【文清慧注：这篇文章是作者“反对伊战”2012.7.21投来的原发文章。下面是全文。】

评新语丝最近发表的3篇批评何华灿与其书

《统一无穷理论》的文章

作者：反对伊战 2012.7.21

新语丝最近发表了3篇批评何华灿与其书《统一无穷理论》等的文章，这3篇文章分别是：《关于何华灿《统一无穷理论》等文观点错误的进一步说明》（作者：数学工作者），《关于网友对《统一无穷理论》回复的一些说明》（作者：数学工作者）和《何华灿就是个伪数学家》（作者：Gerry）。

我将对这3篇文章一一评论。

在评论之前，我先说明一下，数学中，比何华灿“自然数集与实数集等势”的观点离经叛道得多的观点也有，下面是一例，从维基Ultrafinitism http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraintuitionism ，

摘录一些话：Like other strict finitists, ultrafinitists deny the existence of the infinite set N of natural numbers, on the grounds that it can never be completed.

In addition, some ultrafinitists are concerned with our own physical restrictions in constructing (even finite) mathematical objects. Thus some ultrafinitists will deny the existence of, for example, the floor of the first Skewes' number, which is a huge number defined using the exponential function as exp(exp(exp(79))), or

The reason is that nobody has yet calculated what natural number is the floor of this real number, and it may not even be physically possible to do so.

……

Some versions of ultrafinitism are forms of constructivism, but even constructivists generally view the philosophy as unworkably extreme.

中文大致翻译：

和其他严格的有限主义者一样，超有限主义者不承认作为无穷集的自然数集N的存在性，因为无穷永远不能完成。

而且，一些超有限主义者考虑到我们在构造（甚至有限的）数学对象时所受到的物理上的限制。因此，一些超有限主义者不承认例如，第一Skewes数的整数部分这个自然数的存在性。第一Skewes数是一个很大的数，被定义为exp(exp(exp(79)))。（注：此处，exp(x)表e的x次方，e=2.71828 …。）原因是，没人曾计算过第一Skewes数的整数部分这个自然数是多少，并且，也许甚至物理上（将来）也办不到这一点。

……

一些式样的超有限主义是构造主义，但即使构造主义者一般也把（超有限主义）哲学看做unworkably extreme。

（我估计这儿的“unworkably extreme”是说超有限主义得不到任何有用的结论，只是起到对原有数学哲学质疑的作用。）

从上面看，一些数学家不承认exp(exp(exp(79)))的整数部分这个自然数的存在性，但即使如此离经叛道的观点，国际数学界也是能容忍的，只是说其“unworkably extreme”。

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下面，我来评论新语丝最近发表的3篇批评何华灿与其书《统一无穷理论》的文章。这3篇文章可从http://xys6.dxiong.com/

查到。

第一篇，《关于何华灿《统一无穷理论》等文观点错误的进一步说明》（作者：数学工作者）。

无论如何， 何华灿与何智涛的书《统一无穷理论》以及论文《无穷概念的重新统一》所讨论的内容和观点与Loewenheim–Skolem定理没有什么关系。他们明确地指出，实数集合与自然数集等势—这是他们论文的主要观点。

[[评：作者刚听说Loewenheim–Skolem定理没几天，何以知道“何华灿与何智涛的书《统一无穷理论》以及论文《无穷概念的重新统一》所讨论的内容和观点与Loewenheim–Skolem定理没有什么关系。”？也许名称上没有关系，但精神实质上呢？作者几天之内就能教好地理解Loewenheim–Skolem定理的精神实质吗？比如，书《统一无穷理论》以及论文《无穷概念的重新统一》可能没有提到Loewenheim–Skolem定理，但其中有些结论的证明会不会实质上就是Loewenheim–Skolem定理证明中的构造？或者说书《统一无穷理论》以及论文《无穷概念的重新统一》会不会重复了Loewenheim–Skolem定理证明中的一些工作？作者数学工作者了解Loewenheim–Skolem定理的构造性证明吗？

我又有了一个想法，作者数学工作者是否对Loewenheim–Skolem定理的含义有误解。我前面文章提到的是downward Loewenheim–Skolem 定理, 到作者数学工作者那里成了Loewenheim–Skolem定理，而维基First-order logic， 见http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic，对Loewenheim–Skolem定理解释时，将其按upward Loewenheim–Skolem定理解释了。对downward Loewenheim–Skolem 定理，在各处叫法不同，为了明确起见，我给出参考资料：

1 《数理逻辑与集合论》，清华大学计算机系列教材，(pdf)，第27页，定理7.4.1 Loewenheim–Skolem 定理

2 Introduction to mathematical logic, FOURTH EDITION, Elliott Mendelson, (pdf)

(a) page 92 Corollary 2.21 Skolem—Loewenheim Theorem

(b)page 128, proposition2.39(Downward Skolem—Loewenheim--Tarski Theorem)]]

为了说明这一点， 我们下载了何华灿与何智涛的期刊论文《无穷概念的重新统一》（见附件）。该文发表于《智能系统学报》2010年第三期。我们摘取其中段落来看看他们怎么说。

下面，作者摘取了7处段落，然后作者说：

“好吧，我们就暂时列出这些。 我们相信任何具备数学基础的人看到这里都能做出正确的判断了。这些结论和逻辑学没什么关系， 它们本身都直接违背了集合论的基本事实。”

[[评：“这些结论和逻辑学没什么关系”，这里，逻辑学是指什么？包括数理逻辑吗？我感到奇怪，讨论自然数集，实数集，怎么跟逻辑学没有关系呢？

“它们本身都直接违背了集合论的基本事实”，什么叫“集合论的基本事实”？ 集合论本身就有多种，而且，Loewenheim–Skolem定理说了，实数集可以有多种模型，或者说有很多的模型满足关于实数集的公理。这些模型，有的是可数集，有的是不可数集。类似地，自然数集也不唯一，有各种满足自然数公理的自然数集，我们通常理解的自然数集被称为自然数的标准模型，是满足自然数公理的各自然数集中最小的集合，其它的自然数的模型被称为自然数的非标准模型，含有比我们通常理解的自然数更多的元素，被称为“非标准自然数”。 自然数的非标准模型可以是不可数集。所以，自然数集不能被定义，即不能被公理所唯一确定。

所以，什么叫“集合论的基本事实”呢？ 实数集可以是可数集，也
可以是不可数集，这取决于你用哪一个模型。对自然数集，也如此。

说明一下，上面所说的Loewenheim–Skolem定理是在first order logic中的。在second order logic中，自然数集是被公理所唯一确定的。First order logic中有很多有用的定理，而second order logic中缺乏有用的定理，所以，人们一般还是喜欢用first order logic来讨论，虽然，在first order logic中，对于一个无穷集，由公理不能唯一确定对象。]]

第二篇，《关于网友对《统一无穷理论》回复的一些说明》（作者：数学工作者）

 “我们已就何华灿《统一无穷理论》一书以及相关论文《无穷概念的重新统一》写了两篇文章说明其基本观点错误。今日看到网友“做梦的人”的回复， 认为有必要再罗嗦两句。

1.  何华灿与何智涛的以上文献所讨论的对象就是通常理解的实数集，他们就是要推翻康托的“实数不可数”结论，然后顺理成章地推翻连续统假设等。 这当然是违背数学事实的。 读者可以参看我们上一文的详细说明， 或者直接参看他们的书或论文。这里不再赘述。

我们的前两篇文章是针对何氏父子的相关书籍和论文作出讨论的。 网友发表观点的时候，是否应该在了解相关事实的基础上，针对问题和对象本身作探讨呢？”

[[评：要求网友去读何华灿的整篇文章，然后，才能讨论，这个要求不合理。如果是这样，作者“数学工作者”应该把文章投到专业的数学刊物，而非新语丝。

而且，“数学工作者”在其第一篇文章《科学出版社竟然出版如此反智的书》中说“这两天在新浪微博看到一些网友转载的帖子，说是科学出版社去年出版《统一无穷理论》，其基本观点完全错误，甚至可以说是反智的。原来该书作者竟然能断定自然数集与实数集等势！ 这毫无疑问是极其荒谬的。”可见，“数学工作者”当时根本不知道在数学中，自然数集与实数集可以等势。]]

2.  “做梦的人”说道“然而，在一些其它构造实数和自然数的方法中，实数集和自然数集是等势的。” 这等惊人言论必须要有文献事实作为依据， 不能仅仅在文章开头说一句“因为去家离国多年，手头资料不全，恕无引用文献。”就算打了预防针糊弄过去。

对任何科研工作者来说， 用事实证据或者文献依据来佐证观点，是最基本的准则。 笔者从事基础数学研究多年，从未听说以上结论—如果有的话，这种惊人结论早就传遍数学界了。 同样地， “做梦的人”说道：“据笔者十几年前所知，基于潜无限观点的实数构造方法至少50年前就有了“  这样的言论也必须有文献出处作为基础。怎么能随口一句就算作事实呢？  

请注意，假如这样的结论是作为普遍认同的事实来科普， 那当然可以无需列出文献，但现在该网友提及的结论显然不是一个普遍事实—恰恰相反是违背数学事实的。

3.  即使真有“实数集和自然数集是等势的”这样的结论， 则要么“实数集”的概念被偷换了，要么“势”的概念等等被偷换了，抑或有可能根本就是误读了结论的原意。这就需要“做梦的人”提供文献让大家来讨论。

总之， 在通常的概念理解下，想推翻“实数不可数”是违反事实和逻辑基础的。 另一方面， 偷换了概念之后的实数集当然不再是我们所要说的实数集， 那么这样的东西对我们的讨论有何意义？

4.  即使找到了文献，我们还要考虑这样的文献是否被学术同行认同—比如看论文的学术同行评论等等。 当今数学和其他学科不同，它的结论观点不论多么惊人多么有争议，只要论证严密正确，数学家们就会接受。当然也不排除某些期刊或审稿人疏忽或不负责任任由错误的论文发表—此外不可否认很多国内期刊的质量是相当糟糕的。

假如如“做梦的人”所言，50年前真有这样惊人的结论被认同，为何至今我们这些数学工作者从来没有耳闻呢？  哪一本经典数学专著收入了这样的结论？

[[评：我代“做梦的人”给出文献：Downward Loewenheim–Skolem定理的证明。Downward Loewenheim–Skolem定理的证明是构造性的，可构造出各种可数无穷集，也就是用潜无穷构造出各种可数无穷集，包括实数集。看来，“数学工作者”还是没弄懂Loewenheim–Skolem定理。

如果“数学工作者”看懂了Downward Loewenheim–Skolem定理的证明(可看，比如Mendelson的书)，就不会有上面2-4中的种种疑问了。Loewenheim–Skolem定理是first-order logic 中的一个基本定理。

 “3  即使真有“实数集和自然数集是等势的”这样的结论， 则要么“实数集”的概念被偷换了，要么“势”的概念等等被偷换了”

实数集原来的概念是什么？作者“数学工作者”能给出在20世纪的某一公理集合论中实数集的定义，或者实数集满足的公理吗？作者“数学工作者”所谈的实数集的概念还是19世纪的？作者“数学工作者”以19世纪的数学来批20世纪的数学？

另外，看到“数学工作者”用“数学事实”一词，我感到不舒服。按国际数学界的看法，数学并不属于自然科学，用“数学事实”一词，是不恰当的。实数集是人脑的产物，大自然中并没有实数集存在，所以，谈不上什么“事实”。]]

下面，评Gerry的《何华灿就是个伪数学家》一文

标题：何华灿就是个伪数学家

[[评：我不知道“伪数学家”是什么意思。按我的理解，数学家，就是从事数学研究的人。当然，数学家中，有的研究工作做得好，有的研究工作做得差，但什么是“伪数学家”呢？]]

看了前几篇关于何华灿和集合论的帖子，再稍微研究了下他的书和文章，发现这的的确确是个伪数学家。

第一，他没有经过正规的数学教育，一直在学计算机。

[[评：理论计算机属于数学，在 Math. Review 中学科号是 68。]]

第二，他的书里面没有正确的提及集合论model之类的更高级的数学，而是在朴素集合论的意义下试图证明实数和自然数等势，并且证明显然不是一个职业的数学证明。

[[评：他的书里面没有正确的提及集合论model之类的更高级的数学，但他证明的实质会不会就是model论中的证明呢？对于“并且证明显然不是一个职业的数学证明。”，我凭什么相信这句话？]]

第三，他一直在做所谓的“反逻辑”学，但根本没有得到任何国际认可，没有任何人收录他的文章，也没有人把这个看做数学的一部分。如果把这种人看做什么职业数学家，显然是荒谬的。

[[评：按我的理解，数学家，就是从事数学研究的人。所以，数学家，并不是一个吓人的词，说何华灿是职业数学家，有何荒谬？]]

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