Zmn-1079 薛问天: 自、反函数虽只有两个变量x.y，但共有四个微分dx1,dx2,dy1,dy2。评新华先生的《1078》

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自、反函数虽只有两个变量x.y，但共有四个微分dx1,dx2,dy1,dy2。评新华先生的《1078》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

新华先生关于自、反函数定义的叙述，基本上都是正确的，应该予以肯定。

自、反函数y=f(x),x=g(y)，是两个函数，含两个变量x.y，分别属于值域x∈X.y∈Y。自变量和因变量互反，函数映射也互为反函教，因为存在反函数。从而函数关系是双射，一一对应。如果把它俩看作是由方程给定的隐函数，那么这个方程只有一个，是一个唯一等价的方程。这一切都叙述得非常清楚和正确。

按照我的意見，方程和函数是两个不同的慨念，不要随意将其混同，例如表达式y=x^3-5和x=³√(y+5)，你要把它㸔成是函数表达式，它分别表示的是互为正、反的两个函数。如果你要把它看成是方程式，它表示的就是一个统一的等价的方程，它给出了上述的两个互反的隐函数。在概念上说清楚，方程是方程，函数是函数，不要混为一谈。

另外，新华的问题是对微分的认识和叙述出了错误。为了说明问题，我们先从正面陈述微分概念开始。先正面引述我在《1050》中的陈述。

〖还是先从微分的定义开始。首先给出一个函数y=f(x)。如果有: Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。

这讲得非常清楚，为函数y=f(x)定义了两个微分，一个叫作函数y=f(x)的因变量微分，dy=AΔx。一个叫作函数y=f(x)的自变量微分，dx=Δx。后又证明A是函数y=f(x)的导数，即dy/dx=f′(x)=A，

如果仅仅讨论这一个函数，你把dx看作是变量x的微分，把dy看作是变量y的微分，不会出什么问题。因为这些变量为函数所独有。但当我们研究两个以上函数，在一起讨论它们的微分时，就可能有要特别注意的情况，因为不同函数可能共用相同的变量。例如在把y=f(x)同它的反函数x=g(y)一起讨论时，它们有共同的变量x和y。讨论它们的微分如下。

(1)对函数y=f(x)，如果有Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。dy/dx=f′(x)=A，

(2)对函数x=g(y)，如果有Δx=BΔy+o(Δy)，则把BΔy称为函数x=g(y)的因变量微分，记作dx，把Δy称为函数x=g(y)的自变量微分，记作dy。dx/dy=g′(y)=B，

显然从微分的定义可知(1)中的dx，是函数y=f(x)的自变量微分，而(2)中的dx，是x=g(y)的因变量微分，这两个dx不是同一个微分。同理可知(1)的dy同(2)中的dy，这两个dy也不是同一个微分。

也就是说变量相同，都是x，它既是函数y=f(x)的自变量，又是x=g(y)的因变量，但根据微分的定义，关于dx，在(1)中的dx它表示的是函数y=f(x)的自变量微分，而(2)中的dx，它表示的是x=g(y)的因变量微分，这两个微分是不同函数的微分，因而是不同的微分。〗

简言之，对于正、反函数y=f(x)同x=g(y)，它们的导数(1): f′(x)=dy/dx ，(2): g′(y)=dx/dy。虽然(1),(2)中的变量x.y分别是完全相同的变量，但(1),(2)中的微分dx.dy，却分别是完全不相同的微分。为了防止混淆，我们常把(1)中的微分记为 f′(x)=dy1/dx1 ，把(2)中的微分记为 g′(y)=dx2/dy2。

新华先生的错误就在于此。他没有认清这个区别。他在文中说【由于互为反函数的函数y=f(x)和函数x=g(y)中变量x， y都是唯 一的，因此，结果微分“算子d”的运算或者称作用， dx和dy必然都是唯一的， 也没有任何理由和依据可能会出现新的变量， 因此， 绝对不会出现dx1、 dx2和 dy1、 dy2而有新的变量x1、 x2和y2、 dy的出现，因为微分“算子d”只是对变量运算，并不会改变变量的属性，否则， 显然就违反运算中变量的逻辑同一律规则，那是绝对错误的。】

从这段话中可以看出新华先生对【微分】的理解有误，没有理解正确，微分是给函数定义的概念，不同函数有不同微分。不是给变量定义的概念，要知道变量相同，函数不同仍然微分不同。既使把微分看作算子，也是对函数的算子，而不是对变量的算子。

我们只是对微分作了区分，记作dx1,dx2,dy1,dy2，没有引入，也可以不必引入新的变量x1,x2,y1.y2。

作为例子，新华先生对互反函数(1)y=x^3-5和(2)x=³√(y+5)，所求的导数和微分都没有错，其中(1)dy/dx=3x^2，(2)dx/dy=(1/3)(y+5)^(-2/3)。但必须认清(1)中的dx同(2)中的dx不是同一个微分，dy也不是同一的微分。特别是所求的等式(dy/dx)(dx/dy)=1，要特别注明此公式中的两个dx是不同的微分，两个dy也不同。如果将其混同就是严重的错误。数学是逻辑非常严密的科学，不容絲毫差错。

新华先生说【现代的数学分析并不完善，还是存在许多问题，如𝒅𝒙与∆𝒙的关系问题，因为∆𝒙的真实含义是清楚的，而𝒅𝒙的真实含义并不清楚。】

这是新华先生缺乏认识，事实上微积分对函数自变量的微分定义得非常清楚，函数自变量的微分就是dx=Δx。没有不清楚的地方。新华先生没有说他认为不清楚在什么地方，存在的问题是什么。不要这样抽象地评论，要说清楚，说具体。微积分这里没有存在任何问题。

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