https://zhuanlan.zhihu.com/p/45954717

入门级别：一般有开调和分析课的话的参考资料：

Javier Duoandikoetxea 的调和分析，适合入门的最佳材料，包含想要了解调和分析的大部分基础知识，比如Calderon-Zygmund 奇异积分，从特殊Hilbert transform再到带homogeneous distribution的最后到C-Z类型的。。。不足就是，有的地方很简略，对于初学者（比如本渣），刚开始要是不熟悉那些经典套路（比如surface measure，Lp不等式，truncation）还是需要慢慢补全所有步骤，争取做到一点不差。。还要注意的是后面的补充材料，有一些可以关注的点。。比如那本书很迷啊，在补充材料列的point都是可以扩写一节节section的，所以一定不要忽视了，但是也切忌头重脚轻，，比如一些结果只是showing，一些的话是很重要但是相对初学者比较advanced的技巧，这块需要后面补出来（你读这本书就知道我在说什么。。）

还有一定要参考的书那肯定是

Grafakos的GTM 249和GTM 250， 细节已经不能再全，如果你觉得这本书gap还很大，确实需要重造real analysis。。但是那这本书开始啃无异于自残，我的建议是以Javier为主线，参考主干和补充材料然后挨个对Grafakos的内容。。适应一下记号，学起来就会好很多。。

至于Stein的调和分析三卷，我觉得体例编排和上边这两本有一些很大的区别，证明之类的看着和前边两本书衔接差一点。。但是自成体系，一些内容写在书里头的是最全的，比如最厚的那本的oscillatory integral(这个还可以看Stein第四卷) 还有Fourier restriction，其余两本可以挖宝。比如说奇异积分的话基本的还是要看看Stein那本古老的monograph对吧，学学PDE应用之类的就不多说了，关于PDE er学调和我推荐我看过的今年新出版的苗长兴的现代调和分析及其应用讲义，不过gap有点多，而且对纯分析党不友好

还有一些，比较基础的UIUC的调和分析notes [0903.3845] Harmonic Analysis Lecture Notes

Wolff很入门的的notes http://www.math.ubc.ca/~ilaba/wolff/notes_march2002.pdf

还有UCLA一个PhD学生上他们MATH 247A-B的调和讲义（我个人很受用

http://www.math.ucla.edu/~josephbreen/Lectures_in_Harmonic_Analysis.pdf

还有就是Tao的很久之前的MATH 247A-B的一系列讲义了都是很好的入门介绍：

（一类有趣的重排问题，可以看Lieb&Loss的Analysis或者 很经典的：

http://www.math.utoronto.ca/almut/rearrange.pdf

非常经典，有一些内容可以做补充，比如stationary phase。

Katznelson的书，其中Banach algebra一章借助了operator algebra的perspective，注意到其实一些零散的思想在Javier书和Grafakos 有提及。。

Muscalu和Schlag 的两册也很全，尤其是点态收敛的证明我觉得读起来要比Grafakos更舒服，说到点态收敛，这个也是最经典的调和分析问题之一了，从Lusin猜想到Carleson-Hunt定理也经历了数十年，点态收敛的Carleson证明，还可以参考Demeter的一个guide:

https://arxiv.org/pdf/1210.0886.pdf 或者Springer的一本notes

Pointwise Convergence of Fourier Series | Juan Arias de Reyna | Springer

类似于GTM 249-250 系列的一本比较comprehensive的入门介绍还有：

Alberto Torchinsky, Real-Variable Methods in Harmonic Analysis，当然了这类的书都其实差不多，有一些区别比如说Stein的大调和就介绍了很多海森堡群上的调和，当然群上调和是有专门的书籍和研究方向的。

进阶：调和分析的研究多做些什么？

对于调和分析的研究来说，必不可少的一大分支就是要研究各种各样的函数空间，以及借助这些函数空间研究PDE相关的各种解的相关性质，除了比较老的Tribel的函数空间论，我推荐两本比较厚的参考书，有兴趣读者可以稍微窥探一下相关问题：

Luiz Weiss et.al, Analysis in Banach Spaces Vol I-III, 其实这一块跟Banach 空间几何（也就是Grothendieck泛函的联系是很紧密的）

Yoshihiro Sawano Theory of Besov Spaces (涉及的内容远远不止Besov空间，是一个相对很全的函数空间的介绍了)

涉及到函数空间，避不开的就是各种各样的插值问题，这时候可以参考一下Monograph:

Interpolation spaces: an introduction" by J. Löfström and J. Bergh (Springer, 1976)

或者是Tatar的An introduction to Sobolev spaces and interpolation spaces （有引进

涉及到分数阶的Sobolev除了最经典的Hitchhiker： https://arxiv.org/pdf/1104.4345.pdf

还有可以看看 Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators, and nonlinear partial differential equations....，当然了像Hardy space之类的都有专门的monograph（入门我看过：https://metaphor.ethz.ch/x/2017/fs/401-3350-17L/hardy-notes.pdf 当然了在空间里研究各种各样的算子，比如说对各种算子在各种空间做更精确的估计，这些我大致都理解为在不同空间内研究不同算子的更精细性质。

那么最近调和分析最火热的一个分支无疑是decoupling 不等式及其应用，想要系统学习可以从学习Bourgain&Demeter 在l2 抛物面的decoupling证明开始，虽然这个decoupling不等式最早提出人是Wolff （Local smoothing type estimates on Lp for large p,）（我泛函老师同门hhh

[1403.5335] The proof of the $l^2$ Decoupling Conjecture (这是原始论文）

[1604.06032] A study guide for the $l^2$ Decoupling Theorem （这是他们写的study guide）

想要弄懂decoupling的话最重要的还是要搞懂B-D最原始的证明，但是如果你这个看的吃力，我建议你从Fourier restriction theory开始系统学习一遍，这时候我强烈推荐：

Hickman的学习讲义，非常亲民，http://math.uchicago.edu/~j.e.hickman/

或者是不太亲民的Larry Guth MIT某年课件 Math 118

单独学习Fourier restriction乃至multilinear restriction 之类的可以额外参考 Muscalu-Schlag的两册傅立叶分析以及 Mattila 的Fourier Analysis and Hausdorff Measure，当然你看Hickman的讲义也有很好的介绍，核心paper还是要看的，比如：

https://arxiv.org/abs/math/0509262 （ Bennett-Carbery-Tao 的经典证明）以及

https://core.ac.uk/download/pdf/78058204.pdf （Larry Guth的一个Kakeya版本简化证明）

a short proof and a refinement (Bejenaru （不需要Kakeya）的简化)

Fourier restriction 最近的一个survey你可以看:

https://arxiv.org/pdf/1701.06895.pdf

今年五月时候Tao一个叫Zane Li的学生给了B-D decoupling在抛物面上l2 case的一个简化证明，但是efficient congruence 与decoupling的联系在经典的用decoupling证明数论Vinogradov中值定理中已经有人揭示出来，调和研究者也许可以深挖一下这样的method和相关application： https://arxiv.org/pdf/1805.10551.pdf

decoupling的另两个我知道的重要应用一个是最近Li-Guth-Du利用其与多项式方法（这个你看Guth讲义以及 “A restriction estimate using polynomial partitioning" 系统学习）证明薛定谔方程解的一个很sharp的点态收敛，发表在了Ann.Math,解决的Carleson的在Sobolev空间维数小于1/3的对应假设:

https://arxiv.org/pdf/1612.08946.pdf

还有一个我觉得有趣的是利用decoupling 不等式将满足几何测度论里头Falconer猜想的空间的Hausdorff 维数升级到了5/4,Wolff的case是 4/3: https://arxiv.org/pdf/1808.09346.pdf

一些最基本的介绍也可以看 Demeter在今年ICM 45min的报告

https://eta.impa.br/dl/062.pdf

当然了，decoupling还有很多应用，不过考虑到我对数学的观点和兴趣发生了转变，本人也就没再深入了解这一个领域，欢迎各位补充。

以上也只是涉及了调和一点点微小的方面，也基本是我所知道的一些关于调和分析的东西，比如说最近方兴未艾的symmetric space （比如说Poincare half plane）等上的调和分析，以及Fourier integral operator等在PDE中的应用，就等待有兴趣的自己探索吧。

https://www.zhihu.com/people/paellahorizon/activities  Yu Deng