【文清慧注：下面是何华灿教授2012.8.10.投给评论园地的文章】

统一无穷理论在公理化中的破与立

何华灿  20120810

各位网友，大家好！

有权威人士断言统一无穷理论无法自圆其说，当然就更不可能建立公理化的演绎系统了，我不相信这个预言。因为数学语言的作用就是数学家用来描述他心中的世界模型，就像文学语言的作用就是作家用来描述他心中的故事一样。我心中已经有实无穷过程的领域模型，为什么就不能用地道的数学语言把它描述出来？就算我个人没有这个能力和水平，全世界就找不出一个，有好故事存在就会有好小说出现！

我暂时离开公理集合论（ZFC系统）利用数的理想计数器模型来研究实无穷过程，考察数域的大小及其基本性质，并不是从根本上反对公理化思想，而是因为现行公理集合论（ZFC系统）已被康托尔的极限（穷竭）实无穷观严重污染，渗透到一些基本概念、规定和公理中，实无穷过程中数域的大小及其基本性质已经被严重地扭曲，一时难以分离开来，达到去伪存真的状态。同时由于现行公理集合论（ZFC系统）没有说明它依据什么领域模型假设提出，别人没法直接从领域模型层面寻找出错的原因，这是公理化方法的局限性。所以作者不得不退回数和数学产生的起点，利用计数器来正本清源，返璞归真，首先找到能够全面准确地反映实无穷过程的领域模型，通过这个模型来推测康托尔心目中的领域模型假设错在什么地方，最后才能达到在现行公理集合论（ZFC系统）中去伪存真，建立正确的公理集合论的目的。作者只有首先离开现行公理集合论系统（用ZFCS表示），根据统一无穷理论独立建立公理集合论系统（用HHCS表示），最后才能回到现行公理集合论系统，分清其中的是非曲直。可以想象，即将建立的新系统可能会在许多方面与老系统相同，不同的仅是少数，但是康托尔极限（穷竭）实无穷观的污染已经在新系统中被彻底排除了，欲擒故纵地周折一番值得。当然，作者并不反对有数学水平十分高超的人直接在现行公理集合论（ZFC系统）中排除康托尔极限（穷竭）实无穷观的污染，达到净化公理集合论的目的。

现在向大家汇报一下我的初步想法，请网友们批评指正。

新老两个公理系统中的主要差别是对“自然数集合”和“实无穷大”的认识不同，对有穷数的认识没有差别。下面用HHCM表示统一无穷理论中的“领域模型假设”，我已经在《统一无穷理论》中描述出来。用CTRM表示层次无穷理论中的“领域模型假设”，康托尔没有明确给出，作者只能从他的层次无穷理论中寻找若干最基本的概念和真命题为代表，请读者帮助指正和完善。

HHCM 遵循理想计数器原理和无穷概念的双相性，它主张：1）潜无穷不能直接转换成实无穷；2）自然数集合=“完整的自然数集合”；3）“传统的自然数集合”不是实无穷闭集，而是潜无穷开集；4）实无穷大是不能再继续增大的自然数；5）其它。

CTRM 遵循传统的自然数概念和微积分中的e-N严格化方案，它主张：1）通过对开放的潜无穷过程求极限可以得到封闭的实无穷结果；2）自然数集合=“传统的自然数集合”；3）“传统的自然数集合”既是潜无穷开集，又是的实无穷闭集；4）实无穷大是可继续增大的超穷数；5）其它。

所以，统一无穷理论的公理系统HHCS相对于ZFCS来说，需要破除一个概念（自然数集合=“传统的自然数集合”）和三个原则（康托尔的第一生成原则，第二生成原则和第三生成原则），建立一个概念（自然数集合=“完整的自然数集合”）和一原则（实无穷大¥是不能再继续增大的自然数）。其它细微的差别将在以后逐步地明确和讨论。目前的数学界相信CTRM和ZFCS是符合客观实际的，不能接受我的统一无穷主张。而我则相信HHCM 和未来的HHCS是更符合客观实际的，在CTRM和ZFCS中存在错误。从这样的对比可以清楚看出，“实数可数”，2^¥=¥的“诉求”在HHCS中是自然成立的，而在ZFCS中是被排斥的。不过这些反对意见不能阻挡我们的探索进程，以后HHCS的应用效果将说明一切。

下面通过对一些具体问题的分析来进一步明确我的无穷主张：

1，对吕陈君老师的证明文章我仔细看过，发现他新引入的潜无穷公理及其派生物在我的HHCM中很不合理，但是从ZFCS的角度看，应该如何表达出来我目前还吃不准，现在能够说清楚的是：就算吕老师利用ZFCS中的三条公理A1、A2、A3和一条新的潜无穷公理Q能够证明“实数可数”，2^¥=¥成立，他还没有证明新潜无穷公理Q和整个ZFCS的相容性，所以他在文章后面引伸出来的那些结论全部无效。大家知道，由于ZFCS中已经有“实数不可数”，2^¥>¥的结论，所以肯定不会允许新潜无穷公理Q的加入。这就是说，你不能在ZFCS内仅仅依靠A1、A2、A3和Q来实现你的“诉求”，只能通过改造ZFCS（或者另起炉灶）建立自己的新公理系统LCJS，把各种你认为的“真命题”全部包容进去（包括A1、A2、A3和Q），把各种你认为的“假命题”全部排除掉。这样，吕老师事实上已经脱离了ZFCS进入到自己的LCJS。

2，对沈卫国老师证明的意见与此类似，如果你承认ZFCS中的以下假设或者定理是“真命题”：CZ1，自然数集合=“传统的自然数集合”，它是由有穷自然数组成的潜无穷的点集，其基数是最小的实无穷大w（根据第一生成原则和第二生成原则）。CZ2，承认实无穷大可以继续增大（根据第三生成原则）。CZ3，单位区间实数集合是w位的编码集，其基数是2^w。那么，无论是对角线法、区间套法还是其他方法，都是根据这些“真命题”进行的合法推理（因为w个有穷自然数和实数的w个编码位一一对应是理所当然的，而与2^w个实数编码一一对应是不可能的），其证明结论也与系统中的其他“真命题”相容。如CZ4，集合的幂集是集合，它有2^w个元素。可以应证2^w>w的结论正确。沈老师希望不改变ZFCS中的这些“真命题”假设，仅仅通过修改一一对应的潜在规则来达到证明“实数可数”，2^w=w的目的，就算你局部上看能够“成功”，在ZFCS的全局上看仍然无法协调各种矛盾，不得不拒绝你对一一对应规则的修改。除非你突破ZFCS，修改那些妨碍你修改一一对应的潜在规则的规定和公理，重新建立自己的公理系统SWGS。

上述两点表明我们三人实现统一实无穷的具体途径是不同的，在目前可以相互补充和相互应证，在将来有可能殊途同归，走向一体化，那就是从现行公理集合论中删除一些不合理的内容，增加一些合理的内容，形成新的公理集合论，以便排除层次无穷理论，实现统一无穷理论，不破不立。

3，还有一个需要说明的“技术细节”特别重要：在ZFCS中，“自然数集合=传统的自然数集合”有两副完全不同的“面孔”，这是第一生成原则和第二生成原则赋予自然数集合的“变脸术”。按照第一生成原则，自然数集合是由有穷自然数组成的开放的潜无穷的序列，它没有终点（最大元）存在；按照第二生成原则，自然数集合是由有穷自然数组成的封闭的实无穷集合，它有确定极限数w存在，w是最小的实无穷大。但是，在什么情况下必须使用第二生成原则达到极限w，在什么情况下不能使用第二生成原则，停留在达到极限以前的状态，ZFCS中没有明确地规定，只能是使用者看情况灵活地掌握。例如，在证明有理数可数时，由于有理数是开放的潜无穷序列，没有达到极限状态，所以，自然数集合呈现出开放的潜无穷序列、没有达到极限状态的面貌。在证明实数不可数时，由于实数已经是封闭的实无穷集合，达到了极限状态，所以，自然数集合呈现出封闭的实无穷集合、达到了极限状态的面貌。从中我们可以体会到一个蕴涵的使用原则：自然数集合是“人鬼混合体，它见人是人，见鬼是鬼”。我体会吕老师和沈老师在内心都有一个期望，能够模仿有理数可数的证明方法，利用“传统的自然数集合”是开放的潜无穷序列、没有达到极限状态的一面，来达到证明“实数可数”，2^¥=¥成立的目的，这实际上已经违反了自然数集合“见人是人，见鬼是鬼”的默认原则，所以必然会受到了传统思想的反对。我的HHCM是把“传统的自然数集合”明确规定为“鬼”，它不是实无穷闭集。把“完整的自然数集合”明确规定为“人”，它是实无穷闭集。于是开放的潜无穷序列离开了实无穷集合的队伍，封闭的实无穷集合得到了纯化，实无穷大自然就统一了。所以，数学界反对我的意见都集中在一点，那就是不能用“完整的自然数集合”来取代“传统的自然数集合”成为“自然数集合”的内涵，目的仍然是维持实无穷大的分层现状，阻止实无穷大走向统一。

4，有朋友担心统一无穷理论会使现代数学崩溃，破坏惨重。我们认为没有那样悲观，统一无穷理论带给现代数学的影响只有两条：

1）承认潜无穷过程和实无穷过程必须同时并存，各斯其职，不能相互排斥、相互代替和相互转换；

2）传统的自然数集合、有理数集合都是未完成的“潜无穷开集”，它们没有确定的基数，只有代表发展趋势的“势”。所有潜无穷开集的势都是w，完整的自然数集合、实数集合都是自我完成了的“实无穷闭集”，它们有确定的“基数”，所有“实无穷闭集”的基数都是实无穷大¥。同时，实无穷小d唯一存在，这样实数理论和连续概念将十分简单明了。

    可见，统一无穷理论涉及数学理论的修改虽然是全面的，但仅仅是与实无穷大的分层有关的部分内容。而且修改的解决办法也十分简单，只要在理论中停止实无穷大和实无穷小的无限分层即可。所以，统一无穷理论只会简化目前的数学理论，删除一些因为实无穷大分层和连续统概念派生出来的各种繁琐概念和理论，不会全部推翻目前的数学理论去重建。

欢迎批评指正，谢谢！

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