让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（1768~1830），著名的法国数学家、物理学家，提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论上，傅里叶变换也以他命名。

路德维希·范·贝多芬（1770~1827），伟大的德国音乐家，集古典主义大成、开浪漫主义先河的古典音乐作曲家、演奏家和指挥家。

从前，发现事物之间的关联的那些伟大人物多半是饱含着强烈的热爱；不过，我的经历表明，深刻的感受——不一定美好，也许是痛苦——只要足够深刻，也会帮你发现很多奇妙的现象。

    我专业课的老师——从数学到信号系统，到数字信号处理，到电磁场，从未向我提起过音乐；我音乐课程的老师——从小学到初中，到大学里我旁听的音乐修养选修课程的老师，也从未向我提起过傅里叶变换。他们在各自的领域里讲述着各自的故事。

    理论上，以傅里叶变换为起点的调和分析，目前正引领着分析数学向更广更深处发展。在应用中，傅里叶变换广泛应用于物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。而音乐，似乎与这些没有关系，由于中国的教育系统的原因，音乐似乎远离数学。突然那么一天，网友Charlott 对着傅里叶级数发呆的当儿，想起老式收音机上一排绿色红色的灯，想起钢琴那一排黑白琴键，原来如此。让很多人头疼的级数和积分、看得眼花的五线谱上的蝌蚪——数学和音乐，如此不同又如此相似地讲述同一个问题。

    傅里叶和贝多芬，除了生活年代相似，他研究着他的傅里叶级数，他创作着他的命运交响曲，我不知道他们是否互相认识，不妨假设他们的生命没有交点。为什么把他们放在一起，首先，要解释一下傅里叶变换。

需要说明的是，在不打算给出严密的推导，甚至结论性的数学表达式我也不打算罗列在这篇小文里。而是希望了解数学家和音乐家分别从什么角度去思考一个问题？数学和音乐之间是不是毫无瓜葛？比起记住一个公式并熟悉它所有的性质，发现并且理解其背后的意义才是更重要的；而这一点，也许那些沉浸在数学或音乐中多年的人都没有发现。

傅里叶变换，是一种对应关系。最初是作为热过程的解析分析工具，它只是一种纯粹的可证明的数学上的推导，是一种符号游戏；在不同的研究领域有不同的变体形式。它广泛应用于物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。但其思想方法却具有典型的还原论和分析主义的特征。

我从数学和音乐的关系切入，就以信号（声音也是一种信号）为例解释一下傅里叶变换原理：任何连续测量的时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加；而正弦函数在物理上和数学上是被充分研究而相对简单的函数类。

这是什么意思呢？没有学过高等数学，不理解时域和频域的概念，但关系；如果你愿意从音乐的角度去看待傅里叶变换，一定能体会到一些奇妙感受。

通常我们按照时间展开一个物理量（可能是光强度、可能是声音强度、或者是既看不到也听不到的微波的电场、磁场强度等等），幸运的话可以得到该物理量关于时间的表达式，比如不同的时间它的幅度不一样；可事实上，这很困难。例如，一个男女多声部大合唱，你可以用一个分贝测试仪测出每个时间点的声音幅度，可是却无法描述这时的声音组成；极有可能t1时刻和t2时刻分贝仪显示相同的分贝数，可前者全由女声合唱，后者全由男声合唱，这完全是两种音色，只不过响度相同罢了。如何准确、全面地表示信号随时间的变化，这是在一个物理存在的尺度——时间轴上描述信号的问题，这里略过不表；我们假设信号随时间的变化可以找到相应的函数来表示。其实想想五线谱，一个蝌蚪接着一个蝌蚪横着排开，表示着它们被弹奏的先后顺序，这就是音乐上的用来表示信号与时间关系的方法。数学家绞尽脑汁研究的函数，无非是想找到一种紧凑的表达式来压缩这么大段的几页、几十页的乐谱，最终的目的是无论你指定哪个时刻点，只要将时间值代入函数，就能够得到此时演奏的是Do还是Re。音乐家们可不劳神这些，宁愿一个一个蝌蚪展开，演奏时按顺序记住它们；他们费尽心思的是怎样排列才能够更悦耳。应该说，数学和音乐在处理这个问题时完全走向了两个方向，甚至没有意识到它们有共同的起点。这些就是分别从数学和音乐的角度来理解的信号的时域表达。

那么频域表达是什么呢？不妨先从音乐的角度来看一看：按下钢琴的任何一个键，它会发出一个音高，对应一个频率，例如音名中央C的Do，其频率f=261.6 Hz，中央D的Re，其频率f=293.7 Hz，等等。我们不必记住每个音名对应的频率是多少，只要知道每一个白键和黑键都对应一个特定的频率。钢琴的琴键是有限的，因此它只能包含有限个频率点；如果我们沿着琴键从低音到高音画一条直线，这就是频率轴x。那些琴键就对应着x轴上稀稀落落的点，每一个单音在频率轴上都有一个对应的点，是音乐家表达单个频率的方式。那么，数学家怎么表示单个频率的信号呢？正弦函数，就是sin(xt)或cos(xt)。x代表单个频率，也就是频率轴上的某个点；x固定，那么这个函数就是单频信号；t代表时间，正弦函数随着时间推移呈现周期的波浪形。单频音会随着时间变化？似乎我们听到的单个键的音调无论持续多久都是一样的？解释一下，音调的高低与震动频率成正比,也就是说物体震动速度越快则音调越高；正弦函数随时间变化一个波形可以看成是一次振动，音调越高，说明每秒振动的次数越多。举例来说，频率f=261.6 Hz的Do如果持续一秒，就已经有261.6个波浪进入耳朵，它们是如此密集，以至于我们感觉不到每个波形随时间的变化，只能感知每秒进入耳朵波形个数的整体效果——波形越密，音调越高；频率表示了波形在时间轴上的密度，因此唯一表征了各个单音信号。所以，正弦函数是单频信号的数学表示。

    傅里叶变换是什么？数学老师在讲解这个问题时从来说得复杂拗口，一堆条件、一堆公式、外加一堆艰涩的物理解释。音乐老师一直在用它，却从不知道他们的工作原来可以用看上去深奥、玄妙的数学原理来解释。

作为听众的我们，傅里叶变换的一边是我们坐在台下闭上眼睛倾听，另一边是我们站在钢琴家旁边捂住耳朵看。这两个过程，音乐家演奏的是同一支曲目，其效果是一样的；而我们的观察方法不同，就有两种记录过程的方法。听，可以用磁带记录下整个时间轴上音乐的变化；看，可以用相机记录弹奏者在每个时刻按下了那些键，即每个时刻的乐声在频率轴上分布在那些键上（当然各个键按下的强度可能不同）。数学上的傅里叶变换，其实就是将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），然后可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。音乐家也是在做同样的事情：他们将脑海中闪现的乐声变化（时域信号）转换成了易于表达和阅读的乐谱，即演奏者每一时刻应该按下的琴键分布（频域信号），然后分配给不同的乐器演奏，最终在音乐会上呈现出音乐家脑中的美妙乐曲。

傅立叶变换属于调和分析的内容。“分析”二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，“分析”二字，实际就是“条分缕析”而已。它通过对函数的“条分缕析”来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，“分析主义”和“还原主义”，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。这样说有些玄乎，不如从数学和音乐的角度看来得直观。

数学家的侧重点在时域和频域的转换，他们推导出严密的、普遍适用的变换公式，就可以把时域里信号随时间变化的数学表达式分解成频域里各个频率分量表达式的叠加。这就像耳朵灵敏的人能够分辨出钢琴家同时按下了哪几个键。不仅可以用来解释音乐的创作过程，还可以用来解释和处理更广泛的自然现象和工程问题；因为傅里叶变换将时域上分散的能量用频域里几个频率分量完全表示，以一个紧凑的形式来分析能量的变化——这和数学家希望将所有的事物用函数来表达并加以分析的初衷是一样的。

音乐家的侧重点在脑海中闪现的灵感，更重要的是信号的内容；时域到频域的变换是他们自然而然使用的一种记录方法，可以说是每一个音乐学习者的基本功，也许大部分人没有听说过傅里叶变换。可是音乐家却深谙此道，熟悉哪些键（频域上的变化）会带来何种听觉（时域上）效果；根据他们积累和发现的规律，创造出传世之作。

从数学公式的角度来看，傅里叶变换对于音乐来说也许帮助不大，除非你想编制一些音乐合成软件；不过从音乐的角度却可以帮助我们理解傅里叶变换的物理意义，从而在其他科学研究和工程应用中更加得心应手。

再从一个方面来说，本文的题目叫傅里叶与贝多芬（我只是想借他们引出数学和音乐），这两位生活在同一时代的数学家与音乐家，也许他们没有相遇过，各自独立地发展着数学理论和音乐风格；也许他们曾有过交情，交换过一些琐碎的观点。在他们之前已经有很多数学家、音乐家，如果那些数学和音乐领域的前辈们抛弃专业限制，有过密切的交流和讨论，也许傅里叶变换会提早很多年出现。

从傅里叶变换和黑白琴键的关系，我们可以一窥数学和音乐之间的千丝万缕；从数学和音乐之间的不同和相似，即使傅里叶变换，也不仅仅包含音乐的要素，还有例如绘画的要素等。所以热爱这个世界，她真的很奇妙。