无穷序列可以用来表示一种趋向。其思想仍然与归纳法一样，企图用已知来推测未知。这里是用有穷的序列项来推测无穷之处的结果。只不过数学归纳法，只能在有穷的世界里漫行，这里需要一个假设，才能用逻辑跨过边界。

大致地说，无穷序列作为数学的模型，在这无穷过程中，当后来的项越来越相像，如果这无穷过程指向一个实无穷的极限，设定的含义是：这极限与有穷过程里的项，也将会是越来越相像，以致难以区分。在这种情况下，我们有把握确定这个极限的性质，可以用这个无穷过程来定义或确定这个极限。

这里有两个问题。一是这序列能否指向一个数学实体，二是什么叫做“相像”。

第一个问题，不外乎三种情况。一是不能。那就飘过。但如果是都不可能，那就不用谈极限了，微积分是个梦，大家仍旧玩算术。二是指向未知的实体。我们也许可以用模型里“相像”这性质来定义它，叫做扩充。这押后再谈。三是指向这空间里已有的实体，称之为收敛的极限。因为它与序列中的项同在一个空间，它们在空间里的关系可以用来描述“相像”的含义。

以上所说并不限于实数，适合于包括函数、事件，以及集合元素的无穷序列。不同的“相像”含义，确定了不同收敛和极限的含义，这将在以后的篇章里展开。请记住这里的图像，作为分析中直观想象的基础。这一篇，我们先谈最简单的情况——数列。

对于数而言，现实的计算只能区分有限精度的数。按照某种精度画个圈，一个无穷的数列，除了前面有限多个外，如果此后所有的项终将全部落入这个圈里，按照这数学模型的假设，它指向的极限，也是在这圈子里。在这圈里任何两个数，按这精度看不出区别，在圈里取任意一个数当作那个极限也是如此。如果总能以任何精度做到这一点，也就能以任何精度确定这个终极的数。这个无穷数列就对应着这个数。

如果这个极限在讨论的空间上存在，这数列称为“收敛”到这个极限。

用数学语言表达无穷数列$(x_n)$收敛于$a$是：$ \lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a $ 或者写成$a_n \rightarrow a , \mbox{ } (n \rightarrow \infty) $，在不混淆的情况可以略去括号里n的走向。上述收敛的定义用$\varepsilon -N$语言和数理逻辑符号表达是：

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N},\forall n ( n>N \Rightarrow |a_n-a| < \varepsilon ) $

这定义只是说，如果有个数符合这描述，则称数列收敛于它。要认为这个无穷数列确定了这个数，需要证明它是唯一的。作为数学模型的要求，我们还必须证明，收敛的极限与空间里的数做四则运算，其结果与用数列中的项参与同样运算的数列极限是一样的。这些证明都不难，最后都归结为：要验证的差异随着N足够大也会小于任何正数。即这个差异的无穷数列无限地趋向0。所以在极限时等于0. 停！在这句结论之前，全部是对有穷数列的推算，这无穷数列要走过所有的项，才能得出相等的结论，这需要一个假设，才能越过这个逻辑的间隙：无穷必须是可以完成的！这样无限减小又始终存在的差异才会消失，让无穷序列的桥梁能够搭上有限世界的对岸。这是被许多人忽略，以致缺乏动力去改变有穷世界里的直观。

从收敛的定义不难看出，如果无穷过程收敛，那么在这过程中走得足够远的项之间的差别也会足够小，即

$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N},\forall n \forall m ( m,n>N \Rightarrow |a_n-a_m| < \varepsilon ) $

这样的数列$(x_n)$，叫做“柯西列（Cauchy sequence）”。能够收敛的数列都是柯西列。

回头来看格蓝迪级数1-1+1-1+1-1+…，这个无穷过程无法确定任何数值，其有限和构成的无穷数列不是柯西列，不能收敛。欧拉和在收敛意义上不成立。

并非所有柯西列都能收敛，它取决于所在空间的性质。例如，$\sqrt{2}$取越来越多位数的数列1.4，1.41，1.414，… 是柯西列，但它在有理数空间不收敛。即这个数列极限在有理数中不存在。

能够让所有柯西列都收敛的数学空间，叫做“完备的（Complete）”。微积分发明之后，数学家又发现了大量未知的实数和并严格修补了实数的定义，从而证明了实数是完备的。这表示只要数列是趋于相互靠拢的，就一定有极限，这个意义很重大。初等微积分是建立在实数完备性的基础上。

实数在近代，是用有理数上戴迪金分割来定义，把有理数集分割成上下两个集合，让上集合中所有的有理数，都大于下集合的；无理数被定义为，填充这种分割中的“间隙”。可以证明，这样定义的无理数和有理数，构成的实数，在收敛的意义下是完备的。

实数在传统上，看成整数加上一个无穷的小数。一个无穷小数，取越来越多位数的过程，是个柯西列，如果定义这个无穷过程表示的数学实体叫做“实数”，这时，实数可以看成是有理数的完备化扩张。

不论是怎样构造的，它们是等价的，实数是完备的，所有的柯西数列在实数上都收敛。

下面是几个微积分上熟知的定理，说的都是实数的性质，可以证明它们是互相等价的：

1. 实数是完备的。

2. 实数任意上（下）有界的集合，一定有上（下）确界。

3. 单调有界的数列有极限。

4. （区间套定理）闭区间序列$([a_n, b_n])$，如果$[a_n, b_n]\supset [a_{n+1}, b_{n+1}], \forall n \ge 1$ 并且 $(b_n-a_n)\rightarrow 0$ ，则必定存在着唯一的实数$c$有$c \in [a_n, b_n],\forall n \ge 1$，并且$a_n\rightarrow c$和$b_n \rightarrow c$。这个闭区间序列叫作“区间套”。

5. （有限覆盖定理）有界闭区间$I$上的任何开区间覆盖族中，必定有一组有限的开区间覆盖$I$。

6. (列紧性定理)任何有界数列必定有一个收敛的子列。

采用戴迪金类似的方法，是否还能发现实数间的空隙？从实数的完备性，可以证明了这样的空隙不存在。这也称为实数是“连续的”。

任何两个有理数，无论之差是多小，其间都有不可数个实数。只有夹在一个无穷地不断增大的有理数列，与另一无穷地不断减小的有理数列中，当它们之间的差值趋向0时，其“缝隙”才只够容下一个实数。

实数的完备性是微积分的基石。与此等价的上述性质，在微积分中扮演了重要的角色。

康托尔用对角线法证明了，实数是不可数的。从实数完备性上，也不难证明实数是不可数的。

用反证法。假设闭区间[0, 3]里的实数可数，那么可将它们标记为：x₁, x₂, x₃, … 。将[0, 3]等分成三个区间 [0, 1]，[1, 2]，[2, 3]，x₁必然不在其中之一，记这区间为I₁ = [a₁, b₁]，再将I₁等分成三个区间，同样必有一个子区间不含x₂，记这区间为I₂ = [a₂, b₂]，如此进行下去，得到一个区间套I₁, I₂, I₃, …。根据区间套定理，存在着一个实数y在所有这些区间中。但从区间的选取中知道，x_n不在I_n中，所以实数y不是x₁, x₂, x₃, …中任何一个。这就和假设相矛盾。所以实数是不可数的。

实数必须是不可数的，才不会与它的完备性相冲突。在可数的世界里，没有微积分。

对于古希腊毕达哥斯派的疑问：无穷循环小数0.999…的每一个截断都小于1，它怎么最终会等于1？从对于每一个截断所有n都成立的命题，得出对全体也成立的结论，是有穷世界直观的错觉。持潜无穷的观点，0.999…只是个无穷的过程，这小于的关系永远存在，当然不会等于1。但是这里的“所有”，指的是对每一个有限的数n，而不是包括了它们无穷全体的“最终”。就像上篇的数学归纳法的例子，这个对所有n的推理，只在有穷世界里是对的。不能应用于无穷。这是必需改变的观念。按实无穷的观点，这个无穷的过程是可以达到它的极限，也就是等于1，这小于的关系，因达到极限而终结为相等。收敛的极限可以等于比数列中每一项都大（小）的上（下）确界。

柯西和魏尔斯特拉斯之后的微积分，为了避免过去对实无穷的简单解读，在能够用潜无穷观念解释的地方，尽量避免使用实无穷。但对收敛的极限，逻辑上毕竟不能绕开实无穷的观念。

也许大家觉得上面所说的内容很浅，早在学习微积分时就知道了。好，考个对收敛理解的问题。

张三找李四寻仇，拿个炸弹设了一分钟后扔向李四，李四半分钟后扔回，张三在四分之一分钟后又扔向李四，如此往复，问最后炸弹在谁的手里爆炸？

（停下思考5分钟，再往下看，再思考。）

如果知道某个时刻落在这个无穷往复过程的哪一个时段，就知道炸弹在谁的手里。虽然这是个无穷的过程，但爆炸的时刻终将会到来。这些时段的累加为1/2+1/4+1/8+……，级数收敛到极限1。但时刻1在这些描述炸弹位置的时段里吗？这个数学模型能描述现实的情况吗？

（待续）

【扩展阅读】

1. 实数理论http://210.26.16.17/ziyuan/38/analysis/precis/Acrobat/21.pdf

2. 实数的完备性http://210.45.128.5/jpkc/shuxiefx/sxfxky/hky.pdf