Zmn-1184 薛问天: 把求极限看作是【令本来≠0的Δx=0】的说法是完全错误的。评师教民《1183》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1183》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

把求极限看作是【令本来≠0的Δx=0】

的说法是完全错误的。评师教民《1183》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，高阶无穷小。

师先生不要再辩解了，为什么不存在o(0)，即为什么没有比0更高级的无穷小。是因为高级无穷小的定义o(α)中就不允许有α=0。这同0是所有的α(≠0)的高级无穷小没有关系。由【0是所有的α(≠0)的高级无穷小】从逻辑上推不出【不存在o(0)】。

我们讨论的问题根本同此无关。我们所说的Δy.Δx是增量，Δy=A*Δx+β(Δx)。当然允许 Δx=0．是指变量 Δx 可取 0 为值，是指变量 Δx 的定义域可以包含 0。当 Δx=0 时，Δy=A*0+β(0)。由于我们知 Δx=0 时 Δy=0．所以知β(0)这个值为 0．即 β(0)=0．这个函数 β(Δx) 在 Δx=0 时函数值为 0，又因为知在 Δx≠0 时，β(Δx)是 Δx 的高级无穷小，当 Δx→0 时 β(Δx) /Δx→0．所以知在 Δx≠0 时，β(Δx)=o(Δx)。因而，允许 Δx=0．知在 Δx=0 时，β(0)=0；在 Δx≠0 时，β(Δx)=o(Δx)。这其中一点矛盾和错误都没有。只是不要把β(0)写成o(0)就对了。

2，微分与微商。

这在概念上也是相当清楚。首先微分没有导数。其次微分和导数的关系是，当Δx≠0时微商等于导数，当Δx=0时，微商没有意义，微分同导数没有关系。因此问【微分 dx=Δx=0 存在时，相应的导数】，毫无意义。当Δx=0时，微商没有意义，微分dx同函数的导数没有关系。导数是导数，微分是微分。

3，把极限认为是【加上符号】【去掉符号】的错误认识。

1)，我说得很清楚〖极限不仅是个符号，它有明确的含义。〗怎么能说我认可了你把取极限认为是【加上符号】是正确的，【没有再说错误】，未加批评呢？

2)，不用辩解了，你既使把求极限说成是去掉极限符号后面还有【同时令本来≠0 的 Δx=0】，也是错误的。连续函数的极限值等于函数值，如我说的G(Δx)=2x+Δx时，极限值等于函数值G(0)=2x。但非连续函数，如G(Δx)=cos(x+Δx/2)*(sin(Δx/2)/(Δx/2))的极限值是cosx，但函数值却是G(0)=cosx*(0/0)是没有意义的值。因而把求极限说成是去掉极限符号【同时令本来≠0 的 Δx=0】，也是错误的。

求极限不是简单的去掉符号求出函数值。这种说法是完全错误的。

3)，师教民先生说【事实是，因为函数 G(Δx)=Δy/Δx=2x+Δx (Δx≠0)的 Δx 在分母上而不可能是连续函数，但是极限理论仍然强行令本来不等于 0 的 Δx=0．所以，在极限理论中也产生出 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论．如果极限理论或薛问天先生胆敢说极限理论不是令本来≠0 的 Δx=0，那么极限理论或薛问天先生就必然求不出导数 2x 来！】

这是师教民先生对极限认识的严重错误。

首先，师先生所说的G(Δx)=Δy/Δx这个函数。这个函数在Δx=0时的函数值G(0)=0/0是没有意义的。因而说G(Δx)不是连续函数是对的。但关键不是说它不连续，而是说G(0)没有意义。

其次。说【极限理论仍然强行令本来不等于 0 的 Δx=0】，这是师先生认识的严重错误。把求当Δx→0时G(x)的极限认为是强行【令Δx=0】，显然是严重错误。求G(x)当Δx→0时的极限，並不需要【令Δx=0】。这在极限的定义中已讲得非常清楚，求G(x)当Δx→0时的极限时，是令Δx≠0的。因而师在这里说【在极限理论中也产生出 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论】，是师先生得出的错误结论。因为极限理论中并无Δx=0的要求。所以没有这个矛盾。

而且正是由于Δx≠0，才使得师先生所说的函数F(Δx)=2x+Δx(允许Δx=0)，对于Δx≠0的点，有G(Δx)=F(Δx)。从而当Δx→0时，G(Δx)的极限等于F(Δx)=2x+Δx的极限等于2x。最后求出极限等于2x，並没有师先生所说的【令本来≠0 的 Δx=0】。至于这个2x刚好等于F(0)这个Δx=0时的函数值，纯属偶合，如果师先生所说的F(Δx)不是连续函数，则这个极限值就不等于函数值。如前面举的非连续函数的例子。可見师先生的说法全是错误的。

4，G和F。

关于师先生用G(Δx)表示的是Δy/Δx，用 F(Δx) 指的F(Δx)=2x+Δx．( Δx 可等于 0)．刚好同我把 F 和 G 两个符号用倒了。我说的 G 是你的 F，因而我说的 G 是连续函数指是的你的 F 是连续函数。这样说清楚了就行了。而师先生竟把这说成是【犯了“把 F 和 G 颠倒”的错误】，要知道这只是你我两人起的名字的不同，说清楚就行了。没想到师先生竟拿这个做文章，说是【错误】，太没意思了。 

5，导数的定义。

1)，这是我的理解。第一代微积分中导数的定义是含混不清的，它把导数定义为Δy/Δx，但Δy和Δx并不是我们现在理解的增量。从而不是如师先生所说把导数定义为【函数 y=f(x) 的增量 Δy 和其自变量增量 Δx 之比形成的函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx=0 时的值】。它所说的Δy和Δx是含混不清的【无穷小增量】。也就是说，它是把导数定义为两个无穷小 Δy，Δx 之比。从而在求y=x^2的导数时，第一步在认为无穷小 Δx≠0的条件下，推出导数=Δy/Δx=2x+Δx，第二步又认为无穷小是0， Δx=0，推出导数=2x+0=2x。从而产生认为无穷小Δx≠0和Δx=0的矛盾。

师教民认为我的上述理解是错误的。我认为没有错。因为①，它确实把导数定义为Δy/Δx，但Δy和Δx不是我们所理解的增量Δy和Δx，而是无穷小。②它并不是把导数定义为【函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx=0 时的值】。而是认为导数是两个无穷小的比值，其中有无穷小Δx=0和Δx≠0的矛盾。③第一代微积分的导数定义指的就是【两个无穷小 Δy，Δx 之比是导数】，我的说法并无什么【相悖】。

2)，极限理论把增量比函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx→0 时的极限定义为函数 y=f(x)的导数。师先生说【那么极限理论的这个极限是 什么？就是当 Δx→0 时Δy/Δx无限趋于的目标，就是函数Δy/Δx在其自变量增量 Δx=0 时的值，没有例外!】这是师先生对极限认识的严重错误。师先生这次还在为他的这个低级的明显错误辩护。

师先生说【对于函数 G(Δx)=Δy/Δx=2x+Δx (Δx≠0)，尽管 Δx≠0，但是极限理论还是强行令本来≠0 的 Δx=0 后得0/0=2x+0=2x．其中左边正是薛问天先生所说的没有意义的0/0，右边正是正确的极限值 2x．所以，薛问天先生所说的没有意义的0/0就是等于正确的极限值 2x，】

这么明显的错误，师先生还说【对于我说的上述事实，薛问天先生根本就找不出错误，】

错就错在你毫无根据地胡说【极限理论还是强行令本来≠0 的 Δx=0 后得0/0=2x+0=2x】。这哪里是极限理论的強行命令。这是你师教民先生的粗暴行为。这怎么能相等，左边是师先生所说的函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx=0点的函数值G(0)=0/0，毫无意义。右边是师先生所说的函数F(Δx)=2x+Δx，当Δx→0时的极限值，是求出的导数，这怎么能相等。列出它们相等完全是师教民先生的粗暴行为，严重的错误。师教民先生，你根据什么列出它们相等。没有根据的乱说就是错误。把求出的导数说它等于毫无意义的0/0，就是严重的错误。

3)我们都知道极限理论很清楚，是要求Δx≠0的。而师先生竟然睁着眼晴看不見这里的 Δx≠0，还为他的这个错误辩解。重申他的那个粗暴的错误观点。他说【事实是：极限理论令增量比函数G(Δx)=Δy/Δx=2x+Δx (Δx≠0)中的本来≠0 的 Δx=0 后得0/0= 2x+0=2x．】

还狂妄地说【所以我警告薛问天先生说：〖如果极限理论或薛问天先生胆敢说这个极限不是函数Δy/Δx在 Δx=0 时的值（请注意：未说函数值），那么极限理论或薛问天先生就必然错误！〗．

我前面已讲过，极限要求Δx≠0，强令Δx=0，这是师教民的粗暴行为。而且这怎么能相等，左边是函数G(Δx)=Δy/Δx在Δx=0点的函数值G(0)=0/0，毫无意义。右边是函数F(Δx)=2x+Δx，当Δx→0时的极限值，是求出的导数，这怎么能相等。列出它们相等完全是师教民先生的粗暴行为，严重的错误。

这根本不是极限理论的作为。师教民把它说成是【极限理论的错误】，还说这【产生了 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论. 】完全是错误的论断。还说什么【极限理论为了隐藏自己的这个错误，就不得不用对Δy/Δx加上极限符号lim[Δx→0]的手段掩盖0/0的出现，即用lim[Δx→0]Δy/Δx代替了0/0 。】这完全是师教民先生无中生有的有意歪曲。极极理论中根本没有这些内容，哪里有什么0/0需要掩盖和代替。这个Δx=0的G(0)=0/0的出现，完全是师教民先生制造的游戏。

另外师先生说【因为令 Δx=0 得极限，所以极限与函数在 Δx=0 时的值有关】说明师先生对极限的最基本常识都缺乏了解。极限是Δx→0时的极限，不是【令 Δx=0 得极限】，因而极限同函数在Δx=0点的值没有关系。这是极限理论中最基本的常识，怎么师先生竟然连这都不懂。

4)，在这里，我们同师先生关于函数F和G的约定相反。即用F表示实际的增量比函数Δy/Δx，用G表示对所有Δx≠0的点同F相等的函数。

那么例如，对于求y=sinx的导数时，F(Δx)=Δy/Δx，F(Δx)=G(Δx)(Δx≠0)。其中G(Δx)=cos((2x+Δx)/2)*(sin(Δx/2)/(Δx/2))，显然，当Δx→0时，G(Δx)的极限值是cosx，这是因为当Δx→0时，cos((2x+Δx)/2)→cosx，(sin(Δx/2)/(Δx/2))→1。但函数值却是G(0)= cosx*(0/0)，是没有意义的值。因而把求极限说成是去掉极限符号【同时令本来≠0 的 Δx=0】，是错误的。

但是师教民的推理计算中出现严重错误。

师先生说【按照极限理论的实际做法：对函数及其自变量的增量比函数先加上极限符号，后去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0 得： 

lim[Δx→0]G(Δx)=lim[Δx→0]Δy/Δx=

lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)* lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=

cos(2x+0)/2)*((sin(0/2))/(0/2))=

cosx * 1=cosx。 

（前部加上极限符号，中部去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0）】

这里的lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)=cos((2x+0)/2)=cosx。是对的。但说lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))= ((sin0)/0)=1，则是错误的。

由极限理论知lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=1，但不能写出lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))= ((sin0)/0)，因为((sin0)/0)是0/0是无意义的，从而更不能写出((sin0)/0)=1，这是师先生在这里犯得严重错误。 

师先生在这里解释说【假如说 Δx 永远不等于 0，因为Δx/2和 sin(Δx/2)分别是圆上任意两点间的半弧长与半弦长而永不相等，所以(sin(Δx/2))/(Δx/2)永不等于 1，同时cos((2x+Δx)/2)也永不等于 cos x；但是，如果一旦 Δx=0，那么因为Δx/2和 sin(Δx/2)就都变成上述圆上同一点的半点长而相等，所以(sin(Δx/2))/(Δx/2)就永远等于 1，同时cos((2x+Δx)/2)就永远等于 cos x；就得到 G(0)=0/0=cos x *1=cos x。】

显然这个解释是错误的。要知道根据极限理论得知是当Δx→0时才有(sin(Δx/2))/(Δx/2)→1。师说【如果一旦 Δx=0，那么因为Δx/2和 sin(Δx/2)就都变成上述圆上同一点的半点长而相等，所以(sin(Δx/2))/(Δx/2)就永远等于 1，】这纯粹是师先生的胡说。当Δx=0时(sin(Δx/2))/(Δx/2)=0/0明明函数值是无意义的，怎么能是【圆上同一点的半点长而相等，】而使(sin(Δx/2))/(Δx/2)=1。不知师先生用的是哪里的数学。全是错误的推论。

所以师先生由此作出的推论如说【成为导数的极限值就是增量比函数Δy/Δx在Δx=0 时的值（注意：未说函数值)，没有例外！】全是错误的。函数在Δx=0 时的值当然是函数值，不知师强调说【未说函数值】是什么意思。

这个例子充分说明师先生把用极极求导，看成是【按照极限理论的实际做法：对函数及其自变量的增量比函数先加上极限符号，后去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】，的说法是完全错误的。

师先生说【这正是极限理论的错误，错误的本质是令本来≠0 的 Δx=0，也就是产生了 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论．】师先生的论述竟然这样不顾事实。明明把极限㸔成是【令本来≠0 的 Δx=0】这是师教民自己发明的粗暴的错误行为，却说是【圾限理论的错误】並且【产生了 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾或贝克莱悖论】。

奇怪的是在最后，师先生竟然完全不顾逻辑和事实大放厥词，对极限理论肆意歪曲，说什么【极限理论确实把没有意义的Δy/Δx=0/0定义成正确的极限值 cos x 了】，极限理论把导数定义为Δy/Δx的极限，哪里是对【没有意义的Δy/Δx=0/0】的定义。这是对极限理论的严重扭曲。

师先生又说【极限理论为了隐藏自己的这个错误，就用对Δy/Δx加上极限符号lim[Δx→0]的手段掩盖0/0的出现，用lim[Δx→0]Δy/Δx代替了0/0正是因为此，】

要知道在极限理论中【导数是函数 G(Δx) 的极限值，但并不等于 G(Δx) 的函数值 G(0).师先生说它是函数值是错误的，】这并不是空洞的口号，这正是师教民先生犯下错误的根本原因和理由，是由于他对导数是极限缺乏最基本的认识。

6 ，如何用求函数值的方法来求极限。

我们知道一般来说，当Δx→0时F(Δx)的极限，同Δx=0时的函数值F(0)并不相同。例如当F(Δx)=Δy/Δx是函数y=x^2的增量比时，当Δx→0时F(Δx)的极限，即导数等于2x。但Δx=0时的函数值F(0)却等于0/0是毫无意义的。它们不相同。又例如，在F(Δx)=(sin Δx)/Δx时，当Δx→0时F(Δx)的极限等于1，但Δx=0时的函数值F(0)=(sin 0)/0=0/0，无意义，它们也不相同。

因而一师先生把求极限看作是【令本来≠0 的 Δx=0】，的说法是完全错误的。

但是，当函数F(Δx)在Δx=0点连续时，当Δx→0时F(Δx)的极限，同Δx=0时的函数值F(0)却是完全相等的。如在G(Δx)=2x+Δx时，由于它是连续函数，所以，当Δx→0时G(Δx)的极限，同Δx=0时的函数值G(0)却是完全相等的，它们都等于2x。

连续函数的这个特性就提示我们，可以利用连续函数用求函数值的方法来求极限。

因而对于非连续函数F(Δx)，可以这样来求当Δx→0时F(Δx)的极限。

第一步，找一个在Δx≠0的条件下能同F(Δx)相等的连续函数G(Δx)，即F(Δx)=G(Δx) (Δx≠0)，而且G(Δx)在x=0点连续。

第二步，求Δx=0时的函数值G(0)。

可以严格证明Δx→0时F(Δx)的极限就等于函数G(Δx)在Δx=0时的函数值G(0)。

这就是我提出的可以暂缓学刁极限，用连续函数作基础来学习微积分的方法。

请参阅我的文章。

• Zmn-0995 薛问天 : 一种先暂不学极限来学习微积分的好 2023-8-5 08:21

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