积 $\left \langle x,y \right \rangle  = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n} $

不难验证，以此导出的正是前面$l^2$空间定义的范数，所以$l^2$空间是希尔伯特空间。$L^2$也可以仿此定义内积，$\left \langle x,y \right \rangle  = (\int_E x(t) \overline{y(t)} dt)^{1/2} $，所以它也是希尔伯特空间【2】。

学习线性代数时，我们知道，任何向量都可以表示为在线性空间下，基向量的线性组合。对巴拿赫空间和希尔伯特空间中的点，比如说连续函数、可积函数，是不是也可以做到这一点？当然如此，不过这个线性组合很可能是无穷级数的和或积分。比如说例5.1中连续函数可以表示为多项式级数的和（斯通-维尔斯特拉斯定理：闭区间上多项式一致逼近连续函数）。

在希尔伯特空间，因为有了内积概念，我们可以有正交归一的基，即对于它们有$\left \langle e_i,e_j \right \rangle = \delta_{ij} $。例如$e_i$为无穷数列中第i个分量为1，其余分量都为0的数列，集合$\{e_k| k \in \mathbb{N}\}$是$l^p$空间上的基，而且是$l^2$空间上的正交归一基。

在数学物理和工程应用中，为了便于微分方程求解，人们经常将函数分解为某种无穷函数项级数的和，如傅立叶级数、各种正交多项式、特殊函数等等。这样可以把微分方程变成代数方程来求解。这其实是将线性空间中的向量表示成在一组基上的线性组合。这个函数是否等于这种分解，实际上是问这个无穷级数是否收敛。学习了拓扑概念后，我们就会问这是哪一种意义下的收敛。最简单的如幂级数等指的是逐点的收敛，这只是说在收敛域里，每个点的函数值满足收敛关系，极限函数不一定保持序列中函数的性质，如有界性，连续性，可积性等等。有时我们更关心的是，能保持有某些性质的分解表示问题，这就需要了解所在的拓扑空间。

无穷维的巴拿赫空间和希尔伯特空间中的向量，可以分解为对基向量的线性组合，这并不意味着可以表示成无穷级数的和，因为基不一定是可数的。例如$e^{-st},\;\;s\ge 0$是一族函数集合的基，它是不可数的。能否做到对可数基的分解，取决于空间的拓扑，或是怎么定义它的范数和内积。

巴拿赫空间有可数的基（向量），当且仅当它是可分的，也就是说这空间有可数的稠集。显然，如果希尔伯特空间的向量都能表示成正交归一基的无穷级数和，它是可分的。反之，可分的希尔伯特空间中的向量，都能表示成正交归一基的无穷级数和。

对于可分的希尔伯特空间，将一个可数的稠集的点排成序列，剔去与序列中前面线性相关的点，形成了一个线性独立的序列，再将这组序列用Gram－Schmidt方法正交归一化，都可以形成了一个可数的正交归一基（e_k）。可分的希尔伯特空间中的点x，都可以在这个基上分解，也就是等于收敛的级数。 $x = \sum _{k=0}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k$

也就是说在基（e_k）下，x一一对应着数列$\langle x, e_k \rangle $，不难证明这个数列是$l^2$空间的点，这个对应保持了线性关系，极限和内积的不变，即它与$l^2$空间等价。可分的希尔伯特空间在内积的对应关系下是等价的。

尽管可分的希尔伯特空间在内积的抽象下可以看成是唯一的。空间中的点都可以等于一个收敛的级数。但是不同的内积和不同线性独立向量的选取，可以形成不同的正交归一基，方便用于不同的应用。比如说应用于通讯工程信号处理的L²(0,1)中的Haar函数组与Walsh函数组，物理中用到的Hermite多项式等。

不能表示为无穷级数和的函数，也可能表示为不可数基向量的线性组合，即积分变换。比如说，对不可数基$e^{-ist}$向量用内积公式来分解的傅立叶变换，和对基向量线性组合（积分）的傅立叶变换反演。

学习数学概念，最起码的功课是用一个简单的例子，根据定义自己走过一遍，才能得到真正的体会。如果你相信自己是理解了，例5.2，5.3和5.4中$l^2$和$L^2$是两个简单的例子。请从内积、范数、距离、收敛、完备的概念开始，验证它们符合定义，证明它们是巴拿赫空间，并且也是希尔伯特空间，而且是可分的。这些证明都不需要技巧，范数和内积中的不等式可以直接引用Minkowski和Holder不等式【4】【5】，其他都没有难度，只是验证对概念的理解。

（待续）

【扩展阅读】

1. 互动百科，巴拿赫空间 http://www.baike.com/wiki/%E5%B7%B4%E6%8B%BF%E8%B5%AB%E7%A9%BA%E9%97%B4 

2. 维基百科，希尔伯特空间http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4

3. 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社，2007 http://product.dangdang.com/9350967.html

4. 维基百科，闵可夫斯基不等式http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%97%B5%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E6%96%AF%E5%9F%BA%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

5. 维基百科，赫尔德不等式http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%AB%E5%B0%94%E5%BE%B7%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F