把一种几何学用一组数目最少的公理的集合给予高度概括和定义之后，再加以不断推理演绎的做法是古希腊发明的伟大传统之一，然而，直到19世纪后半叶23岁的克莱因在爱尔朗根（Erlangen）大学对这一伟大传统做出革命性的改变之前，这个古希腊的伟大传统其深远的历史影响，跨越两千多年并一直持续到今天，表明了古希腊人的这种旷世的伟大智慧世界各国的最高数学精英们是难以超越而不得不在内心臣服的。

 

古希腊的这种“用一组数目最少的公理的集合”演绎出整个几何学的做法，它的伟大影响远远超出了几何学本身，为什么采用公理化来系统演绎一个学科的做法会成为跨越几何学的一个范式呢？这其实是古希腊几何至上的柏拉图学派的习惯做法。柏拉图第一个明确地指出：任何一个学科的发展都分为两大阶段：初级成长的阶段是由自下而上的、化零为整的、分析-综合化的“归纳法”（即“向上的归纳法”）来完成对该学科的创建拼凑过程。而成熟阶段则是采用自上而下的、化整为零的、公理-系统化的“演绎法”（向下的演绎法）来重新创建生长出该学科。

 

在文艺复兴时期的欧洲，自觉主动采用古希腊的公理-系统化的向下的演绎法，去创建一门新的学科又重新成为人们的流行范式。比如，从笛卡尔哲学，斯宾诺莎伦理学，到牛顿物理学，爱因斯坦相对论等等，都是把一门学科用一组数目最少的公理的集合给予高度概括，再加以绵绵不绝的演绎。

 

采用这种公理化的柏拉图系统演绎法来创建一门学科的好处是明显的，人人都可以很容易地通过对该学科的前提——即它的“一组数目最少的公理的集合”的正确性的与否，给予证明或者否定即可完成对该学科的真伪性的裁决，而不需要纠缠在无数的末梢枝节的技术性命题上来逐一判断。

 

令人遗憾的是，事实上，我们的很多读者或者学生大约连一个完整的欧几里德几何学的公理集合可能也不熟悉，或者也从不去花费大量的时间去关注。况且，令人诧异的是貌似全世界的初等几何教材（即初中和高中的）一概都不遵循古希腊欧几里德几何学的伟大传统，竟然将生育几何学之根——这个“几何公理集合”人为地、莫名其妙地彻底阉割掉。真搞不懂现代的学生的智力难道真会比两千多年的古希腊的学生的智力还差很多吗？

 

尤其是在中国三千六百年的农民自私自利从不顾及大局的习惯传统意识上，就是好急功近利，分外偏爱看得见的，摸得着的，实用的，末梢枝节的无数具体性命题。自古以来就对类似于“公理集合”的整体性的以简驭繁的体系视而不见，听而不闻。对此，古人就曾尖锐辛辣地病诟为：“一叶障目，不见泰山”，“只见树木，不见森林”。

 

即使大学的几何和代数教材的“公理集合”，由于教师们继续延续中学的传统而刻意疏忽，使得大学生们也从不去花费大量的时间去关注和熟悉这些“公理集合”无与伦比的源泉性的意义，以及琢磨这些一览众山小的“公理集合”究竟是怎样来统帅和驾驭并演绎出该学科的。用韩愈的话说，就是“小学而大遗，吾未见其明也”！

 

如同数学发展史一样，欧几里德几何学的“公理集合”本身的发展史都是一个引人入胜颇使人启迪的故事。人类从最初的只会用发明的口头语言系统描述“数不过三”的“口语数学”，这是一个原始的极其缓慢发展的第一历史阶段，前后大约经历了至少10-30万年的时间。随着世界上少数古代八大文明古国的文字的革命性的发明（古伊拉克的苏美尔底格里斯河-幼发拉底河文明是6000年前，古埃及的尼罗河文明是5500年前，古希腊的米诺斯文明是5100年前，古巴基斯坦的印度河文明是5000年前，古印度的恒河文明是4300年前，古中国的黄河文明是3600年前，古墨西哥高地的奥尔梅克文明是3200年前，古墨西哥-危地马拉-伯利兹的玛雅文明是3000前），人类的数学一下子跳进了用文字系统来描述数学的大发展的第二个历史阶段，即“文字数学”阶段。对这一阶段的历史性重大飞跃是由古希腊人独创完成的，发明以几何图形为主，文字为辅的数学——即“图形-文字数学”来实现的。等到人类发明了专门的抽象符号系统来描写数学的时候，猛然让这一阶段的数学革命性地冲进入了代数思维的任意自由的思想大解放的迅猛第三个历史发展阶段，这又为未来更高级的第四历史阶段的变量代数的革命埋下了伏笔。

 

进入20世纪之后，德国大数学家外尔，在他那本“空间、时间、物质”关于爱因斯坦相对论的科普名著中，首次把“数学几何公理体系”建立在“几何学的点”和“代数学的矢量”的一一对应的统一性上。这种崭新的“矢量代数形式化的几何公理体系”简明而一般，这个庞大的几何公理体系，不仅包含了人们熟知的经典的欧几里得几何学，而且也包含了许多非欧几何学（囊括了所有的凯莱-克莱因几何学系统），以致使得人们得出这种看法，认为历史上所有其他的几何公理体系，都显得格外过时而不值一提！此后，全世界的各个大学里的数学和物理学的大学教科书，毫无例外地一律都选择了外尔的这种“矢量代数形式化的几何公理体系”。

 

 回顾两千多年以来几何学的历史发展所形成四大阶梯：“常量几何学”（实数几何学）→“变量几何学”（函数几何学/解析几何学）→“泛函几何学”→“抽象几何学”。每种几何学都可以遵从外尔的这种“矢量代数形式化的几何公理体系”。而且，它还能进一步被泛化为更为一般的、足以适用于人类任何一门文理学科的“抽象代数形式化的几何公理体系”。古希腊首开先河的这种“公理化的系统演绎法”去重建一门成熟学科的方法，势必永远将会被全世界各地的人们世世代代所沿袭下去！

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