假如有n个美女逐个介绍与你约会，每个见面时，如果你选了她就没机会见到后面可能更好的；如果让她走了，也许后面都不如她，追悔莫及也无法挽回。问怎么选结果最好？

在生活中也有类似的情况。比如说相亲谈朋友，选项目，货比三家购物，或者有几个工作的机会。现实的情况都不容你脚踩几条船来比较，只能是一个个的来，错过就不好回头了。这都和上面的例子面临着相同的问题。这问题看起来漫无头绪，对于任何一种策略，都可以举出一个具体的出场顺序，使得你得到最差的后果。

实践中人们多是这样做的：直接选第一个那叫盲目没有比较，除了一见钟情的外，总得看过k个才甘心，待到后面候选人不多时就急了，只要比前面都见过的好，就是她了，要是全不满意到了最后一个，好坏都是她了。机会和美女都是随机出现的，那就问你到底要Pass几个炮灰才开始认真比较？这是n个随机序列中求k值，使得选到美女数学期望最高的问题。这个期望是按照这方法选到美女满意程度的数学期望值。

这个问题我考虑过，虽然思路不难，但随着n的数目增加，计算的复杂性增加的很快。前几天在科学网上看到“谈恋爱的技巧也能用数学模型表达？兼谈管理科学研究”博文里面转载了一个数学计算，其思路让我赞叹，虽然他把问题简化成选中最好那一个的概率问题，而不是得到最高的期望值问题。但他的结果是十分简洁的通解，计算的结果和我计算的几个情况也吻合。这是个很漂亮的结果也很有应用价值，可惜博文没有给出原文的出处。珠玉在前，我本不想再现丑了，就在那博文后跟了几句赞词并替他解答。后来有网友来追问，又见许多跟帖对那研究的意义颇有微词，我想还是写个帖子解释一下。

那博文中转载那篇文章的思路和表达都十分简洁，后面的两个结论都显示出作者灵活应用数学的功力。我对此十分赞赏。跟贴中对那文章的批评多集中在复杂现实中的适用性问题。那是另一方面的诉求。

读论文和好文章，我更倾向于理解和欣赏作者的巧思而不是挑剔戏剧性说法的疵瑕。其实借用一些理想情况夸张性的应用在阐述理论的论文并不少见。2012年诺贝尔经济奖的核心Gale-Shapley算法，就是以稳定婚姻设计的求偶规则为题的【1】。现实中的婚姻要比算法的假设条件复杂得多，所以难以应用。科技工作者对抽象数学模型的局限和应用都有常识，所以用不着将注意力集中在这方面而忽略了对核心思想的欣赏。

在这里我先替那作者解答一下跟帖对式子中的k/(i-1)/n项的疑问。作者假定在这n个人中有一个最佳的人选A，随机时A在任何一个位置的概率都是1/n，自然A出现在第i个位置的概率也是这个数。为了保证A有机会被选上，前面i-1个人中最好的那个B必须在前k个人中，不然B入选了就轮不到A了，这个情况的概率是k/(i-1)。把这两者概率综合起来，就是从第k+1个开始比较，刚好在第i个时选中A的概率k/(i-1)/n。P(k)是把所有可能i的概率都加起来。得出n充分大时的P(k)逼近公式，再求导得到k的通解。整个思路和推导十分漂亮。

那个数学模型是针对选中这n个人中A的最大概率问题。更靠近现实的提法是看过前面k个以后，被选中的人不一定是A但是美女的期望值E（k）最高。这个问题复杂点，我想用比较简单的4个美女的例子来直观地说明思路。

将这4个美女从1到4打分，四位1，2，3，4分的美女按随机顺序出场，闭着眼睛选一个，平均是2.5分。你的期望是在2，3分美女之间。E（0）=2.5.

如果Pass第一个，后面出场的再和她比较，更好的就是她，否则等下一个，第一个出来的有四种情况：

她是1分美女，后面哪个出来都比她强，自然第二位出来就迷倒了，这第二位2，3，4都有可能，平均是3分；

她是2分美女，后面3，4分的出来比她强，谁先到就是谁，3，4平均是3.5分；

她是3分美女，后面还有个4分美女，跑不了4分；

她是4分美女，这再往后看的都失望，只能是最后一个了。1，2，3都有可能，平均2分。

这四种情况机会都是一样的，所以把这四种平均得分再平均，总的期望是（3+3.5+4+2）/4=3.1。这美女指数比盲选高了一点，可以期望3分美女强一点。E（1）=3.1.

再看Pass两个又如何，Pass的是1分和2分，记为（1，2），后面剩下3分和4分，记为【3，4】，这一共有6种情况：

（1，2）【3，4】，同上面的道理分析，平均等分3.5；

（1，3）【2，4】，会等到4；

（2，3）【1，4】，会等到4；

（1，4）【2，3】，捡了最后一个，平均为2.5；

（2，4）【1，3】，捡了最后一个，平均为2；

（3，4）【1，2】，捡了最后一个，平均为1.5；

这六种情况机会均等，总的期望是（3.5+4+4+2.5+2+1.5）/6=2.9，比盲选的强，比Pass第一个的差。E（2）=2.9.

Pass 3个剩下只有一个，这和盲选一个样，2.5。E（3）=2.5.

综合这几种情况E（1）=3.1最大。所以在只有四位美女情况，拿第一个当炮灰只欣赏不点头，从第二个开始认真比较最明智，可以期望3.1分的美人，比平均分2.5高。可以看出总数多时，先Pass的人数也可以多一点，这期望美女指数E（k）随着炮灰人数k先增加，然后再减少。

n位美女可以用相同的思路，用排列组合计算数学期望值可以得出一般的式子E（k）。这个一般公式约减的工作量会大一点。因为珠玉在前，我没有动力去完成最优k值的计算公式。但是应该不难用计算机逐个k计算E（k）后比较来取得。

我在纸上算出n为2、3、4时，最优的k分别是0、1、1。这个结果和求最大概率问题的通解[n/e]计算的数值是一样的。。虽然求最大概率和求最大数学期望不是同一个问题，而且后者还和赋值有关。但是前者是一个很好的简化模型有着很漂亮的结果。

结论：对于n个依次来临的机会，首先了解一下[n/e]个，然后将后面遇到的与前面所有见到的相比，如果更好就接受，否则等下一个，这是对待这类问题的最佳策略。这里e=2.71828…，[n/e]是n/e的整数部分。

【参考文献】

【1】           D. Gale and L. S. Shapley: "College Admissions and the Stability of Marriage", American Mathematical Monthly 69, 9-14, 1962 http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/Ec100C/galeshapley.pdf