【文清慧2012.8.2.注：这是作者投给本园地的论文，全文如下。】

关于实数可数的一个证明及其说明

吕陈君

[摘  要]  本文通过引入潜无穷公理，在公理集合论系统ZFC内证明了2^∞＝∞，并得出实数可数在ZFC下是一个不可判定性命题的结论。

[关键词]  实数可数 潜无穷公理 ZFC系统 不可判定

沈卫国^[1]、何华灿^[2]是国内最早主张实数可数的两位学者。实数可数，就是要证明2^∞＝∞成立。本文通过引入潜无穷公理，在公理集合论系统ZFC内证明了这一结论，并藉此对数学基础问题提出一种新解释。

一、ZFC+潜无穷公理→2^∞＝∞

证明2^∞＝∞，我们仅需要引入ZFC的三条公理和一条新的潜无穷公理。ZFC公理，我们采用Fraenkel提出的标准形式。首先引入两条无穷公理：

公理Ⅰ（无穷公理）  至少存在一个集合W满足：0∈W；若x∈W，则｛x｝∈W。

令V是具有上述性质的W的子集合构成的集合，则有

引理1  存在一个最小的无穷集合ω，即ω＝∩V。^[3]

令∞为集合ω的基数，它就是自然数序列1，2，…，n，……无穷递增可达的一个极限数。

公理Ⅱ（潜无穷公理）  任何比∞小的数都是有穷数，即若α＜∞，则α必为一有穷数。

这就是人们习惯上的自然数概念，它是完全合理的。由此可以推知

引理2  不存在＜∞的无穷数（非有穷数）。

我们接着引入两条公理：

公理Ⅲ（替换公理）  “对于任一集合S及定义在S上的一元单值函数f，存在一个集合恰由所有的f(x)(x∈S)构成。”^[4]

公理Ⅳ（幂集合公理）  “对于任一集合S，其所有子集合构成一个集合∏(S)。”^[5]

所以，我们就有如下一个推论：

引理3  对于集合ω，其幂集合∏(ω)存在。

所以，易证集合∏(ω)的基数为2^∞。这样根据无穷公理，我们有了∞的定义，再由引理3，又导出了2^∞的定义。一般的，2^∞就表示二进位制实数集，它可以排列成一个传递序列S(∞)：2⁰，2¹，2²，…，2ⁿ，……，任一2ⁿ都表示一个“编码实数”，2^∞就表示全体实数，这就是丰满ω-二叉树，也就是Brouwer所谓的“展形”（spread）。令∑S(∞)＝1+2⁰+2¹+2²+…+2ⁿ+……，我们需要证明如下一个定理：

定理1   ∑S(∞)＝2^∞。

证明  我们首先给出一个定义在集合ω上的一元单值函数f：

f: ω→S(∞)

对任一η∈ω，令f(η) 为ω的前η个元素的幂集合∏(η)，即f(η) =1+2⁰+2¹+2²+…+2^η。由替换公理，令集合S(∞)=:{f(η)∣η∈ω}，那我们只需证明，S(∞)等于幂集合∏(ω)即可。

若假设∑S(∞)≠2^∞，亦即S(∞)≠∏(ω)，S(∞)中不包含ω的所有子集合，令∑S(∞)=À，则必有∞≤À＜2^∞。

根据定义，我们令f(ζ) =À。首先，ζ不可能为一有穷数，因为若ζ为一有穷数，则有À=2^ζ+1＜∞，这与假设的结果矛盾；其次，ζ不可能等于∞，因为若ζ=∞，则有À=1+2⁰+2¹+2²+…+2^∞≥2^∞，这也与假设的结果矛盾。

这就意味着，至少存在一无穷数ζ＜∞，但这跟引理2相冲突。所以假设∑S(∞)≠2^∞不成立，即有∑S(∞)＝2^∞成立。证毕?

有了上述定理，就很容易证明：

定理2  2^∞＝∞。

证明  已知∑S(∞)＝1+2⁰+2¹+2²+…+2ⁿ+……，由潜无穷公理，∑S(∞)的每一项2ⁿ都是一个有穷数，∑S(∞)就相当于无穷多个有穷数相加，其结果就等于∞，即有∑S(∞)＝∞。由于已证∑S(∞)＝2^∞，所以就有2^∞＝∞。证毕

二、实数可数在ZFC下是一个不可判定性命题

在标准集合论中，Cantor证明了两个基本定理：实数不可数，即2^∞＞∞。但是，我们现在又证明了：实数可数，即2^∞＝∞。这究竟是什么意思呢？

本文证明2^∞＝∞，关键在于引入了潜无穷公理。因此，实数可数或不可数，关键就在于潜无穷和实无穷的看法不同。潜无穷是指：在任意有穷数n和无穷大∞之间，都是有穷数；而实无穷是指：在任意有穷数n和无穷大∞之间，除了有穷数外，还有其他类型的数。譬如，像何华灿定义的“趋近无穷自然数”，力迫法中定义的“脱殊集合”^[6]，以及非标准分析中定义的“滤子”或“超滤子”^[7]，它们都是类似的概念。由于潜无穷和实无穷的区别，在数学证明上就导致了两种基本方法。潜无穷导致了构造函数的方法，即它不要求集合总体的存在，只要求两个集合一一对应就行；实无穷则导致了反证法，即它必须要求集合总体（即全域U）的存在，只有这样才能确定集合互补（即A和非A=U－A）的概念。

这就意味着，实数可数和不可数在标准集合论里都是可证的。即，如果我们承认潜无穷，则推出实数可数（利用一一对应）；如果我们承认实无穷，则推出实数不可数（利用反证法）。这跟广义连续统假设GCH在ZFC系统中的不可判定性非常类似，ZFC+可构成公理就推出GCH，ZFC+力迫法就推出¬GCH。也就是说，实数可数（或不可数）在ZFC下也是一个不可判定性命题。实数可数在一定条件下（潜无穷）成立，实数不可数在另外一定条件下（实无穷）成立，这在数学上是完全可以成立的。实数可数或不可数，最后可能就是一个公理选择的问题了，就像平行线公理那样，人们可以有不同的选择，从而构造出不同的形式系统，用来解决不同的数学问题。

关于实数可数问题，在文献上，Borel、Denjoy和Lebesgue等人曾指出过：如果选择公理成立的话，那可数集和不可数集就根本没有区别。^[8]我的看法是，实数可数和不可数这两种情况同时存在，实质上就是Löwenheim-Skolem定理，它通俗点说就是：任何不可数集“看起来”又都是可数的。或者说得更明确点：如果我们从潜无穷的立场上看，那么所有的无穷集合都是一一对应的；但如果我们从实无穷的立场上看，那么所有的无穷集合又都是分层的（即有大小之别）。我们只有同时看清楚潜无穷和实无穷的区别及其联系，才能完整地认识逻辑与数学的本质。但上述这些结论已经突破了标准集合论的固有范畴，猛然闯进了一个更深入的、更广阔的无穷世界。正是因为实数可数及连续统假设的独立性，我们寻找集合论新公理才是有意义的。

最后来作个小结。我们研究无穷或集合论，主要就是为了建立起一个严谨的数学基础理论，其中最核心的问题就是：如何在自然数的基础上构造出全体实数。标准集合论认为，像Dedekind分割此类方法就可以构造出全体实数，其实这是一个误识。Dedekind分割是指，譬如把所有平方小于2的有理数按照大小秩序排成一个无穷序列M，再把所有平方大于2的有理数按照大小秩序排成一个无穷序列N，然后证明：M和N必有唯一一个割点 。其等价说法就是：代数方程x²=2有实数解。但问题是：由于超越数不是任何代数方程的实数解，因此它是不可能用Dedekind分割来构造的。也就是说，Dedekind分割顶多只能构造出像 这样的代数数，而根本不能用来构造超越数。我们知道，像e、π这样的超越数都可以展开写成无穷级数的形式，但其是发散的。在文献上，只有直觉主义数学家Heyting准确地注意到了这个问题，他认为像欧拉常数C这样一个发散的无穷小数序列，就不可能被一个任意小的有理数区间所包含，即Dedekind分割“这个算法仍然没有给我们提供任何途径来判定一个有理数A究竟位于C的左边或右边或者刚好等于C”，因此“我们将不能保证欧拉常数C是一个实数。”^[9]但可惜的是，这样一个重大的关键问题却被人们完全忽视了。

所以，我认为，未来的集合论与数学基础具有两个值得探索的研究方向。一个是去寻求某些更直观、更基本的集合论新公理或更强的新方法，用来解决在现有的标准集合论下不可判定的某些重要数学命题，譬如像GCH之类；另一个就是看能否给出超越数内部的构造性定义，对超越数本身进行某种更精确的分类，从而完善实数集上的各种数系理论。实数连续统要远比人们目前所想到的任何数学结构都更复杂、丰富和深邃。至于究竟发展哪些新公理或新方法应当被接受，大多数人的意见是一致的，那就是“将来或许将出现的各种集合论必定建立在一个牢固的直观基础上”；^[10]“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回到差不多是本能的水平，即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态”；^[11]而“这些问题的完全解决，只有通过对在它们中出现的词项(如‘集合’、‘一一对应’，等等)和支配这些词项的使用的公理进行(比数学通常所作的)更深入的分析，才能得到。”^[12]这就说明，我们必须重新思考集合论基础，即从最原始的意义上去分析集合论中那些基本概念和基本关系的涵义，才有可能最终获得我们想要得到的结果。

参考文献：

[1] 沈卫国.康托对角线法真的证明实数不可数了吗∥天津成人高等学校联合学报，2005(3).

[2] 何华灿，何智涛.统一无穷理论∥北京：科学出版社，2011.

[3][4][5][8] Fraenkel. 集合论的公理化发展∥张锦文、訚金童编.集合论发展史，桂林:广西师范大学出版社, 1993:82;83;73;81-82.

[6] 张锦文. 公理集合论导引∥北京:科学出版社, 1999:312-315.

[7] 徐利治，孙广润，董加礼.现代无穷小分析导引∥大连：大连理工大学出版社，1990:12-15.

[9] 阿伦特•海廷. 数学的直觉主义基础∥保罗·贝纳塞拉夫、希拉里·普特南编.数学哲学，北京:商务印书馆, 2003:62.

[10] A.莫斯托夫斯基. 集合论的最新成果∥中国社会科学院哲学研究所逻辑研究室编译. 数理哲学译文集，北京:商务印书馆, 2003:121.

[11] P.J.柯恩. 关于集合论基础的评论∥中国社会科学院哲学研究所逻辑研究室编译. 数理哲学译文集，北京:商务印书馆, 2003:137-138.

[12] K.哥德尔. 什么是康托的连续统问题?∥中国社会科学院哲学研究所逻辑研究室编译. 数理哲学译文集，北京:商务印书馆, 2003:142.

On Proof and explanation of real number countability

Chenjun LV

Abstract：This paper prove that 2^∞＝∞ in a system of axiom set theory named ZFC, through the introduction of potential infinity axiom , and give a result that countability of real number can not be determined based on ZFC.

Key words：Countability of Continuum, Potential Infinity Axiom,ZFC System, Undecidability.

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