Zmn-0975 薛问天: 关键是要承认康托尔定理的证明用的是反证法及反证法证明是有效的，评沈卫国先生《0974》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对沈卫国先生《Zmn-0974》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是要承认康托尔定理的证明用的是反证法及反证法证明是有效的，评沈卫国先生《0974》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

沈卫国先生的问题就在于不承认康托尔定理的证明用的是反证法。不承认反证法证明是有效的，不承认由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。

我上次就明确指出〖为什么对关键性问题，不明确谈自己的看法。

康托尔定理证明用的是反证法，是在实数可数的假定下推出矛盾，从而推翻假定，证明实数不可数。因而证明的过程不是在直接证明实数不可数，而是在推出矛盾。关于这点，沈先生你认识到了沒有，你承认不承认这个反证法的证明思路。请你明确回答。你对推出矛盾，就可推翻假定，使定理得证的证法，倒底承认不承认。〗

沈先生所回避的问题就是你沈卫国〖承认还是不承认康托尔定理的证明用的是反证法〗，〖承认还是不承认反证法的证明是有效的〗。〖承认还是不承认，由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗

这是沈卫国先生问题的要害，沈先生始终回避，不敢直接和正面回答这一问题。

如果你说的是真的不回避，【明明我针对他的问题，一一给出了明确的回答，他却说什么我“回避”。】

那好吧！就请你直接回答。如果你承认〖康托尔定理的证明用的是反证法〗，〖反证法证明是有效的〗。〖由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗

那你的所有问题都解决了，不用我来评论。

沈先生说【再一次告诉你，想通过对角线上产生一个可数集合的元素有理数，既不能证明无理数不可数，也不能证明实数不可数。......一个可数与不可数的混合集合（比如实数集合）中的可数子集缺一个元素，与其中的不可数集合无关。根本证明不了此混合集合不可数。只有缺的是不可数集合中的一个元素时，才有这种可能。】

请问沈先生，你说的这些【不能证明实数不可数】的议论有何意义，要知道你的这些质疑完全是无中生有无的放矢。康托尔的证明根本就不是在直接论证【集合不可数】。而是在证明反证法的假定【实数可数】能否推出矛盾。是在论证【序列中包含全体实数】同【存在实数不在序列中】是否有矛盾。

沈先生要是正式公开承认〖由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗就不会再去纠缠如何直接证明【集合不可数】了。就会认识到这种质疑的错误。

沈先生说【如此简单的道理和规律，薛先生都不知道，还硬说一个集合只要哪怕缺一个可数集合的元素，就是不可数。】

这完全是沈先生对康托尔定理证明的歪曲和错误的理解。我薛某从来也不会这么胡说，哪来的这么一句【一个集合只要哪怕缺一个可数集合的元素，就是不可数。】康托尔的推理是发现【实数是不在序列中】从而推出了同【序列中包含全体实数】发生矛盾，推翻了反证法的【美数可数】的假定，才证明了实数的不可数。不是根据沈先生所编造的【一个集合只要哪怕缺一个可数集合的元素，就是不可数】所推导的。这就是沈先生的错误质疑所在。就是证明了【一个集合缺一个不可数的无理数】，也证明不了集合不可数。康托尔用的是反证法，根本不是在直接证明【不可数】，而是在看推出命题是否矛盾。

沈先生不敢正式承认〖康托尔定理的证明用的是反证法〗，但也不好直接反对，却说只是【有了反证法的形式】。他说【薛先生最可笑的是，说反证法是推出矛盾，再证明结论。不是直接证明云云。谁还不知道这个？似乎只要有了反证法的形式，就无问题了。】什么只是【形式】。用的就是反证法。

沈先生不敢直接反对反证法证明的有效性却说【有用错的时候】。他说【薛问天一再问我，承认不承认反证法的结论。这里再一次告诉你，任何证明方法，都有用错的时候，都有证明无效的时候。】【反证法的形式，并不能保证其证明结论一定正确，它在一些地方可能产生问题。】

这完全是沈先生的狡辩。沈先生这次对康托尔证明的质疑，根本不是在说用反证法什么地方用错了，而是在公开反对反证法用推出矛盾来推翻假定使定理得证的方法，硬要直接证明不可数。

可笑的是沈先生还据此写了一篇文章论述什么【重申康托对角线法没有证明实数不可数的又一个有力证据】。根本不值一驳。只要沈先生正确回答，承认〖康托尔定理的证明用的是反证法〗，〖反证法证明是有效的〗。〖由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗

那你的所有问题都解决了，不用我来评论。

文中竟然说【当我们假设所列出的是一个可数集合的全部时，如果此时也会由康托对角线法同样的操作得到一个该可数集合的、不在原列表中的新元素，也就是“证明”了所列可数集合不可能包含全部元素的话，我们怎么能断定不包含全部元素的一个任何一个无穷集合，就必然是不可数的？不是所列集合不包含全部元素的，也可以是一个可数集合吗？】

这就是没有承认〖康托尔定理的证明用的是反证法〗，康托尔的证明并不是根据沈先生所说的【断定不包含全部元素的一个任何一个无穷集合，就必然是不可数的】。证明用的是反证法。

要知道是在反证法的【实数可数】的假定下才推出【所列出的序列是实数集合的全部】，而此时由康托对角线法得到一个不在序列中的数是实数，证明【存在有实数不在序列中】。从而产生了矛盾。这个矛盾推翻了【实数可数】的反证法的假定，从而证明了【实数不可数】的结论。只要承认〖反证法证明是有效的〗，承认〖由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗就承认康托尔定理的证明是正确的和有效的。

沈先生说【只要康托对角线法沿对角线的逐位求异操作不能排除产生一个有理数（作为可数有理数集合的一个元素），也就是不能证明对角线上只能产生一个新无理数，就等于承认其在证明实数集合不可数上无效。】这显然是错误的。此时只要由康托对角线法得到一个不在序列中的数是实数，无论它是不是无理数，都证明了【存在有实数不在序列中】。从而产生了矛盾。由反证法使定理得证。

另外，如果要用此法证明【有理数不可数】。当然在反证法的【有理数可数】的假定下可推出【所列出的序列是有理数集合的全部】，而此时由康托对角线法得到一个不在序列中的数是实数，但不能断定它一定是有理数。所以证明不了【存在有另外的有理数不在序列中】。从而产生不了矛盾。推翻不了【有理数可数】的反证法的假定，从而证明不了【有理数不可数】的结论。

因而沈先生所说的【如果康托对角线法有效，则必然会证明有理数也不可数。】这个推断是错误的。因为康托尔的对角线法，得到的不在序列中的数是可以断定是实数，从而产生了矛盾，推翻了反证法的假定，证明了【实数不可数】。但是康托尔的对角线法，得到的不在序列中的数，不可以断定它一定是有理数，从而产生了不了矛盾，推翻不了反证法的假定，证明不了【有理数不可数】。

这就说明沈先生说的【同样的一个康托对角线法，如果证明不了有理数不可数，就也证明不了无理数、实数不可数。因为其适用原则是一样的。】是完全错误的。

这一切都不用我来评论。只要沈先生不回避回答问题，公开承认如果你承认〖康托尔定理的证明用的是反证法〗，〖反证法证明是有效的〗。〖由反证法的假定推出矛盾，就可以推翻假定使定理得证。〗

那所有问题都解决了。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】