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《时间之问》（跨学科师生讨论）系列目录

内容梗概：上次已经确定了“19年7闰”，但这7个闰月到底安排在一年当中的哪个月？2000多年前汉朝人就发明了一种精巧的置闰方法：“无中置闰”，完美地解决了增加闰月引起的多与寡的问题，其中竟蕴藏了“中气”的数字秘密和令人惊叹的古老智慧！通过进一步研究过去未来600年间闰月的分布情况，发现了闰月的出现的概率最大的季节。通过进一步调查，发现从16/17世纪天文学家开普勒的伟大发现中我们可以找到一个圆满的解释。

学生问道：“既然已经确定了19年里加7个闰月，那接下来，这7个闰月加在哪些年份的哪个月呢？换句话说，如何增加闰月才能够让节气尽量符合月份？”

“我们不妨先看看之前讲的19年7闰是怎么来的。它是从3年1闰、8年3闰等一步一步优化而来的。那我们先看看为什么3年就要加一个闰月。”

“那是因为每年阴历和阳历会累积10.89天的差距，3年后就累积到了30多天，所以刚好可以插入一个闰月来抵消这种差距。” 学生说道。

“没错。那8年3闰，这3个闰月是添加到哪些年份呢？是等到8年结束时才把3个闰月添加到8年的结尾，还是每隔2-3年就添加一个闰月好呢？”

“我觉得是每隔2-3年添加一个闰月比较好，因为这样不至于到8年结束的时候阴历和阳历相差太多。” 学生说。

“很好。那么刚刚我们画的8年3闰的图就要做一下修改。第3年结束的时候误差累积到了30多天，所以要加入一个闰月，到第6年结束的时候误差又累积到了30多天，需要再加入一个闰月，到第8年结束的时候，误差累积到了将近30天，再加一个闰月，总共3个闰月。”

8年3闰：并不是在8年结束时才一次性增加3个闰月，而是每过2-3年就增加1个闰月

“这个问题我明白了，可是在第3年、第6年和第8年里，闰月到底该加入到第几个月后面呢？” 学生问道。

“继续运用这个误差累积到一定长度就需要添加闰月的思路，我们就知道在哪个月添加闰月了，只不过这时我们不是以“年”为单位来计算累积的差距了，而是要以“月”为单位来看累积的差距了。”

“也就是说要细分得更加小？”

“对。我们要以“月”为单位来看到哪个月结束的时候，误差累积到一个月，那就在那个月后面添加一个闰月。”

“嗯，明白。”

“也就是说，之前我们是想办法调和一个太阳回归年和12个朔望月（365.25天 vs. 354.36天）。而现在我们要更加精细，把一个太阳回归年365.25等分成12份，每份就是30.44天。而12朔望月分成12份，每份就是一个朔望月29.53天。这二者也不是整数倍关系，所以要想办法调和。” 老师说道。

“把一年等分成12份？” 学生好奇地问到，“二十四节气是把一年分成24份，怎么这么巧，刚好是2倍。”

“如果是把24节气看成是12个节气和12个中气的话，那么每两个节气或者每两个中气之间刚好是30.44天。” 老师提醒到。(附注：按照“平气”的计算方法。)

“哦，是啊，难道节气和设置闰月有什么关系吗？” 学生惊讶地问道。

“你很聪明！” 老师说道，“不过我们还是先看看怎么用累积误差的方法添加闰月吧。到时候我们就知道节气和闰月是不是有关系了。”

“好。”

“每过一个朔望月，两者的误差就会累加变大30.44-29.53=0.907天。一直增加到两者的误差达到了一个朔望月的程度，这样也就意味着节气和月份不符合了，就需要增加一个闰月。” 老师说道。

“但是增加了一个闰月后，不能刚好把误差抵消，又产生了新的偏差。”学生追问到。

“是的。我们可以把这个新的偏差记录下来，并放到新一轮的误差累积里。比如经过了32个朔望月，误差累积到了32*0.9075=29.04天，那就增加了一个29天的闰月，这样误差就减少到29.04-29=0.04天了。接下来我们就继续从这个0.04而不是从0开始累积，直到下一次累积到29天或30天。”

“我来算算接下来”，学生说道，“再经过32个朔望月，误差累积了29.04+0.04天，那么如果再增加一个闰月29天，还遗留0.08天的误差。这样以此类推。”

“是的”，老师说道，“这方法虽好，保证了节气和月份的相对固定，可是不太好记，也没有什么规律。不过古人找到了一种更便捷的方法，并且给新的方法起了一个很简洁的名字，叫做“无中置闰”法。”

“哦，只要这四个字就能说明问题吗？无中的“中”是什么意思呢？” 学生问到。

“中”指的是中气。” 老师说道。

“啊！我果然猜得没错，闰月和节气有关！那“无中置闰”是什么意思？”

“简单说，就是如果某个朔望月里不包含任何一个“中气”，那么这个月就应设置为闰月。”

“就这么简单？为什么呢？”

“因为朔望月只有29.53天，比两个中气之间的间隔30.44天要短一点，所以中气间隔天数总是比朔望月要慢一点。如果一开始中气位于朔望月的中间，但是过一段时间就会发现，中气越来越靠后，跑到了朔望月的后半部分，再过一段时间，中气跑出了这朔望月，而上一个中气还没有来到这个朔望月的开头，那么这个朔望月里就没有任何中气。”

一般来说一个朔望月包含一个中气，而两个中气之间的间隔30.44天。刚好有一个朔望月29.53天刚好夹在两个中气的30.44天之间，这样一个朔望月里就没有任何中气

“有可能出现这种情况吗？”

“是有可能的。因为一个朔望月29.53天比两个中气之间的间隔30.44天稍短，所以经过若干时间后，随着中气在朔望月里不断后移，总是有一个朔望月29.53天刚好夹在两个中气的30.44天之间，这样一个朔望月里就没有任何中气，如果出现了这种情况，我们就要在这个朔望月后放置一个同名的闰月。”

“多么精妙的设计！”

“所以我们只要规定一个正常的月份必须有中气，就像人也要有一口气一样，或者围棋里的棋子也必须有一口气才能活下去一样，如果某个月没有了中气，就要被迫采取补救措施了。因为没有中气，这个月自己不能独立存在，而是要依附于前一个有中气的月份。它也没有自己独立的名字，也要依附于上一个有中气的月份，如果前一个月份是五月，那这个闰月就叫做闰五月。这个月没有中气的月份，不是一个正常的月份，就是闰月。”

打叉的白棋没有自己的“气”，需借助于其它白棋的气才能活。就像闰月没有自己的中气，只有借助于其它月份的中气

“我喜欢这个围棋里棋子要有气才能活的比喻。今年有没有闰月呢？能举一个例子吗？” 学生问到。

“今年2017年是鸡年，春节来得比较早，1月28日，直觉上估计，这一年可能要设置闰月了，否则，下一年的春节继续提前11天就到了1月17日，而这是很少见的，所以有可能需要设置闰月。”

“嗯。那么闰几月呢？也就是哪个月没有中气呢？”

“我们看一下这一年的日历就知道是闰几月”，老师说，“不过，我们可以猜猜看哪个月有可能出现闰月。”

“好啊，我们一起猜一猜。”

“闰月意味着这个月没有中气，如果某个月（第N个月）的最后一天刚好是中气，那么下个月（第N+1个月）就刚好错过了一个中气，那么即使它是30天，也小于两个中气之间的30.44天的长度，换句话说第N+1月的月底还没有到达下一个中气，那么这第N+1月就没有中气，要被设置为闰月，闰月的名称是闰N月。”

2017丁酉年的中气分布：前六个月每个月都有一个中气，但中气在一个月中的位置不断后移，从正月的廿二一直后移到了六月的最后一天廿九，结果造成下一个月没有中气，需设置为闰月

“同意！让我看看日历。2017丁酉年的中气分布：前六个月每个月都有一个中气，正月里有雨水，二月有春分，三月有谷雨... 但中气在一个月中的位置不断后移，雨水在正月的廿二一，春分推移到了廿三，谷雨推移到了廿四，而大暑则后移到了六月的最后一天廿九。这样下一个月就没有中气了。”

“对，接下来的这个月就刚好错过了一个中气，而再下一个中气“处暑”要等到再下一个月的初二才到来，那么农历六月之后的这个月就完全没有中气，所以设置为闰六月！”

“啊！明白了。这实际上和我们刚才计算经过多少个朔望月后误差累积到一个朔望月是一个道理。中气代表太阳历，而朔望月代表阴历，当二者的误差不断累积，达到了一个朔望月的时候，就恰好没有中气了，这时就需要额外增加一个闰月了。” 学生说道。

“是的，不过古人很简洁，只用四个字“无中置闰”来描述整个算法。老师说到。”

“嗯，真是绝妙！把闰月和节气有机结合起来，节气不仅仅是指导农业耕作，而且还能帮助制定历法、设置闰月。”

“那闰月应该在哪几个月出现的概率比较大呢？直觉上我觉得闰月好像出现在天气比较热的时候。” 学生说道。

“你为什么有这种感觉呢？难道闰月也能感知寒冷？” 老师笑着问道。

“嗯... 我想想，我想说的是，闰月出现的夏天的几率好像比冬天大。我很少听说过闰腊月和闰正月。另外，我的生日是阴历五月，阳历6月，如果某一年是闰五月，我就可以过3个生日了！我记得2009年我过了3个生日，因为那年是闰五月。可是按照我们刚才说的“无中置闰”法确定闰月，并没有哪个月比其它月份更容易成为闰月的呀！”

“是的，并没有哪个月有优先权。我们先看一下到底哪个月出现闰月的几率更大一下。” 老师搜索了一下，找到一个从公元1810年到2409年的 闰月分布情况。“还真让你说对了，闰月出现在夏天的几率最大，冬天的概率最小。出现闰月概率最大的是阴历四月、五月和六月！”

公元1810年到2409年的 闰月频次：阴历的四月、五月和六月出现闰月的几率最大，而十一月、十二月和正月出现闰月的几率最小。

“哦，是吗？这是什么原因呢？”

“我们刚才一直假设两个中气之间的平均间隔是30.44天，也就是假设地球的轨道是圆形的，那么地球公转的速度是均匀的。但实际上，地球公转的速度并不均匀，因此两个中气之间的时间也是变化的。我们的祖先观察到了这一点。但是如何解释这一现象却要等到欧洲的开普勒，他发现地球的公转轨道不是圆形而是椭圆形，太阳位于椭圆形的其中一个焦点上。”

“哦，我想起来了。”

“接着他推算出了开普勒第二定律，行星在相同的时间内扫过的面积相等。换句话说，行星的运行速度与距离太阳的位置有关，距离太阳越近，运行速度越快，这样两个中气之间的时间就越短。而运行到远日点时，速度最慢，所以两个中气之间的时间最长 。”

开普勒第二定律：北半球的夏至是远日点，地球公转速度最慢，相同时间内扫过的角度最小，所以要扫过两个中气之间的30度角度所花费的时间最长；反之冬至是近日点，地球公转速度最快，相同时间扫过的角度最大、或者说扫过两个中气之间的30度所花费的时间最短。

“这么说，近日点是夏至吗？”

“不，正好相反，近日点是冬至。冬至夏至是对于北半球而言，对于南半球季节刚好相反，同样是近日点，北半球是冬至，而南半球是夏至，所以距离太阳远近不是产生季节的原因。季节和冷暖是因为地球自转平面和公转平面之间有23.5度的倾角，北半球夏至时太阳直射北回归线附近，因此是夏天。反之，北半球冬至时正午时分的太阳倾角最小，所以是冬天。对北半球而言，刚好在冬至附近，地球运行到了近日点，地球离太阳最近14710万千米。“远日点”时地球离太阳15210万千米，近日点和远日点地日之间的距离仅仅相差500万公里，只占平均距离的3%，相差并不大。需要注意的是，真正的近日点在冬至后的十多天（一月初），而远日点在夏至后的十多天（七月初）。为了简便起见，我们说近日点在冬至附近，远日点在夏至附近。”

“好的。”

“近日点附近，地球公转速度最快，所以两个中气之间的时间最短；远日点附近，地球运行速度最慢，所以两个中气之间的时间最长。这里我找到一个从1810年到2409年的中气平均间隔时间分布情况：冬至附近的中气的平均间隔只有29.45天，甚至比一个朔望月的平均时间29.53天都短，所以一个朔望月能够容纳下一个中气，几乎不会出现无中气的情况，所以那时出现闰月的概率极小。反之，在夏至附近，两个中气的平均间隔是31.5天，远远超过了一个朔望月的长度，所以出现闰月大大增加。”

“看来中气的间隔时间真的 和出现闰月有很大的关系，那这两者是一种正相关的关系吗？”

“我们把这闰月的分布情况和中气的平均间隔时间情况叠加到一幅图上，就看得更清楚了。你看，它们的趋势完全一致。夏至时中气平均间隔最长，因此出现闰月的几率最大；冬至附近中气平均时间最短，所以出现闰月的几率很小。”

公元1810年到2409年的 闰月频次_中气平均间隔时间

“真漂亮！不过，我在想，我们这一通计算，闰月的计算背后的实质到底是在解决一个什么问题？” 学生似乎还不满足。

“当地球绕太阳一周的时候，月亮绕了地球12周多一些，但不到13周，确切说是绕了365.2422/29.53=12.3685周，而这个数不是整数倍。但是每年只能是整数个月，要么12个月，要么13个月。这一类问题，如果真要归纳一下，可以把它抽象成一个数学问题：如果两个数之间不是整数倍而是小数倍的关系，但是要求用整数来近似小数，该如何做？也就是通过组合12和13来逼近12.3685，在数学上被称作实数的有理逼近。” 老师说。

“那解决了这种类型的问题，是不是可以解决很多类似的问题呢？”

“是的，这种用整数逼近小数的问题，是当今电路设计里一种普遍存在的问题，解决了这个数学问题，可以帮助我们设计精度更高的模拟数字转换电路以及高频时钟电路。”

“哦？是吗？有这么神奇？能详细讲讲吗。我对电路设计很感兴趣。”

未完，待续....

参考文献：

• 陈之藩，《陈之藩散文 卷三 - 思与花开》 （文章：“背诵与记忆”），牛津大学出版社，2012

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