Zmn-1178 薛问天: 自然数有无穷多个，但自然数中并无【第无穷个自然数】的存在。评一阳生《1177》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1177》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

自然数有无穷多个，但自然数中并无

【第无穷个自然数】的存在。评一阳生《1177》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，为什么说自然数有无穷多个，但自然数中并无【第无穷个自然数】的存在。

1，关于命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，我说它是自然数定义的【一部分】，一阳生说【是就是，不是就不是，数学中没有是一部分的荒唐说法！】这种论断太【荒唐】了吧。怎么能说设有【是一部分】的说法？皮亚诺5条公理是自然数定义的全部，那么第五公理就只能是自然数定义的【一部分】，这有什么问题？我己讲过多少次，命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，是第五公理的等价命题，当然是自然数定义的一部分，不是全部。

所说的该命题是第五公理的等价命题，就是该命题可以用数学归纳法证明。反之亦然。数学归纳法适用于自然数，这就是皮亚诺第五公理。你要说【事实上推不出】证明不了，就要拿出具体反驳的证据来，不能随意乱说。

2，一阳生对【序数】的理解，存在一定的问题。′

一阳生说【薛老师承认命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】成立，却不承认【第无穷次后继运算】的存在，这就是自相矛盾了，】

这一点矛盾都没有，尽管自然数有无穷多个，但并无【第无穷个自然数】的存在。尽管自然数的生成过程中，用到了有无穷多次后继运算，但并无【第无穷次后继运算】的存在。

这就是因为一阳生先生，对【序数】的理解，存在一定的问题。下面我们再来谈谈序数。

什是序数的含义。序数是良序集序型的标志，任何一个序数α，所有小于α的序数的集合是个有序集。我们就把能同此有序集合建立保序的一一对应关系的良序集Aα的序型称为是此序数α。

举个例子，知有穷序数n={0,1,2,...,n-1}。因而就把能同此集合n建立保序一一对应的集合An={a0,a1,a2,...,an-1}，称为An的序型是序数n。注意，同时把An中在此保序对应下。同0对应的元素a0称为第0个元素，同1对应的元素a1称为第1个元素，同2对应的元素a2称为第2个元素，.....，同n-1对应的元素an-1称为第n-1个元素。

也就是说一方面序数可以作为良序集合An序型标志，另一方面，各个小于它的序数，还可以作为集合An中元素是第几个元素的标志。

注意，这个特点在无穷序数下也是成立的。我上次说【序型不是表示某元素是【第几个元素】，】看来没说清楚，没说全。序型不是，但序数可以。应说【序型不是表示某元素是【第几个元素】，但可用小于它的序数来表示集合中元素是第几个元素。】

例如序数2ω。2ω={0,1,2,...,ω.ω+1,ω+2,... }。因而就把能同此集合2ω建立保序一一对应的集合 A2ω={a0,a1,a2,...,aω.aω+1,...}，称为A2ω的序型是序数2ω。注意，同时把A2ω中在此保序对应下。同0对应的元素a0称为第0个元素，同1对应的元素a1称为第1个元素，.....，同ω对应的元素aω称为第ω个元素，同ω+1对应的元素aω+1称为第ω+1个元素，......。

一阳生先生，当你有了以上知识后，就会认识到，在序型为n的集合An中，存在有第x个元素，但是x是一定小于n的。即x<n。在序型为2ω的集合A2ω中，存在有第x个元素，但是x是一定小于2ω的。即x<2ω。也就是说，在序型为α的集合Aα中，存在有第x个元素，但是x是一定小于α的。即x<α。

一阳生先生，你现在明白了吧，自然数集合N的序型是序数ω，在序型为ω的自然数集合N中，存在有第x个元素，但是x是一定小于ω的。即x<ω。因而在N中不存在第ω个元素，即【第无穷个元素】。明白了没有，尽管自然数有无穷多个，但自然数中并无【第无穷个自然数】的存在。只有在序型大于ω的集合，如Aω+1，...，A2ω等的集合中，才会有第ω个元素aω的存在。

同样的道理，在自然数的生成过程中，用到了有无穷多次后继运算。即所有这些后继运算构成一个无穷有序集合，它的序型可由序数ω表示，但在这个有序集合中，並无【第ω次后继运算】，即并无【第无穷次后继运算】的存在。

3，说清楚，我们并不是认为超穷序数α不可以作为【第α个元素】。而是说在序型等于序数α的集合中不存在【第α个元素】。只有在序型大于序数α的集合中才存在【第α个元素】。

在序型等于ω的自然数中，不存在【第ω个自然数】。同理，在自然数的生成过程中，用到的所有后继运算构成的集合，序型是序数ω，但在这个集合中，並无【第ω次后继运算】。

但是在2ω这个序型等于2ω，大于ω和ω+1,...的序数集合中，却存在【第ω个序数】，【第ω+1个序数】，...等。因为ω，ω+1,...＜2ω。

二、关于小球的运动。

关键是一阳生承认还是不承认，半开区间[0,1)内所有点所构成的集合的存在。如果承认这个集合的存在，就应承认【完全可能小球既不达到1点，但又遍历半开区间[0,1)中的所有点。】因为小球经过的点的集合就是此半开区间中所有点构成的集合。可以不包括1这个端点。说【不是可能，而是完全不可能。】就是完全错误的。

所以，一阳生先要回答，你承认不承认在严格精确的数学上，【半开区间[0,1)内所有点所构成的集合的存在。】

要知道这个集合没有最后一个点。每一个点同1都有大于0的距离。但並不存在最小距离，不存在【小球永远遍历不到】的点，也就是说对任何小于1的点，集合还都要将其包括在内。一阳生要承认这个集合的存在，而且这就是小球经过和遍历过的所有的点。

三、关于极限含义的动态解释。

【趋向于】不是原始概念，【x趋向于x0】的含义必须同【f(x)的极限是A】合起来，用极限的定义来解拜，它的含义才是清楚明白的。

1，一阳生说【【趋向于】是原始概念，【x趋向于x0】的含义是清楚明白的。】是完全错误的。因为你说不明白。

首先要明确一个基本原理。数学概念的含义必须根据它正式的数学定义来确定，不能根据它名称的字面含义来定。那种说什么数学概念的含义是由【字面意义决定的】，是完全错误的认识。

既使是无定义的【原始概念】，它的含义也是必须由公理来界定，不能由名称的字面含义来决定。一阳生说【个别原始概念的字面意义也可界定其含义。毕竟原始概念不是乱起名的。所以不能因为其是原始概念，就一概认为含义不清楚。】这是错误的认识。

所以说数学概念的含义必须根据它正式的数学定义来确定，不能根据它名称的字面含义来定。这是我们首先要澄清的一个学习数学的基本原理。

因而【当x趋近于0时，f(x)的极限是A】的极限慨念，它的确切含义必须根据它正式的数学定义来确定，不能根据它的字面含义来定。不能按【趋近于】和【极限】的字面含义来定，而必须按A∧B的ε-δ定义来定。

把【x趋向于x0】解释为【具有行为永不停歇的特性】，用【趋近于】、【靠近于】、【接近于】等都不能作为确切地解释。错误地把极限理解为变量x所取的点向x0的运动。【在取值范围内是x在动在趋向于x0】。认为极限是指【x向x0的运动】，【x(可把x看成小球)在区间中的运动】。要知道，这样来解释极限的【动态】含义，则是完全错误的，因为没有这样的定义。我希望通过这次讨论，能使一阳生先生彻底改变他对极限的这个错误的理解。

极限的动态解释只能跟据ε-δ的定义。把【当x趋近于x0时，f(x)的极限是A】的动态解释为有两个动态随时间变小的ε和δ，用δ的变小反映x0的邻域不断变小，即反映x同x0越来越接近。用ε的变小反映f(x)同A间的距离不断变小。ε和δ的动态关系是，任何ε都存在有相应的δ。而且对x0的去心δ邻域中所有的点x，f(x)同A的距离都小于ε。这就是【当x趋近于x0时，f(x)的极限是A】的动态解释。

也就是说，根据定义是用δ邻域的变小来反映其中的x同x0越来越接近，而不是主观地认为是【x(可把x看成小球)在区间中向x0的运动】。这是关键性的不同。

一阳生提的有些意見是莫明奇妙的，我们是在用定义来作动态解释，怎么能对【当x趋近于x0时，f(x)的极限是A】作随意改动呢？

1，不能把【x趋近于x0】和【f(x)的极限是a】分开来分别定义成两个含义明确可赋真假的命题C和D。

一阳生说【在A∧B成立的条件下，【x趋近于x0】具有行为永不停歇的特性，其和【f(x)的极限是a】都是含义明确的，均是可赋真假的命题，可以分开看待(虽然分开无聊无用无价值)。我在上面已给予了详细的论证，而且我前面的文章也已论证他们是标准的陈述句可赋予真假。】

这是空口说白话，什么【含义明确】，你具体分开说说看，什么是你分别给出的【x趋近于x0】和【f(x)的极限是A】可赋予真假命题的标准陈述。

我说的是不能分开，并不是说要【抛弃】某一个。

2，我己说得很清楚，极限的ε-δ定义给了【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】的完整定义。不能对【x趋向于x0】给出单独的分开的定义。

一阳生问【薛老师的观点说的很清楚，但是理由呢？论证呢？】理由很简单，就是你给不出分开的定义。你说能给出，那就给出来大家看看。

一阳生说【对于薛老师的观点：单独的【x趋向于x0】没有明确的含义。我已进行了驳斥。】关键是【驳斥】没有用。要【给出】定义，你说能给出，那就给出来大家看看。你给不出正确的定义来。

3，关于定义的逻辑模式，Φ⇔Ψ。

常常定义是这样说，如果......，则称.....。如果Φ，则称Ψ。似乎是个蕴含关系Φ→Ψ。其实由于这是定义，只有满足这个条件，才能作这样的称谓，所以实际上定义所给的这个条件是必要和充分的条件，当且仅当。所以定义的逻辑模式是Φ⇔Ψ，Φ当仅当Ψ。

这点一阳生先生早先生也是认同的，不知在这里又认不清了。关干极限的定义A∧B⇔Ψ，也是对的。其中A很明确是【函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且......】。这个【某一去心邻域】逻辑上指的是【存在一个去心郐域】的意思。因而应当是A=【存在一个b>0，使得函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】，而不是不说存在量词直接说对一个具体的确定的b(或b´，b´´)，有A=【函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】，在改正了这个错误的理解后，就知Ψ→Φ也是成立的。因为无论邻域有多少，存在邻域，都是真的。从而正确的结构应是Φ⇔Ψ。

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