【文清慧注：下面是何华灿教授2012.8.8.投给评论园地的文章】

换个视角理解无穷问题可能会更清楚

何华灿 20120808

各位网友：大家好！

现在仍然有许多朋友无法理解何华灿在说什么，为什么康托尔的无穷主张就一定错了，你自己的主张就一定正确，不过是王婆卖瓜而已。我想这与平常大家使用的集合表示方式{0, 1, 2, 3, ×××, n, n+1, ×××}有关，其实集合有多种等价的表示方式，多用几种方式一起对照比较，可能会帮助您看清无穷问题的本质。

例如：

1，在有穷过程中，通过n位二进制计数器生成的有穷自然数闭集是N_r={0=[0···0]_n, 1=[0···01]_n, 2=[0···010]_n, 3=[0···011]_n，···, 2ⁿ-1=[1···1]_n}，其标准表示形式是N_r={x|x=a_n×××a₃a₂a₁, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式是N_r={0, 1, 2, 3, ×××, n, n+1, ×××, 2ⁿ-1}，N_r的基数是2ⁿ。

有穷正小数闭集是I_r={0/2ⁿ=[0.0···0]_n, 1/2ⁿ=[0.0···01]_n, 2/2ⁿ=[0.0···010]_n, 3/2ⁿ=[0.0···011]_n，···, (2ⁿ-1)/2ⁿ= [0.1···1]_n}，其标准表示形式是I_r={x|x=0.a₁a₂a₃×××a_n, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式是I_r={0/2ⁿ, 1/2ⁿ, 2/2ⁿ, 3/2ⁿ, ×××, n/2ⁿ, (n+1)/2ⁿ, ×××, (2ⁿ-1)/2ⁿ}，I_r的基数仍然是2ⁿ。

在有穷情况下，这三种表示方式都容易帮助大家理解自然数集合和正小数集合为什么一样多。

2，在潜无穷过程中，有穷正整数ñ可以无限地增大，但永远不能超过潜无穷大w。通过ñ位二进制计数器生成的自然数开集和正小数开集都是2^ñ个。由于ñ®w的变化过程永远不能完成，ñ永远都是偏小的有穷自然数，还有许多偏大的有穷自然数等候在ñ的后边等待生成，于是2^ñ也只能是偏小的有穷自然数编码，还有许多偏大的有穷自然数编码等候在2^ñ的后边等待生成。因为当ñ是有穷数时，2^ñ仍然是有穷数。所以，当ñ®w时，2^ñ®w，而不是2^ñ®2^w。

潜无穷自然数开集是N_p={0=[0···0]_ñ, 1=[0···01]_ñ, 2=[0···010]_ñ, 3=[0···011]_ñ，···, 2^ñ-1=[1···1]_ñ}，ñ®w，且ñ¹w，其标准表示形式是N_p={x|x=a_ñ×××a₃a₂a₁, ñ®w且ñ¹w, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式是N_p={0, 1, 2, 3, ×××, n, n+1, ×××}。称w为潜无穷自然数开集N_p的“势”，它代表开集中元素数目增加的不可达上限（或发展趋势），与闭集中直接反映元素数目的“基数”不同。

潜无穷正有理小数开集是I_p={0/2^ñ=[0.0···0]_ñ, 1/2^ñ=[0.0···01]_ñ, 2/2^ñ=[0.0···010]_ñ, 3/2^ñ=[0.0···011]_ñ，···, (2^ñ-1)/2^ñ= [0.1···1]_ñ}，其中ñ®w，且ñ¹w。其标准表示形式是I_p={x|x=0.a₁a₂a₃×××a_ñ, ñ®w且ñ¹w, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式不存在，只能是逐位展开式I_p={0/2^ñ, 1/2^ñ, 2/2^ñ, 3/2^ñ，···, (2^ñ-1)/2^ñ|ñ®w，且ñ¹w}={ 0.0, 0.1, 0.01, 0.11, 0.001, 0.011, 0.101, ×××, (n位的二进制编码，其中末位不为0), (n+1位的二进制编码，其中末位不为0), ×××}。可见，潜无穷正有理小数开集I_p的“势”仍然是w。

从I_p的标准表达式可以看出，由于潜无穷小数的位数一直处在不断地变化过程中，没有停下来的可能性，所以通过潜无穷过程生成自然数的过程没有止境，生成正小数的过程也没有止境，这就是说，在I_p中无法获得需要实无穷位才能表示出来的实数和实数的连续性，明确这一点非常重要。

由于在潜无穷开集中去掉一个元素并不影响其发展趋势，所以潜无穷开集有可能和自己的真子集等势。对任意有穷整数m，n，常见的增值运算（f(x)>x）有1+m>m，n+m>m，n´m>m，mⁿ>m，n^m>m。当m®w时，1+m®w，n+m®w，n´m®w，mⁿ®w，n^m®w，表明它们都退化为保w运算（x®w，f(x)®w）。

3，在实无穷过程中，由于实无穷大¥可达，所以¥和有穷自然数n都是真实存在的自然数，它们都可达，差别仅仅是¥永远不能继续增大了，而n如果需要还可继续增大。¥位二进制计数器生成的完整的自然数闭集是N_a={0=(0···0), 1=(0···01), 2=(0···010), 3=(0···011)，···, v=(0···0[1···1]), w=(0···01[0···0])，···, µ=(1···1), ¥=(1···1)⁺}，它是一个实无穷的闭集，有最大元¥存在。其标准表示形式是N_a={x|x=a_¥×××a_n+1a_n ×××a₃a₂a₁, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式是N_a={0, 1, 2, 3，···, , n, n+1, ×××, v, w，w+1,···, w+n, w+n+1, ×××, µ, ¥}或者N_a={0, 1, 2, 3，···, n, n+1, ×××, ¥}，基数是2^¥。

由于¥是不可能再继续增大的自然数，所以1+¥=n+¥=n´¥=¥ⁿ=n^¥=¥。

完整的单位区间实数闭集是：I_a={(0.[0···0]0···0), d=(0.[0···0]0···01), (0.[0···0]0···010), (0.[0···0] 0···011)，···, L=(0.[0···0] 1···1), D=(0.[0···01]0···0)，···, 1.0^-=(0.[1···1]1···1), 1.0=(0.[1···1]1···1)⁺}，它是一个实无穷的闭集，有非0的最小元d存在。其标准表示形式是I_a={x|x=0.a₁a₂a₃×××a_na_n+1×××a¥, a_iÎ{0, 1}}，通常表示形式是I_a={0, d, 2d, 3d，···, nd, (n+1)d, ×××, L, D，D+d,···,  1.0-d, 1.0}，其逐位展开形式是I_a={ 0.0, 0.1, 0.01, 0.11, 0.001, 0.011, 0.101, 0.111, ×××, (n位的二进制编码，其中末位不为0), (n+1位的二进制编码，其中末位不为0), ×××, (¥位的二进制编码，其中末位不为0)}，I_a中包含了全部有穷位正小数和无穷位正小数、有理小数和无理小数，基数是2^¥。

实无穷闭集N_a，I_a与潜无穷开集N_p，I_p有本质地不同，它们形成的原因不同，包含元素相差很多，集合的基本性质不同，不能混为一谈，更不能相互转化，否则会带来混乱！

实无穷大¥的物理意义是一个被压缩到一点的“绝对数值饱和区”，它不仅比所有的有穷自然数都大，而且比所有的趋近无穷自然数都大，没有比¥更大的数存在。潜无穷大w的物理意义是一个“数值无底洞”，有穷自然数n可以无限地接近w，但无论n如增加，都永远无法到达w。

在实无穷过程中，自然数能够按照相同的间隔1从小到大顺序地排列，形成封闭的自然数谱[0, 1, 2, 3, ···, n, n+1, ···, µ, ¥]，这个数谱相对于计数单位1是连续的，称为相对连续性。单位区间实数能够按照相同的间隔d从小到大顺序地排列，形成封闭的单位区间实数谱[0, d, 2d, 3d, ···, nd, (n+1)d, ×××, L, D，D+d,···,1.0-d, 1.0]，这个数谱相对于计数单位实无穷小d是连续的，称为绝对连续性。

4，康托尔的层次无穷理论比历史上的潜无穷观和变量实无穷观都有所进步，但他最终没有将非无穷自然数的性质2ⁿ>n从实无穷大¥的基本性质中排除，在数学基础理论中留下了危害很大的瑕疵，这不能不说是一个历史的遗憾。康托尔为了给实无穷大的无限分层找到合理的解释，他提出过三个生成原则：把从0开始相继+1生成有穷序数的过程概括为第一生成原则（延伸原则），它生成的全体有穷序数称为第一数类{I}，即传统的自然数集合N，其中没有最大元出现。第二生成原则（穷竭原则）是：给定任一有特定顺序的、其中无最大元的集合，通过穷竭可得出一个新数w，它大于原集合中任何一个给定的数，叫超穷序数。例如从0, 1, 2, 3, ×××, n, n+1, ×××出发，可以引出一个新数w，它是第一数类{I}的基数，即第一个超穷基数À₀，À₀大于所有的有穷自然数n。通过反复应用这两个生成原则，可形成如下的无穷序列：0, 1, 2, ×××, w, w+1, w+2, ×××w+w=w´2, w´2+1, ×××, w´2+w=w´3, ×××, w´w=w², ×××, w^w, w^w+1, ×××, 它们的全体组成了第二数类{II}，其中也没有最大元出现。于是康托尔引入第三生成原则（限制原则），规定第二数类{II}的基数是更大的新数W，即第二个超穷基数À₁，À₁大于{II}中的所有数，是不可数基数À₁。于是他认为，从自然数开始，反复利用这三个生成原则，就能够得到第一数类{I}、第二数类{II}、第三数类{III}、×××，它们的基数分别是À₀、À₁、À₂、×××。

从这里可以看出，他的第一生成原则（延伸原则）是对潜无穷过程的概括，它表示有穷自然数可无限的延伸，没有终点（最大元）。第二生成原则（穷竭原则）认为，通过对潜无穷过程的穷竭（取极限）可得到一个实无穷的结果w=À₀。这两个生成原则完全是对柯西和魏尔斯特拉斯“e-N语言”变通方案的直接翻版，不是他的创新。提出第三生成原则（限制原则）仅仅是为了反复运用前两个生成原则，得到更多的实无穷大À₁、À₂、×××。可见，层次无穷理论并不是康托尔经过对实无穷过程本身进行深入研究后得出的实无穷理论，而是把潜无穷过程和实无穷结果通过简单地混合得到的产物，他错误地认为实无穷的结果可以从潜无穷过程中产生出来，这是一种主观臆造的实无穷理论。

还可以认为康托尔的巨大失误起源于开始的一个小小的技术细节，那就是他使用了具有二义性的无穷集合表达形式N={0, 1, 2, 3, 4, ×××, n, n+1, ×××}。在À₀=|N|=|{0, 1, 2, 3, 4, ×××, n, n+1,×××}|的定义中，无穷大À₀到底是什么？其中的无穷过程是否已经完成？定义本身对此没有任何交代，别人完全可以随心所欲地去理解，于是N={0, 1, 2, 3, 4, ×××, n, n+1,×××}有了两付面孔，是个变脸王。它既可以是潜无穷的开集，其势是w，又可以是实无穷的闭集，其基数是À₀，然后规定w=À₀。康托尔在证明正整数集合、整数集合、奇数集合、偶数集合、有理数集合、代数数集合都可数时，利用的是N的潜无穷开集性质。在证明实数不可数定理时利用的是N的实无穷闭集的结果À₀。但是，自然数的基本性质决定内蕴性不能自动转化为排序性，所以潜无穷开集不能演变成实无穷闭集，康托尔这样做是没有根据的主观想象。

正是由于康托尔的这些失误，才造成了层次无穷理论这个怪胎的出世，并在现代数学中繁衍出许多希奇古怪的所谓理论，现在是到了需要正本清源，反扑归真的时候了。

5，统一无穷理论首先是根据在实无穷过程中，实无穷闭集N_a和I_a都是¥位的编码，都有2^¥个元素，2^¥=¥的事实提出的。而且还注意到潜无穷开集N_p和I_p都是有穷位的编码，具有增加到w的发展趋势，两者有本质地不同，它们形成的原因不同，包含元素相差很多，集合的基本性质不同，不能混为一谈，更不能相互转化。由于¥是不可能再继续增大的自然数，所以有基本性质1+¥=n+¥=n´¥=¥ⁿ=n^¥=¥成立。作者认为，实数的概念和连续变化的概念只能在真正能够反映实无穷过程性质的统一无穷观中建立，目前的有关方法是错误的。

返回 文清慧：《统…论》评论园地首页：

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593018.html