[本学期线性代数课，安排了32学时，周4学时共8周，线上上课，已上了6周，再有两周就结束了？还没和学生见面呢。没黑板真困难，网购了一个手写板，但是我电脑有点旧还不支持，只好退了。]

简单画一些图，有不足之处欢迎指正，只为方便学生理解，教材上基本没图。欢迎引用，欢迎探讨。以下是讲线性方程组Ax=b的解时，举的一些例子及几何表达，从二维到三维，多维只能是通过二维三维启发学生去想像了。

   线性方程组的解有“有唯一解、无限多解、无解”三种情况，有图好知道“真相”。

二维：

上面的图是用word简单画的示意图，

有些图也可参考http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=797552&do=blog&id=1224029，用C语言画的更准确点。

三维空间：

即解：

横着看是三个平面，如果有唯一解，即三个平面交于一点：

从纵向来看，即向量b 是三个向量的线性组合

具体示例：

增广矩阵为

[1, 1,  1,    0.2;

1, -1, -1,    0.6;

1.5,1,-2,    0.3]

的线性方程组，b=(0.2,0.6,0.3)’,解为x=(-0.4,0.23,-0.03)’。

设a1=(1,1,1.5)’，a2=(1,-1,1)’，a3=(1,-1,-2)’。

三个平面交于一点x，向量b可由a1,a2,a3线性表示。R(A) = R(A, b) = n

增广矩阵为

[1,   1,  1, -0.5

-1,  -1,  -1, 0.5

2,   2,   2,  -1]时

化成行最简形，只有一个非零行，有两个自由未知数，无限多解，解在一个平面上，三个平面”相交”于一个平面,即重合。向量a1,a2,a3,b在一条直线上。

R(A) = R(A, b) = 1

增广矩阵为

                            1, 1, 1, -0.2,

                            1,-1,-1, -0.6,

                            3, 1, 1,   -1

时,化成行最简为

1.00  0.00  0.00  -0.40

 0.00  1.00  1.00  0.20

 0.00  0.00  0.00  0.00

R(A) = R(A, b) =2< n

三个平面相交于一直线，有无限多解，向量a1,a2,a3,b在一个平面上。

X=c(0,-1,1)’+(-0.4,0.2,0)’。

增广矩阵为

    [1,  1.5,  1,  0;

    2,   3,   2,  -0.6;

1,   1.5,   1  , 0.5]

R(A)=1, R(A, b)=3，R(A) < R(A, b)

三个平面平行,无解，从纵向，向量角度看，三个向量在一条直线上，不能表示向量b。

另外一种无解的情况：

[1,1,1,0.4；

1,1,1,-0.3；

1,2,-1,0.5]

R(A)=2, R(A, b)=3，R(A) < R(A, b)

两个平面平行,与第三个平面相交，还是没有一点满足三个平面方程，无解。向量a1,a2,a3构成一个面，b不在这个平面上，不能用a1,a2,a3线性表示。