沈卫国：徐利治先生对实数集合可数、不可数问题的见解

【文清慧2012.8.3.注：下面是沈卫国先生的来信和发的文章全文。】

文博主，您好！

       发去一篇关于徐利治老先生对无穷、实数可数与否的见解及其著作的介绍文章。

    徐先生是华罗庚、陈省身的高足，资深数学家了。造诣很高，长期研究无穷问题。是权威，真正的权威。我感到值得单独发一文。特别值得一提的是，他是赞同实数集可以可数的。起码是相对意义上。具体见我发的文章中。

       夏安！

                 沈卫国上

徐利治先生对实数集合可数、不可数问题的见解

华罗庚、陈省身的高足资深“数学工作者”徐利治先生

对实数集合可数、不可数问题的见解

徐利治先生，是抗战时期西南联大时华罗庚、陈省身的亲传弟子，华罗庚曾经说过，徐是我的学生中涉猎最广的。徐是地下党员，后去英国留学。解放初回国。徐先生对数学无穷问题情有独钟，写了大量文章与著作。徐先生这个真正的“数学工作者”，完全没有那个自称的那么跋扈霸道，他为人谦和，礼贤下士，很愿意与小字辈们讨论问题。我曾经与他有一面之交。到他家里与他足足聊了七、八个小时，老先生九十高龄，精神矍铄。我与他通信很多次，老先生都是一笔一划，手写，然后自己跑邮局发信。正是这一点，引起他老伴的不满，怕影响他的健康，坚决反对我们的讨论与交往，我不得不中止了这段刚刚开始的老“忘年交”。

他的一篇准备发表的论文（后来发表），还曾专门寄来让我提意见。看看人家这个货真价实的“数学工作者”！

 闲话少叙，我昨天刚看徐先生的著作“论无限——无限的数学与哲学”，（大连理工大学出版社，2008年12月第一版，徐先生的儿子曾告我，徐先生曾跟他讲过，他此生最重要的成就，就是此书，当然，这不是徐先生自己告我的），突然发现，关于实数集合的可数、不可数的问题，他在此书中有相当详尽的见解与分析。他的基本观点是，从非标准分析的结论出发，由于所取模型、前提的不同，实数集合可以不可数，也可以可数。实数集合的基数，是相对的。他还提到“罗文海姆。斯科伦-塔斯基定理及悖论”见该书第132页：“它断言，任何可数理论都有可数模型，集合论是可数理论，故有可数模型；。。。。实数集时一个集合，故在集合论模型中，他应该是个可数集（这就是所谓的斯科伦悖论）很显然，我们用。。。来生成的[0.1]从而得出实数集具有可数基数的命题，这正好是和模型论关于实数集的推论是一致的。。。。”

事实上，徐先生在该书第111页开始讨论了实数集的可数性问题，他认为基数是相对的，实数集具有可数基数，是可能而且必然的，当然，他也不排斥实数集的不可数基数，只不过这是相对的结论。（注：此结论有些相似于吕陈君的观点，和何老师和我的不同）显然，以我的分析和观点，徐先生的分析还不够深入，胆子还不够大，为自己留了一定的余地。但无疑，他已经明确提出实数集合的可数性了，尽管是“相对的”，而这，对那些墨守成规，实际根本不动脑子的人而言，也是惊世骇俗的了。

在该书第113页，徐老师作了一个“附记”，他写道：值得注意的是，在以“康托尔实数的局限性”为题的有趣论文中（见“数学研究”刊物2008年第1期）作者罗里波曾讨论了实数集合是否可数的问题。文中述及可数模型，很有新颖见地。兹录述文中一段论述，以供参考，“我们回过头来解释关于一个只含有可数个实数的集合论模型的悖论。模型论者说：实数的个数与你所站的角度有关。如果你站在模型的内部，那么实数的个数是不可数的。但是如果你站在模型的外部，那么实数的个数就是可数的了。因此我们说实数的个数并不是真正使不可数的，也就是说它具有相对性。”

 不必多说，徐先生是赞同罗里波的看法的。

徐先生在该书中对实数集的可数性的讨论，比比皆是，比如132页，“。。。。。。所以认定全体实数作成的集合具有可数基数也是极为自然之事”。

其它的，我不一一列举了，有兴趣，大家自己看。

 我把徐老先生抬出来，是偶然发现他的论点接近我的看法，介绍给大家。另一方面，也无须讳言，我也是抬出个大权威、真权威，镇镇这些假权威的意思。

对徐先生的论点，当然可以不同意（我自己也不完全同意），但又有什么人还敢随便说他老人家是“反智”的？是不懂“数学常识”的？

 关于徐利治先生的所有资料，网上都有，一搜就到。我就不多说什么了。

返回文清慧：《统…论》评论园地首页：

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593018.html