从形式主义的观点来看，数学的命题是由没有含义的符号，按照语法规则形成的符号串；数学的推理是按照演绎规则，机械地产生出一些新的符号串；数学的各个分支理论，只是在逻辑上自洽的命题集合，在里面研究怎样演绎产生的新命题。虽然凭借着各种例子的解释，赋予这些数学概念和命题的某种解释，但这些不能够被准确定义的形象解释，只能用来帮助想象，不能作为证明推理的根据，也不是对它们唯一的解读。数学真正的内容只是逻辑上的建筑。如此，数学既不代表着真理，也没有天赋权利，为什么能够作为其他学科描述世界的工具，和发现真理的凭借？

这理由来自“抽象”和“逻辑”。科学研究中的演绎方法，用抽象剔除不相干的因素，研究其反映本质的概念和关系，依逻辑从一般性的规律出发，推演出针对这些概念和关系的结论。数学也是做同样的事。只不过数学一般不关心这抽象概念、关系和一般规律的来源，只是把它们当作符号和给定的式子用演绎规则来操作，得出了结论也不依赖于外部的验证，只专注于自身逻辑推理的严谨性。其他学科从现实世界抽象而来的概念和命题，有明确的含义在其背景中，可以在实践中验证。而数学里的概念和命题只具合乎语法的形式，只能反映逻辑的关系。这是两类不同的东西，为什么数学推导的结果，可以用在实践中？

这要在应用中规定论域，在形式的符号与具有含义的概念间建立起一个对应的关系。抽象的数学命题就像用语言描述的句子，往往不知所谓，没有真假。

比如说：“这人在班上求婚了。”这只是符合语法的句子。如果“这人”对应着阿呆，隐含的变量“存在着某个女人”在“阿呆班上的女生”的论域里，谓词“在班上向…求婚”对应着阿呆向论域上一个女生的求婚关系，就能给出这句话的一个解释，才能说它的真假。

数学理论和实践的关系也是如此。论域、常量、关系和运算函数的组合称为“结构”，当语言中的常量、谓词和运算符号对应着结构里相应的项，语言中的变量在论域上取值时，结构给出语言描述的命题一个解释。

数理逻辑的“模型论”【1】【2】是从集合论的角度阐述概念的表现，研究语言中形式和解释之间的关系。语言中一组自洽的命题，和依逻辑推理得到命题的集合称为一个“理论”。如果存在着一个结构，用其中的概念解释了理论的命题中符号后，理论中的每一个命题都在这个结构的解释中成立，则称这个结构是这理论的一个“模型”。将符号构成命题的规则是语言的“语法”，模型的解释则给予语言的“语义”。一个理论可能有不同的模型。

例如形式语言的命题：∀x∀y∀z((x·y)·z = x ·(y· z)) 结合律和∀x(x·1=1·x=x) 单位元律，可以形成成一个“么半群”理论。对于满足这两条公理的集合G，GxG到G上的二元函数·和G中元素1的组合（G，·，1）是一个数学结构，实际上它是么半群数学抽象的定义，也是么半群理论在集合论上的模型。很容易看出，自然数和矩阵在乘法下都是么半群的模型。如果变量符号x, y, z在字符串论域里取值，运算符号·对应着字符串拼接操作，常量1对应着空字符，这个字符串组合的系统也是这个理论的模型。么半群理论常被当作计算机科学的代数基础。

由于历史的原因，“模型”这个名称在模型论与数学应用中，对具体和抽象的对应关系刚好掉换了个位置。在模型论里指的是作为抽象形式语言理论模板的具体数学对象，在数学应用中指对应于现实世界的数学模型。本文关心的是用具体内容来解释抽象理论的研究。在这博文里，“模型”这个词的两种用法，读者要从上下文中注意它的所指。模型论主要是研究一阶形式语言和数学内容的关系，但在这里，用来指导数学模型在实践中的应用。

现代数学基于一阶语言上，它是描写公理系统的标准语言。它是用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号或称谓词符号，以及与、或、非、蕴涵等命题连接词，加上“存在”和“一切”两种量词所表达的语言。其中量词“存在”、“一切”只允许对个体使用，不允许对集合或谓词等使用。

模型论的基石，哥德尔完全性定理，有几种等价的说法，与这里有关的是：“能够在一阶（语言表达的）理论里逻辑推理出来的命题，当且仅当它在所有模型中解释都是成立的。”它把形式推理和语义联系起来。将模型看成是理论的一个应用，理论推理的结果在应用对象的解释中都成立。反之，应用对象的客观规律也可能在理论中得到证明。这定理并非消除了形式推理和语义这两个概念的区别，哥德尔不完全性定理说：“对于包含算术PA公理相容的系统，有些语义上为真的命题在系统里不能被形式证明。”模型论里紧致性定理和Lowenheim-Skolem定理是关于无穷理论和模型的重要定理，这里不涉及就不介绍了，有兴趣可以参考教科书。

数学模型只描述现实世界的部分性质，如果所关注的不被描述，是没有选对数学模型。如果数学模型里某些概念和命题在实践不能解释，那是用错了数学模型。

可以用“群”的数学模型，来描述机械单向有限转动操作的系统，比如说每次只能顺时针转40度或50度。所有小于360度可能转动角度的集合是群定义中变量的论域。符号·联系着两次挨着可能的转动角度，1是转了0度或一圈，逆函数是让这角度补成了圈的角度。不难验证这在实践上解释了群的理论。

只用“么半群”来描述它，就选差了模型，它不足以在理论上计算从停留的任何一个角度，怎么转回原点的操作问题。

有人说：“数学用于追妞是瞎掰，我从魂不守舍追得形销骨立，心仪MM对我仍是不屑一顾。哪有一点像感情增长的Logistic模型？”

这也是用错了模型，说明你没有到达追妞渐入佳境的状况，你关注的内容不在这模型里。你该关心的，这是否超出你的追妞条件和MM对你的疏远程度的问题，这要别的模型。

如果你用“整数加法”的数学模型来描述单向转动操作的系统，这是用错了模型。你会觉得这模型太扯淡，居然认为每次都转50度后，离最初位置的角度一定是50的倍数。

有人说虚数可以看作潜在的计数，比如说藏在床底下的东西，肚子里的孩子，把复数用作同时计数实在的东西和潜在的东西似乎觉得是个很好的解释。

但这个对应关系只在复数的加减法时有，但对复数的乘除法没有相应的解释，所以这也是个错误的模型。用数组作模型会更合适。

阿呆追阿春时建立起感情增长的Logistic模型，定性结果吻合得非常好。正在高枕无忧得意时，发现阿春的感情开始回落。查了有28天周期修正过的加强版，也解释不通。这个方程所有定义的含义都和实际对应很好，以前的计算曲线也符合进展情况，到现在不灵了！心里一急茶饭不思，学习成绩更是一落千丈。阿春觉得他没出息就更冷落了。

这例子说明应用超出建模时假设的情况。它原来工作很好。但这个模型不考虑阿呆学习成绩有变化的情况，当情况超出原来假设的条件时，演绎的结果就不能符合实际的情况了。

科学理论成熟的标记是充分地应用了数学。它的力量是用演绎推理从简单的原理出发，得出符合实际的各种结论。在数学和应用的关系中，数学作为演绎推理的工具，它的价值在于严谨性和独立性，如果它不是严格地服从逻辑，我们就无法信赖它的结果，如果不是仅仅依赖于逻辑别无隐含，我们就没有信心掌控它的运用。

应用数学于实践，关心的是能否符合实际。数学只是作为了解变化机制的模型，或者推测结果的工具。演绎推理之前要依赖于一般规律的归纳，合适概念的抽象，适用条件的考量，正确模型的建立，各个环节都会有误差，都有可能出错。这都是该关注的重点。对应用者而言，应用数学时的严谨是必要的，但不是最重要的，毕竟整个结果是由最后的事实来保证的，数学在这发现规律游戏中占一个环节，是猜测和检验过程中的一个工具。应用性研究的论文，在有了数学模型后，必须有实验数据来证明它演绎推理的结论。有了事实作为保证，数学推理的严谨性不会被过于挑剔。对纯理论的研究，它的价值要靠每一个环节，包括数学的严谨性来保证，或者以你拥有的信誉来抵押，不然有谁会关心梦呓般的猜测？

抽象和逻辑是能准确地交流思想、判断是非的训练。读文章时，只要你有知识有头脑，能透过浅显形象的表面抓住本质的抽象，沿着文章里行文的逻辑，就足以让你判断其价值，吸收到真知识，就不会被名人加持、头衔光环、人云亦云或旁征博引所欺骗。这在知识爆炸，充满着垃圾的网络世界和学术刊物中，是一种必备的生存能力。

【参考资料】

【1】      SEP：Model Theoryhttp://plato.stanford.edu/entries/model-theory/

【2】       Stephen G. Simpson, Math563:Model Theory http://www.math.psu.edu/simpson/notes/master.pdf