前些天写了篇《无穷大能比大小吗》，原是解答网友“为什么无理数比有理数多”的问题，给关心无穷集合问题的人，普及一下最基本的概念和逻辑，好用自己脑子想通这些不算难的问题，不再会被网上广征博引的公理语录吓住了。

 

这两天到网上一搜，发现还真有人对这些基本的问题不明白，也有提出挑战的，其中最新鲜热辣，整出点动静来的是《统一无穷理论》。这是一本书，看了简介和目录后，我就明白为什么玩数学的人都不啃声。这主题是个简单的数学问题，但要评论就得看这一厚本，你要赔不起这时间，除了这标题就不知道该说什么。我原来也不想凑这热闹，只是刚写了篇无穷集合的普及文，不好意思不说两句。幸好陈绥阳教授花了一个月看完这书，写了篇博文《千虑一失，一虑百得》是压缩过的注记。再看了几篇作者的介绍和辩驳【1】，本着数学抽象的原则，略过故事、哲理、联想、展望、感叹、形容词、副词，直接抓住有关数学的核心命题，作者何教授说：

康托尔理论不对，无穷集合只有一种势 $2^{\aleph_{0}}$=$\aleph_{0}$

 

他的证明是“无限倍增法生成的实无穷层满二叉树可与自然数集一一对应”，网上查到这个方法的介绍，原来他用一种构造方法，生成（0，1）区间的实数，树的每个节点对应着有限小数，无穷分支处的叶片对应着无限循环的有理数和无限不循环的无理数，这样这区间内的所有实数都可以用树的节点和叶片来表示。现在从树根处起对应1，第1层2个节点，对应2和3，第2层4个节点，对应……，逐层逐个点过，直至无穷，岂不是将这所表示的实数与自然数一一对应起来？作者说：这证明实数的势也是$\aleph_{0}$。

 

这里的问题是：这个对应的过程中，始终只把一个自然数对应到一个有限的小数，还没有一个无理数被一个自然数对应到，更谈不上全体。就是说，没有证明一个无理数被这样的规则对应到。所以这证明只能说实数的势大或等于$\aleph_{0}$。他可能抗议，有理数可数不也是这样三角形曲折法逐个对应过来证明的？有理数的确也是这么走，两个可数集的笛卡尔积可数也是用类似的手法证明，但是它们构造的对应规则都保证这个映射是满的，也就是说，给出任何一个具体的有理数，或者笛卡尔积里的一个元素，都在这规则下有一个自然数和它对应，你都能确切的知道是有这个自然数。这才是双向的一一映射，而他的这个对应规则做不到。

 

“如果允许无穷序列，实数可以用0和1序列表示”，这说法比较靠谱，应该是他的核心思想。这个数学模型是：每个实数对应着一个整数的一个子集，这在我那普及博文里提到：

 

实数可以用0和1来表示，每一个实数中的数字为1的位数集合，比如说10.101，一一对应着整数的一个子集，例如这个是{2，-1，-3}，也就是实数与可数集上所有子集集合的势相等，$c=2^{\aleph_{0}}$。

 

然后用康托尔定理可以推出$c=2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$。所以何教授这个理想模型的构造方法，只不过说实数与自然数子集的集合等势，并没有证明康托尔理论不对，他不承认康托尔说的$2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$，这就绕回来了。

 

要证明康托尔说的不对，就要挑出康托尔证明错在哪里。其实康托尔定理的证明也很简单，不需要什么预备知识就能读懂，这定理是General Topology【2】，第一章里的一道习题，我把这作业再做一遍写在下面：

 

康托尔定理(Cantor’s theorem)：集合$A$上所有子集的集合$\mathcal{P}(A)$的势要比$A$的势大，即$|\mathcal{P}(A)|>|A|$。换成幂集的符号便是$2^{|A|}>|A|$。

 

证明：设$a\in A$，令$F(a)=\{a\}$，$\{a\}\in\mathcal{P}(A)$，则$F$是$A$到$\mathcal{P} (A)$的一一映射，所以有|$\mathcal{P}$(A)|$\geqslant$|A|。假如|$\mathcal{P} (A)|=|A|$，这就存在着一个一一满映射$G: A \rightarrow P(A) $，对于每个$x\in A$，记$A_x=G(x)$，则有$\mathcal{P}(A)=\{A_x|x\in A\}$，定义$A$上的子集$B=\{x \in A|x\notin A_x\}$，则$B\in\mathcal{P}(A)$，按照假设，有一个$y\in A$，使得$B=A_y$，这时候问：$y$是不是属于$B$？如果答是， $ y \in B$，按照$B$的定义则有$y\notin A_y$，由$B=A_y$，所以$y\notin B$，反过来通过等式和$B$的定义也推出矛盾。这两者皆不对，按照排中律这是不允许的。按矛盾律，这假设不成立。所以|$\mathcal{P}(A)|>|A|$。

 

这里只需要集合和势的定义以及逻辑。在集合$A$是可数集时，便有$2^{\aleph_{0}} > \aleph_{0}$。如果你对这抽象的逻辑有点吃力，那建议看我的普及博文《无穷大能比大小吗》，用对角线法来证明实数的势是不可数的，那里解说得不厌其烦，只要有中学程度懂得逻辑，心思澄明就能理解。这是康托尔定理的一个特例，但也够了。

 

要说康托尔错了，如果反例不给力，就要指出康托尔证明错在哪里。据说那文章也“对康托尔对解线法进行了细致的分析”，我没看到作者在这简单证明里挑出什么毛病来。好像是不喜欢这样的证明方法，不直观。要是这样子，他只要说“不接受反证法的证明”这句话，玩数学的都知道是什么意思，也不用写一本书了。

 

早在1908年数学直觉主义的创始人布劳威尔，就以反证法不直观，反对在无穷集合使用逻辑中的排中律，他主张无穷集合只有一种势，就是可数的无穷，同何教授说的一个样，在一百多年前。不过他是数学家，明白反对一种证明方法的理由，也必须一视同仁地对数学的所有证明，他反对在无穷问题上使用逻辑中的排中律。

 

提倡直观，谁都喜欢，但要否定了逻辑中的排中律，你能想象现代数学还剩下什么吗？连布劳威尔赖以成名的不动点定理，自己也是依赖于反证法来证明！一百多年过去了，主流数学没有接受这个观点，也有一些数学家沿着直观主义和比较温和的构造主义做探索，都成绩寥寥。但他们还是讲逻辑的，他们的直观是要求构造性的数学证明。

 

连续统假设，几个公理的数学界讨论，和这实数是可数的问题根本是两回事。连续统问题争论的是：自然数和实数之间还有没有其他无穷集的势。把这样的事混为一谈，能受玩数学的人待见吗？数学证明不需要旁征博引，追求的是抽象简化，只用逻辑推理来分是非。

 

有人反对这样的抽象和推理，认为这是书呆子，形式逻辑，举出一些悖论的推理来，说明是荒谬绝伦。抽象地略去这话的贬义和情绪词，这说到了点子。数学就是用形式逻辑把给定的假设推到极致，这里不能参杂任何个人的想象和情绪。悖论的意义是在磨砺和检验你的智力，感到荒谬是因为推理的结果和直觉的常识相矛盾，这里的错不在于逻辑的规则，而在假设、推理和常识三者之间，如果前两者没有错，需要修正的是常识。不接受形式逻辑的证明，那就不是数学，是浮想。

 

网上又查一下，现在何教授也不反对康托尔证明的逻辑，只反对他的概念，说这概念不符合客观实际。他的实数是理想计数器里的概念，他认为“现在的数学家习惯于不管基本概念是否符合客观实际，只管逻辑推理是否正确，这是十分片面的。”（他在跟帖里的原话）

 

这是把数学家当作物理学家和工程师了，纯数学确实只管逻辑推理，而不在乎前提是不是客观实际。那个是搞应用人的事。你最多只能抱怨自己所会的那些数学不好用，不会用。何教授的理想计算器模型里，如果不是数学里面抽象的实数，谈的就不是那个数学问题了。

 

要真正挑战数学难题或者已有结果，最好的办法是尽可能简练地把数学问题表述出来，提出证明或者反证。其他无关的一慨不用说。如果有几个问题，一个一个地谈，尽量明确，对就是对，错就是错，不要打包混为一谈。这样或许会让数学界的人关注，或得评点，或者接受，或者拒绝，这样都比在外边叫嚷更有意思。数学玩的是逻辑，除此之外别无原则，如果你的逻辑不能让人读懂，或者你读不懂有关基础知识的逻辑，那就无法交流了。

 

认为数学公理必须是真理的，那是几百年前的事了。自从出了罗巴切夫斯基的非欧几何后，数学界都明白，公理都只不过是一种假设，现代数学家毫无敬意地审视原来的公理，将它们切碎重组，以便具有最大的功利。现在的数学公理都是非常一般和广泛，直达人类理性可以分辨的最基本概念和命题单元。称为科学的一切逻辑推理的成果都建造在这个数学基础上。

 

那数学家对公理的争吵，数学的悖论，哥德尔定理是怎么回事？

 

数学也像其他科学一样不断地发展上层和修补基础。基础的公理如同物理中的原子，现在又用基本粒子来解释了。所不同的，物理用实验来判别正误，数学所凭的只有逻辑，寻求基本假设的自洽和效益。

 

经过几千年的发展，我们现在住在一座豪华的数学系统大厦里，地基有点疵瑕和裂纹，这只有最犀利的逻辑和极致的思辨才能觉察，数学家正在讨论怎么修补它，这是个细致活，必须考虑到方方面面，和对已有系统的影响。这事几千年来都不断有，对逻辑粗放些的上层科学研究和日常活动影响不大，只不过现在资讯发达了，嚷得大家都知道，你不会因此跑出去住帐篷，或者提个大榔头来帮忙吧？

 

【参考资料】

【1】《统一无穷理论》评论园地http://wenqinghui163.blog.163.com/

【2】Stephen Willard，General Topology， Addison-Wesley（1970）

 

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