【文清慧注：下面是沈卫国先生2012.8.16的来信

和投给评论园地的文章。】

文清慧博主，您好！

发去一篇我自己过去文章中关于斯柯伦定理、悖论的引文及评论。中国人说了历来在中国人这里就什么都不是，那么，我们看看外国人、而且是些名家都是怎么说的。此问题的由头，是先由“数学工作者”在新语丝发文，对何教授的“统一无穷理论”一书发难，后有“反对伊战”网友等以斯柯伦定理反对，又有“数学工作者”在网上现查到斯克伦定理的资料，现炒现卖，草草为自己辩护几句，其后，反对伊战先生的文章新语丝就不给登了。反对伊战不得已改投此论坛。然后，薛问天先生与反对伊战先生就此问题展开讨论，薛先生意，斯柯伦定理，并不等于说实数集可数，反对伊战先生说，自己多年前在国外学的斯柯伦定理，有些严格表述可能不准确，但意思还是有的。我间或参与讨论，我的意见是，斯柯伦定理，当然并不等于说实数集可数，否则还要我们在这里啰嗦什么呢？但它所预示的理论的矛盾之处是很明显的。即使有人认为斯柯伦定理并不构成真正的悖论也罢。我就不多说了，先看看外国人是如何讲的吧。

                            夏安！

                                                         沈卫国上

一篇我过去文章中关于斯柯伦定理、悖论的引文及评论

（部分截稿）

沈卫国

4、勒文海姆－斯科伦定理及其悖论

就此问题克莱因曾经写道：^［9］

困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及柯恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆（Leopold Löwenheim）1915年开始的，通过从1920年到1933年之间斯科伦（Thoralf skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的勒文海姆－斯科伦定理。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论，建立了合乎逻辑的数学公理，对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型，都能满足这些公理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在À₀个整数，则存在着整个实数集合（甚至在超限的涵义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻划了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，并具有表上所列的全部特性，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。

……勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于发端于20世纪初的公理化方法而言，它无疑是另一次沉重打击。直到不久前公理化仍被认为是唯一可靠的方法，而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。

……数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在对平行公理争论了几个世纪之后，罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何，黎曼也给出了另一个几何学。用数学的语言来讲，这两个解释是同构的。然而，勒文海姆—斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构，它们是完全不同的。

王浩写道：^［7］

Löwenheim（勒文海姆）和skolem（斯科伦）在谓词演算方面做了令人感兴趣的工作，特别引人注意的成果是“佯谬式的”定理：如果公理集合论有一个模型，那么它就有一个可数模型，因为我们想要有许多不可数的集合，这一点就显示出形式系统的局限性。

从洛文海姆—斯科伦子模型定理可推出，没有可数的一阶理论可以唯一地确定实数，因为我们所想的实数模型是不可数的。类似的结果还有，若通常的公理系统ZF有一个模型，则它也有一个可数模型M。例如，我们可以在ZF中证明一个定理（1）$x（x是不可数的），即，ZF |=（1），因而有M |=（1）。但（1）仅仅在M内为真，从模型的外部看，对于M，（1）是不真的。换句话说，即使M包含很多集合（例如ω₁在M中），按照在M中能利用的函数，这些集合是不可数的，但它们在“真实的世界”中却是可数的。有时称这种特异现象为Skolem悖论。在现代集合论研究中，人们常常遇到在给定的模型中一个集合的基数与它的真实基数之间的差别。

普特南论述道：^［4］

勒文海姆—司寇伦定理说，可满足的一阶理论（使用可数语言）有一个可数的模型。试考察语句：

（ⅰ）-($R)(R是一一对应的。R的定义域 N。R的值域是S)，

其中“N”是所有整数的集合的形式词项，母式内的三个合取项具有显见的一阶定义。

以你所喜爱的形式化集合论中的所有实数集合的形式词项替换“S”。 （ⅰ）将成为一个定理（已被康托尔的著名的“对角线论证”所证明）。所以你的形式化集合论说，某个集合（称它为“S”）是不可数的。所以S必定在你的集合论的所有模型中都是不可数的。所以你的集合论比如ZF（策尔梅洛—弗兰克尔集合论）只有不可数模型。但这是不可能的！因为根据勒文海姆—司寇伦定理，没有什么理论能只有不可数模型；如果某个理论具有一个不可数模型，那它必然也有可数地无限个模型，矛盾。

正像司寇伦所指出的，这个表面矛盾并不难解决（我指称为二律背反或近于二律背反的，并不是这个表观矛盾）。因为（ⅰ）只是“说”，当量词（$R）被解释为包括关于N×S的所有关系时，S是不可数的。但当我们为集合论语言选取一个可数模型时，“（$ R）”便不再包括所有关系；它只包括模型中的关系。（ⅰ）只说“说”，S在相对意义上是不可数的,即S的成员不能按模型中的任何R与N的一个子集有一一对应。一个集合S能在这样的相对意义上是“不可数的”，而“实际上”却是可数的。当S与N之间存在一些一一对应，但它们都不在给定模型中时，情况就是如此。从一个模型的角度看来是“可数的”集合，从另一个模型的角度看来却可能是不可数的集合。正像司寇伦所总结的，“在公理集合论范围内，甚至‘有限’、‘无限’、‘简单无限序列’等概念原来也只是相对的。”

……

我们已经看到，涉及理论术语指称的科学哲学论争以及涉及选取集合论之唯一“预期模型”的问题的数学哲学论争都与勒文海姆—司寇伦定理及其近亲——哥德尔完全性定理有关。有关指称的论争也发生在涉及感觉材料和物质对象的哲学中，而这些论争又都与前面讨论的模型论问题有联系。（在某种程度上，真正看来司寇伦悖论成了二十世纪哲学的特征性问题的基础）。

如实数集是可数的，上面引文中的（i）将不再是定理，悖论自消，而反观以上引文中对斯科伦悖论的解释，显然不能令人信服，什么叫由“模型”的外部看？它与内部看怎么就不同？一个模型的实质为什么会与在哪里看它有关？又什么是“真实世界”？什么世界又“不真实”，什么是“实际上”？还有“不实际上”？“相对意义”如何解释？以上这些，与其说是解释了、说明了什么，还不如干脆老老实实承认，这个问题并未搞清，对一个如此重要的问题如此轻描淡写实出意外，是不行的。当然，这也反映了人们的一种无奈，应承认斯科伦看到了一些实质问题，但却无法解释清楚。

另一个问题，我们知道模型论中的洛文海姆—斯科伦定理的结论——每一模型都有可数模型。能否就此认为，这就是笔者得到的实数集可数的结论？如这样认为，就是典型的因果倒置，因正是由于存在不可数集，才产生的斯科伦悖论，而这正是必须澄清的。

由于洛文海姆—斯科伦定理哥德尔在关于连续统的工作中要使用，因此它的问题的重要性是显然的。

5、讨论及结论

至此，本文实际涉及互相关联的两个问题：

1、论证康托对角线法由于需要此前隐含的特殊前提，因此按经典的、康托给出的可数、不可数定义，它并未如康托所认为的、并广泛被认可的那样，证明实数集（连续统）的不可数性；

2、在上面论述的基础上，给出了一个简单的实数集可数的证明。

因此即使上面第二点（证明）有疑义，仅做到第一点也有重要意义。可能由于笔者先前给出的证明较复杂而不太直观，读者在理解上容易不自觉地又使用康托对角线法的结论而进入循环论证，并忽视第1点的结论，这是违反逻辑推理规则的（以结论为出发点）。

此外，在笔者先前的一系列论文中 ^[1][2][3][8]，为了减少理论的冲击力并尽可能保留已被广泛接受并从未受到怀疑的传统理论中的合理成份，经常使用“可数、不可数的相对性”这一概念，并将其形象化地与几何中的第五公设的相对性相比较，尽管笔者在以往论文中对此进行了详尽的说明，但如读者未仔细阅读仍有可能产生疑惑，反而增加了理解上的难度。因此，在本文中，笔者不再以此相对性论点为立论主线，而是断然地、明确地指出康托对角线法、进而实数集不可数结论的不完备性。

而在此基础上，再讨论（不是不可讨论）涉及改变经典可数、不可数定义的相对可数性问题。

我们也可以这样理解康托对角线法：由于建立了实数小数表示法的位数（横列）与所列出的（纵列）实数个数的一个严格的一一对应，而实数小数表示法的每一位在二进制下可有两个状态——0或1，前n位就有2ⁿ种不同的组合方式，或认为就已经可以表示2ⁿ个不同的实数了，而与其对应的纵列排出的实数，只有n个，于是，我们完全有理由相信，人们无意中在这里使用了选择公理（在2ⁿ个中只选了n个），从一个完备实数集中选出了它的一个真子集（即纵列上已排好的那些“可数”的实数），它的可数，并不能证明实数集不可数，正如运用选择公理由自然数集中选出一个可数的偶数集，并不能证明自然数集就不可数一样。

正如上文所论，有关康托对角线法及实数集可数性问题的最终澄清，显然可以解决一系列极其重要的数学、逻辑问题。正如普特南在《数学哲学》的导言中所言：

今天，在任何学派的哲学家或数学家中，很少有人会认为实数集的任意集合之类的概念是完全清楚的，或者认为这件事已经清楚了，即能用这个概念写出的所有数学陈述都有在被一个规则——哪怕是非构造性规则——固定下来的意义上明确定义的真值，并且这个规则并没有假定“任意集合”的概念。

……

可能有这样一种论证方式：或许我们本可不同于现在的地方是具有“数出”不可数集合或“计算”不可计算函数等的能力，用罗素的名言来说，这种技能是否至多只是“医学上不可能”（medically impossible），这肯定还是一个争论中的问题。如果这种不可能性只是医学上的——如果它只是我们遗传构造的偶然属性，则这种技能便不一定是不可能的，而只要这种技能并非不可能，我们就有可能解决我们目前不能解决的问题，如果这些问题是我们可能解决的，它们就必定是实在的问题，从而必然存在有关的事实。

集论创建之初，是作为想成为整个数学的一个坚实、简单的基础而被提出的，但反观现在，集合论自身反倒庞杂、纷乱，充满了自相矛盾的命题，它日益被边缘化，充其量不过成了数学的一个冷僻的、无足轻重的分支，即使在数理逻辑界也少人问津。

显然，康托等人建立它的初衷远未达到，何以故？笔者认为，某些基本概念未被澄清是一个根本原因，它想诠释其它甚至一切，结果自身的问题反倒解释不清，外谚有云：一个难解的绳结，就一刀斩断它，中国也有“快刀斩乱麻”的说法。笔者在一系列文章（包括本文）中提出的思想，就提供了这样一把刀。

克莱因早就指出：“正如过去多次发生过的一样，数学家们先是无意识地使用了某条公理，后来才不仅意识到了正在使用它，而且还得考虑接纳这样一条公理的基础。”

现实发生的一切，再一次证实了他的结论性预言。

笔者对此问题有过较详尽的讨论，并提出了新的公理，以彻底解决数学基础方面的混乱^[1][2][3][8]。

经常听人谈及一个科学理论特别是数学理论的“美学”问题，以此观之，当前在集合论及数学基础方面，理论不能称为是“美”的，它零乱、繁复，本来指望该理论能够解决整个数学大厦的基础问题，结果它自己本身反倒成为一个需要不断修补、矛盾重重的庞杂系统。而笔者在一系列文章中新构建的理论，可以使整个系统变得简洁清晰，因此仅就美学而言，就有无庸置疑的优势。

由康托对角线法、实数集可数与否所揭示的问题，绝不仅仅是某数学方法的局部问题，它是牵涉整个数学基础牢固与否的全局性问题，实际上，它是古希腊芝诺悖论、十七、八世纪微积分的基础等问题的延续^[9]。数学中凡涉及无穷概念的一切论述、推理、证明，如不是建立在对此问题彻底澄清的基础上，均是可疑的、不堪信任的。历史又在重演，尽管是新的形式。康托对角线法问题与几何中的第五公设问题有相当可比性。几何中的第五公设问题是先有公设（公理），但人们长期没有意识到，还有另外的公理可以替换它，它的难度在这里；而实数集的可数性问题的难度，是人们长期没有意识到在使用康托对角线法时无意中使用了一条公理。而一旦意识到这一点，用另一条公理替代它，并不难，因已有几何中第五公设问题的前例了。

康托对角线法的结论实际上构成了一个逻辑循环：结论已在假设中，不过长期未被觉察罢了。

关于此问题及相关问题的更详尽、更广泛的讨论，比如康托定理、哥德尔定理、递归问题等，请见笔者其它论著^[1][2][3][8]。

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