Zmn-1199 余月半 : 论集合-集合论的那么多公理、表达的是什么意思？

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论集合-集合论的那么多公理、表达的是什么意思？

余月半

yuyueban2023@163.com

ZFC集合论的公理、里面表达的是什么意思呢，或者说，集合论里面研究的是什么呢？

集合论实际上研究的是对象和对象之间的二元关系；

一、

考虑一些数字：  0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10； 记作对象宇宙V， 如果某个对象x在研究范围之内，记作 x in V ;(不用∈，以免混淆)；这里所谓的对象

然后定义一个这些数字之间的某个二元关系  a∈b :  a|b , 也就是说，如果a是b的因数，则a∈b ；

在这个定义之下，很显然  ：

0 的元素有 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，

1 的元素只有自己 1，

2 的元素有1 ，2

3 的元素有1， 3

4 的元素有1， 2， 4

5 的元素有1， 5

6 的元素有1，2，3，6

7 的元素有1，7

8 的元素有1， 2， 4， 8

9 的元素有1， 3， 9

10的元素有1， 2， 5， 10

在这里可以看到，在这个 (V,∈) 之下，除了0，其他的对象，居然都是自己的元素 ！！

当然了，在这里例子里面的对象/关系，并不完全满足 ZFC 里面的几条公理，或者规矩

我们一一验证一下，ZFC里面的几条公理

1、外延公理     满足

2、空集公理     不满足

3、无序对公理  不满足

4、并集公理      不满足

5、幂集公理      满足

     可以验证一下， 8 的子集有 1，2，4，8 ；8 的幂集实际上就是自己 8； 实际上可以看出，每个对象的幂集都是自己

6、无穷公理     不满足，毕竟空集都不存在，也不满足无序对公理

7、分离公理模式  不满足

8、替换公理模式  不满足

9、正则公理  不满足

10、选择公理 不满足

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上面举了个简单的例子、我要表述的意思，就是说，所谓的集合论公理，实际上指的就是一个游戏规则，

任何人都可以指定一些研究对象V，以及这研究对象之间的一个二元关系∈，

你定义的(V,∈) 可能不满足这几条规则，或者说仅满足其中的部分规则，这时候，在你这个体系里面得到跟ZFC完全不一致的结论

比如，在ZFC里面，x∈x是不可能的，而上述的例子里面，除了0之外，均匀x∈x

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再举个例子

研究对象的范围V :  所有的正整数

之间的二元关系 x∈y ：x为素数，且 x|y ，也即x为y的素因子

在这个(V,∈)关系之下，我们可以得到简单的验证一下

1、外延公理     不满足，因为 2，4，8 的元素都是  2 ；有很多例子可以举

2、空集公理     满足，也就是 1，因为1不含素因子，它没有元素

3、无序对公理  不满足

4、并集公理      满足，这个满足哦

5、幂集公理      不满足，可以简单的验证一下

6、无穷公理     不满足，毕竟不满足无序对公理

7、分离公理模式      满足    比如  30 的元素  {2，3，5} ，无论从里面拿出几个，都存在另一个数的元素是 这几个数，比如取 {2，3} 这里 可以指 6，12，18；取{3，5}，可以指15，45，75

8、替换公理模式      不满足

9、正则公理  不满足

10、选择公理 不满足

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这几个例子看起来实用没什么用，因为这几个例子，只是来说明ZFC公理所表达的意思：

你所提出的研究对象宇宙V，与对象二元关系∈,是否满足我制定的这几条规则？

如果满足，那OK，那么由这几条规则所衍生的所有结论，在你的（V,∈）里面都成立；

反之，要是不满足，你的（V,∈）里面的结论我不做任何保证；

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讲个笑话：

勾股定理 : 平面直角三角形的三边长度满足，a²+b²=c²

李四看到了，蹦出来说 : 勾股定理是错的，你看我这里有个三角形，三边长6，7，8，它不满足 a²+b²=c²

张三反驳到:  你这个三角形是平面直角三角形吗 ？

李四轻蔑的笑道：我管他是不是平面直角三角形，我举得这个三角形例子，不满足 a²+b²=c²  就说明 勾股定理是错的！！

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所有举例子说明集合论错误的人，首先认真的审视一下自己

1、首先审视一下所研究的对象是否明确，以及对象之间的关系是否明确

也就是说，一个对象在不在我的研究范围之内，是确定的，不能说，这个对象一会在研究范围之内，一会不在研究范围之内；

然后所研究的对象之间的二元关系,是确定的，不能说 两个对象a,b ，一会 a∈b，一会 a ∉ b，摇摆不定

2、如果你所研究的对象跟关系是明确的话，再审视一下，是否满足集合论的那几条公理、规则

如果说你的研究对象跟关系，不满足那几条规则，那么你所得出的任何莫名其妙的结论，都影响不了集合论

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就算你举出几百，几千，几万个三角形不满足  a²+b²=c² ，也动摇不了勾股定理！！

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