上一篇从很抽象的角度，介绍了能够支持收敛极限的数学空间。用拓扑空间的定义和例子，从高处俯瞰你学过的初等微积分，把散落的知识，用概念间的联系组织起来，让你看到这些基本概念构筑成一个概括的，无穷空间模糊的图像。

学习没有捷径，唯常习练才能走通。旁人传的只是心法体会。如果没有过去学的微积分知识作为基础，这系列的内容即便记住了，也浮在云中，不过是观光游览。只有用学过的定理公式作为理解概念的桩脚，约束散漫的联想，抽象概念的想象才能落到实处。只有将文中定义，示例和关联的陈述，逐个用逻辑走通，勾画出来的骨架上才有色彩，才有直观想象。正确的想象和浮想的区别，前者可以作为证明的思路，其间的推理能用数学语言来表达和证明。而浮想除了娱乐，推论犹如算卦，不能明确也就没有实用的价值。

如果你已经消化了前几篇，这里将介绍具有更为直观的空间，让你头脑中图像更加鲜明。

很抽象的拓扑空间，缺乏足够的性能可直接用于物理和工程。这一篇和下面一篇，介绍在理论物理和实变泛函课中常见到的，拥有更多性质的拓扑空间。通过它们的联系，揭示相关的数学概念。读者试着从定义来验证所举的例子和关联陈述，用逻辑走通来消化概念，细化前篇建立起来的直观想象。

在集合上的两个点间，如果有了“距离”这个度量，将是应用者最易于想象远近相邻概念的拓扑。这时趋近、收敛和极限，就非常直观了。所以它在物理和数学中有着广泛的应用。这样的拓扑空间叫做距离空间（Metric space），有时也译为“度量空间”。

在集合上怎么抽象化“距离”，让它有最大外延又符合已有的直观想象？首先，它是个两点间非负实数值的度量，0值意味着相等，非0视为不同，这度量对两点是对称的，三点相互之间犹如三角形的三边长度关系。

在集合M上，距离定义为一个二元实数值函数$\rho : M\times M \rightarrow\mathbb{R}$，对M上任意的x, y, z有下列非负，相等，对称，三角不等式的性质：

ρ(x,y)≥0 ，ρ(x,y)=0 $\Leftrightarrow $ x=y ，ρ(x,y)=ρ(y,x) ，ρ(x,y)+ρ(y,z)≥ρ(x,z)

对于任何实数$r>0,x_0\in M$，集合$\{x\in M \;|\; \rho(x,x_0)<r\}$定义了一个以x₀为中心，r为半径的开球。以它们为开集，生成了M上的拓扑，它构成的拓扑空间称为距离空间，记为（M,ρ）。实际上这空间的开集都能用开球的并来构成，这样的一组开集（在距离空间是开球）称为拓扑基。具有可数拓扑基的空间，称为第二可数的。第二可数的空间都是第一可数的。想象一下实数中以有理数为边界值的开区间，它们的各种并集构造出实数上所有的开集。同理可证$\mathbb{R}^n$空间（在通常的拓扑下），都是第二可数的空间。一般距离空间不一定是第二可数的。但都是第一可数的。

可以证明，距离空间中点的邻域，都包含有以这点为中心足够小半径的开球，所以一般拓扑空间中用邻域表达收敛的定义，可以用距离表达如下：

记无穷序列$x_1,x_2,x_3,…$为$(x_n)$，集合X上的无穷序列$(x_n)$收敛于a，即 $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a $ 或者 $a_n \rightarrow a , \mbox{ } (n \rightarrow \infty) $，意思是：

$\forall \varepsilon > 0, \;\exists N \in \mathbb{N},\;\forall n ( n>N \Rightarrow \rho (a_n,a) < \varepsilon ) $

距离空间的邻域必定包含有半径为有理数的小球，所以它是第一可数的，集合的聚点都有集合中的一个序列来趋近它。

在实数上二元函数d(x,y)=|x-y|，它满足距离的定义，所以（$\mathbb{R}$，d）是个距离空间。以此代入上面公式，就是用$\varepsilon -N$语言表达的数列收敛的定义。

在同一个集合上，可以有多种方法来定义距离。例如，对n维实数空间上两个点，$x,y \in \mathbb{R}^n$，不难验证函数d, d₁, d₂都可以定义为$\mathbb{R}^n$上的距离。

$d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}\;\;$,$d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|\;\;$, $d_2(x,y)=\max_i\{|x_i-y_i|\}$

特别地，距离空间（$\mathbb{R}^n$，d）称为n维欧几里德空间。上面谈到的开球概念，是逻辑上离中心距离小于一个数的点集合，你可以把它想象成在三维各向同性空间的球体。对d，d₁，d₂不同距离定义的开球，如在变形的空间，具有不同的几何形状。但相互间，放大一个便能将另一包住，所以用不同距离定义出的收敛都是一样的（等价的），它们构成的空间并没有本质的区别。下面会看到，对一般的距离空间并非都是如此。

同样地，可以定义柯西列$(x_n)$：

$\forall \varepsilon > 0, \;\exists N\in \mathbb{N}, \;\forall n \forall m ( m,n>N \Rightarrow \rho (a_n,a_m)< \varepsilon ) $

收敛的序列都是柯西列，完备的距离空间中柯西列都收敛。欧几里德空间是完备的。

到目前为止，我们可以用实数上收敛极限的图像，类比地想象距离空间相应的概念。距离空间的收敛、极限和柯西列的定义类同于实数空间。点的序列类同于数列，开球相似于开区间，开集、闭集、闭包和覆盖定义性质都一样，我们可以借用实数空间的直观来想象距离空间。下面介绍距离空间的一些重要性质，来修正你过分的联想。

并非所有距离空间都有柯西列。

例4.1：对集合X上任意两个不同点x,y 定义函数d(x,x)=0，d(x,y)=1。显然它符合距离的定义。（X，d）是个距离空间，叫“离散空间”，具有离散拓扑，没有柯西列。

对于相同的基础集合，在上面定义不同距离，并非空间上收敛都是等价的。

例4.2：记C[a,b]为实数闭区间[a,b]到$\mathbb{R}$所有连续函数的集合，对$f,g \in C[a,b]$可以定义：

$\displaystyle d_1(f,g)=\int_a^b|f(t)-g(t)|dt$  

$\displaystyle d_\infty(f,g)=\max_{a\leq t \leq b} |f(t)-g(t)|$

(C[a,b],d₁)和(C[a,b],d_∞)都是距离空间，因为有$\displaystyle d_1(f,g)\leq (b-a)d_\infty (f,g)$，如果函数序列（f_n）按距离d_∞收敛的（一致收敛），则按距离d₁也必定收敛（积分平均收敛），反之则不然。

例4.3：闭区间[0,1]上连续函数集合C[0,1]，f_n(t)=tⁿ看作是下标为n的点，序列（f_n）（或直接写成（tⁿ）），按距离d₁是柯西列，按d_∞则不是，在这两个距离空间上它都不收敛。但在[0,1]上可积函数集合里，依d₁距离，（f_n(t)）收敛到一个不连续函数 f(t)：f(1)=1，0≤t<1，f(t)=0，这个极限f(t)不在C[0,1]里。

如果距离空间X中，任何柯西列都收敛到X中的一点，则称它是完备的。并非所有距离空间都是完备的。

例4.4：(C[a,b],d_∞)是完备的（连续函数序列一致收敛的极限，是连续函数）。(C[a,b],d₁)不是完备的（连续函数序列按积分平均收敛的极限，不一定是连续函数）。

例4.5：开区间（0, 1）作为实数拓扑子空间不是完备的。柯西列（1/n）在那里没极限。

实数空间是完备的，在有界和闭时就有了很好的收敛性质。对一般完备的距离空间，有界则要换成更强的完全有界的条件。下面介绍距离空间中这些概念和关系。

如果集合M中任意两点的距离，都小于一个正数，则称集合M是有界的（Bounded）；如果对于任何 r> 0，都有限多个，半径为 r 的开球覆盖 M，则称M是完全有界（Totally   Bounded）；如果M的开覆盖都有有限子覆盖，则称M是紧的或紧致的（Compact）；如果任一无穷序列，都有一个收敛的子列，则称M是列紧的（Sequentially Compact）。

实数空间和欧几里德空间是距离空间。它们都是完备的，在那里有界的集合是完全有界的，对它们有列紧性定理：有界数列，都有一个收敛的子列。但这定理对一般距离空间不成立。

例4.6：无穷序列（tⁿ）在(C[a,b],d₁)和(C[a,b],d_∞)距离空间都是有界，却都没有收敛的子列。前者是不收敛的柯西列，后者不是柯西列，也没有柯西子列。

在一般的距离空间，一个无穷序列，未必有柯西子列，但如果它是完全有界的，则有柯西子列；如果它还是完备的，则有收敛的子列，即是列紧的。

这三个性质在距离空间中等价：完全有界且完备的，列紧的，紧的。

距离空间的子集如果是完全有界的，则它也是有界的，反之则不然。

例4.7：离散空间是有界的，但无穷集合的离散空间不是完全有界的。

距离空间如果是完备的，它的闭集形成的子空间也是完备的。紧集是完全有界和闭的。实数的有界闭区间，欧几里德空间中的有界闭集都是紧的。

在直观上大致可以这样想象：距离空间中有无穷个点的集合，如果它可以被罩在越来越小的有限个开球里，这个集合的性质叫完全有界。在完全有界集合里的一个无穷序列，任给很小的开球半径，这覆盖着集合的开球数量也都有限，总有一个含有序列中无穷个点，它们在任意小的球里互相“靠近”着，这个无穷靠近的子序列是柯西列。这柯西列的极限如果是都在这空间里，这空间称为完备的；如果它都在那集合里，这集合则是闭的，这样性质的集合称为列紧的，也是紧的，意思是它很密实且被有限地覆盖。列紧性与紧致性在距离空间没有区别，在第二可数T1空间里也是如此，在更一般的拓扑空间，它们并不等价。

紧致性说明无穷空间里的一些性质，可以通过开集表示的相邻性，只经过有限的集合来确定。在有限的世界里，我们用数学归纳法来推理，对参数1具有某种性质，在某一个自然数参数正确时，都能够推出对下一个数也拥有，则对参数为任何自然数的数学式也都拥有这个性质。

紧致性则在无穷空间中，划出一类在里面可以归纳推理的集合：开集说明其中的点都有某种的性质，如果有限个开集都具有某种性质，能够推出它们覆盖住的点也都有相同的性质，则能被开集覆盖的集合的点都有相同的性质。所以空间的紧致性是有限性之外最好的性质。

考一下你能用想象来指导证明的能力。

1. 收敛的定义只是描写某一个点如何是一个无穷序列的极限。这定义并没有说明它是唯一的。实际上T1空间（各点都有不包含对方的开邻域），因为区分能力差，一个无穷序列可能收敛到空间中任何一点。T2空间（Hausdorff空间，任何两个点能有分属它们不相交的开邻域），则具有较强的区分能力。请证明：距离空间是T2的。在T2空间，一个无穷序列如果收敛，它的极限是唯一的。

2. 用例4.3，4.4，4.6介绍空间和无穷序列（tⁿ）的性质，以及这些性质间的关系，请推出这序列在(C[a,b], d₁)空间是完全有界的，在(C[a,b], d_∞)空间不是完全有界的。请描述这两函数空间里的开球是什么样的图像，为什么在d₁的距离下，可以用有限的开球能覆盖这序列，在d_∞的距离在却不能？请注意正确的想象是能够作为数学证明思路的图像。

   （待续）

    

   【扩展阅读】

1. 维基百科，度量空间http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%A6%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4

2. 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社，2007 http://product.dangdang.com/9350967.html

3. Davis Edu， MetricSpace  https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m125a/intro_analysis_ch7.pdf