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Zmn-0703 薛问天:要认真学习和正确理解序数,评林益《0686》
【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对林益先生《Zmn-0686》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】
要认真学习和正确理解序数,
评林益《0686》
薛问天
一,序数是表示良序集序型的数系。
林益先生问【对于一个集合而言, 是否序数不是每一个元素的独有特征? 一个元素不是只能有一个序数,而是有两个或者更多的序数呢?是否不同的元素可以有相同的序数呢?】
说明林益先生沒有真正理解什么是序数。序数不是【每一个元素的独有特征】,序数不是用来标志集合中元素的特征的。序数是用来标志良序集这种集合的【序型】这个特征的。序数表示的不是集合中元素的特征,而是集合(良序集合)的序型。每个良序集都有一个序型,这个序型用序数唯一表示。用不同的序数来表示不同的序型。当然不同的良序集也可能有相同的序型,用相同的序数来表示。序型相同的良序集当且仅当可以建立保序的一一对应,称为相似。也就是说相似的良序集,它们的序型相同,因而用同一的序数表示它们序型。
所谓序数α表示A的序型的意思就是说,A的元素可以同α中的元素建立保序的一一对应。由于α中的元素是所有小于α的序数。所以在此保序的一一对应下,A中每个元素都对应α中的一个序数。是这个对应的的序数表现了该元素的顺序特征,后边将会讲到不能把元素对应的的序数,称为元素的序数。,
二,现有序数的作用已超过自然数的序数作用,用来表达序型
我上次说,自然数有两个作用,一个 是【个数作用】,一个是【序数作用】, 林益先生问【如某人身高 180 厘米, 180 既不是序数,也不是基数,】【薛问天老师认为 180 是序数还是基数呢?】
一般来讲,身高是不用自然数来表示的,如1米8,这用的是有理数1.8。如果你规定只用厘米作身高的单位,那180就是180个厘米,当然是「个数作用」。这不应有任何问题,对于自然数,数量就是个数。
请林先生注意这个【个数作用】和【序数作用】,只是自然数的作用,只是序数和基数发展的起源思想。实际上的超穷基数和超穷序数巳有很大的发展,远远超过这些内容。自然数的【个数作用】已发展为集合的势,用基数表示集合的势。自然数的【序数作用】已发展为良序集合的序型,用序数来表示集合的序型。
三,良序集合的序数是个集合,良序集合的元素一一对应于该集合中的序数。
林益先生说【集合的元素无论怎么排序,只要顺序确定,或者数列的项本身顺序就是确定的,元素的序数和数列的项的序数都是唯一确定的,这与序型似乎没有任何关系。】
错了,不是任何有序的集合都有序型。都能使它的元素唯一对应到它序型中的序数。新华先生应对有序集合作更仔细地了解。有序集合分良序集和非良序集。定理证明只有良序集才有序数表示的序型,所以集合A是良序集时,才有表示该序型的序数α。我们知任何序数都是由小于它的全体序数构成的集合,所以α是个序数的集合,从而A才能同α这个集合建立保序的一一对应,使A中的每个元素对应于α中的不同序数,这个对应类同于自然数的「序数作用」。
另外,林益先生说【有限序型,基数的值就等于最大序数的值,】
这个说法不对,正确的说法是「有限有序集合的序数同它的基数的值是相等的,如是n,则它的序型是集合能同n={0,1,2,...,n-1}建立保序的一一对应。在这里基数的值等于最大序数的后继。」
林益先生在后面的陈述中也有些错误,
对于集合 A={ a1,a2, ⋯},B ={ b1,b2,⋯}, C={ a1,a2,⋯;b1,b2, ⋯}。说A和B的序型相同用序数ω表示,C的序型用2ω表示,这是对的。但应注意ω的序型是ω={0,1,...},2ω的序型是2ω={0,1,...;ω,ω+1...}。所以在C的元素同序数2ω的保序一一对应中,b1对应的是序数ω而不是ω+1。林益先生说【在 C 中, b1的序数就是 ω+1, ω+1 在这里是序数不是序型。】是不对的,任何序数都表示一个确定的序型,没有不表示序型的序数。ω+1表示的序型是能同ω+1={0,1,2,...,ω}建立保序的一一对应。
四,关于序数和基数的关系。
我说过,基数和序数是两个概念不同的数系。但是它们却有相当密切的关系。能把基数定义为满足一定条件的序数,当然是有根据的。并无任何不妥,也不违犯任何逻辑规律。更不存在什么概念上的问题。
林益先生说【这一点也没有错误。“能把基数定义为满足一定条件的序数” 中“满足一定条件的序数”就是“序型”,一个无穷基数只能对应一个序型,如可数基数א0对应的序型就是ω0 (有时也称ω型), 满足的条件序型集合就是ω≤ ω0< ωω。】
我们用滿足一定条件的序数来定义基数。什么条件呢,那就是这个被定义为基数的序数,必须是等势的序数集合中的最小序数。我们把这种序数称为【开始序数】。因而这些不同的开始序数,它们所表示的序型的那个良序集的势,都是不同的。另一方面,我们可以用良序定理证明,这些势包括了所有基数表示的势。因而用开始序数来定义基数,既不会出现重复,又是完整无漏的。亦即不同的势用不同的基数表示不会重复,每个集合的势都有基数表示不会遗漏,这样的定义是正正当当,合情合理,不存在任何不妥和違犯逻辑同一律的问题。
另外林益先生把ω0的条件叙述为【ω≤ ω0< ωω】,是不对的。实际上ω0就等于ω,是同ω等势序数集合中的最小序数。
即ω0的条件是任何小于ω0的序数的势都小于ω,即w0是同ω等势的序数中最小的。从而ω0=ω。
五,不要把【元素对应的序数】说成是【元素的序数】
林益先生说【任意一个序数都有两个属性,它既可以表示一个集合中的一个元素的序数,又可以代表一个集合的序型,对无穷集合,每一个元素都有一个序数来确定元素在集合元素排序中的位置,】
这里首先要注意,序数的适用范围不是任意的集合,也不是任意的有序集合,而是滿足一定条件的有序集合,即良序集合。
另外就是不要把【元素对应的序数】说成是【元素的序数】。应该这样说,任何一个良序集A,都有一个序数α,表示A的序型。所谓序数α表示A的序型的意思就是说,A的元素可以同α中的元素建立保序的一一对应。由于α中的元素是所有小于α的序数。所以在此保序的一一对应下,A中每个元素都对应α中的一个序数。这个α中的序数是A中该元素对应的序数,
不要称此【对应的序数】是该【元素的序数】。因为该元素对应的序数并不是该元素的序型。甚至A中的该元素连良序集都不是,就没有序数。这种称此对应的序数是该【元素的序数】的称呼,会产生逻辑上违反同一律的矛盾。所以应该从概念上分清表示良序集A的序型的序数α,和A中元素所对应的序数的区别。显然A中元素所对应的序数都是小于α的序数,其中不可能包括α。林益先生的例子良序集C的序数是2ω,而在同C中元素对应的序数中没有2ω,这是非常正常合理的事,至于2ω不代表基数,但2ω是个集合就有势,它的基数同ω的基数相等,都是可数无穷。不知林益先生对此例子说的这些话是什么意思,是同意还是反对。
林益先生说的下面这句话【任何集合的序数都是从 1 开始的,最后确定最大序数, 因此基数都与最大序数有关,对于有限集,虽然基数与最大序数相等,也不能 认为最大序数就是基数。】
这句话显然是错误的。正确的说法是任何良序集都有一个序数,表示它的序型。 任何序数都是由小于它的所有序数构成的集合,这个集合以0开始,可能有最大序数,也可能没有最大序数。这个集合的基数,是由集合的势所决定的,不可能是由【最大序数】决定的。对有限集,序数n={0,1,2,...,n-1},此集合的最大序数是n-1,它的基数n是此集合最大序数n-1的后继。由于每个有限集的等势序数只有一个。所以有限集的基数就等于其序数。
序数和基数虽是不同概念产生的两个不同的数系,但是它们的关系相当密切,宻不可分。序数的定义离不开势,ω1定义为所有同ω0等势的序数集合的并集。ω2定义为所有同ω1等势的序数集合的并集.....。而基数可直接由等势序数的最小序数来定义,甚至基数的标号אμ中的下标μ就是序数。
把讨论和利用序数和基数间的密切关系,认为是违反逻辑同一律是不对的。不同概念之间完全有可能有密切的关系。有密切关系的概念完全可能是不同的概念。关键是要把它们的关系和区别是什么,分析清楚。不能在这里乱加评论。
六,关于序数表示的序型。
林益先生说【当ω={0,1,2,⋯} 时,“ω”表达的是集合,是序型,不是序数。】
㸔来林益先生对什么是序数,序数如何表达良房集的序型的这些基本概念尚未完全掌握,我们来看序数的正式数学定义。这是公理集合论中序数的定义。
这里说的很清楚0是序数。若α是序数,则α的后继α+是序数。在用集合定义序数中,序数都是集合。0是空集,α+=α∪{α}。这是序数的笫一生成原则。
定义的⑶规定,若S是序数的集合,则这些序数的并集∪S是序数。当这个集合S是可数集合时,是序数的第二生成原则,当这个集合是不可数集合时,就是序数的笫三生成原则。
这是序数的最基本的定义。在此定义的基础上,可以定义和推出很多序数的性质。一个重要的性质是,任何序数都是小于该序数的全体序数的集合。从而任何序数都可唯一确定一个序型。这个序型就是能同该序数的集合建立保序的一一对应。
由于ω=∪ω,所以说ω是序数,序数ω表示的序型是能同ω={0,1,2,...}建立保序一一对应。,林益先生认为ω不是序数显然是错误的。
C={ a1,a2,⋯,b1,b2, ⋯}。这个良序集合C的序数是2ω,要知道2ω={0,1,2,...;ω,ω+1,ω+2,... }。因而在保序的一一对应下,C中元素b1对应的序数是ω,而不是林益先生说的ω+1。这是林益先生的一个错误。集合D={ a1,a2,⋯;b1}。它的序数确实是ω+1,但ω+1={0,1,,2,.;ω}。因而b1对应的序数是ω而不是ω+1。这里ω是b1对应的序数。前面讲过不要称ω是【b1 的序数】。所有的序数都是表示序型的,没有不可表示序型的序数。这才符合逻辑同一律。
七,序数的基数。
我们知道序数是小于它的全体序数的集合。即序数是个集合,是集合就有势,就有基数来表达它的势。因而每个序数都有它的基数,显然序数α和β,如果α的势小于β的势,则作为序数α小于β。但是如果序数α小于β,则α的势却不一定小于β的势,而有可能势相等,其基数相同。例如作为序数ωくω+1くω+2,但它们的基数都相等。所以可以用等势的序数的集合来表达基数,当然也可以在每个等势序数集合中选一个代表,例如等势集合中最小序数,来代表基数。所以可以用等势序数集合的最小序数来定义基数。要知道概念的定义并不是只有唯一的一种。可以有各种等价的定义,只选等价的定义中的一个即可形成相应的理论。选择不同等价定义的理论,可以证明是等价的理论。所以如果不是选择等势序数集合中的最小序数作代表,而选择等势序数集合中其它的序数作代表,仍然是等价的定义,形成的理论也正确也等价。
所以正因为ω,ω+1,2ω等势,基数相同,所以就可以选择ω,ω+1,2ω中任何一个作代表,来作为该基数的定义。
八,关于更大的序数和基数。
先说一点,林益先生说【如果最大序数大于等于ω而小于ωω 就称为可数序型,如果最大序数大于等于ωω 而小于 就ω^ωω称为不可数序型,以此类推,】
这里用【最大序数】来定义,是绝对不合适的。在序数表达的序型(即全体小于该序数的序数集合)中,不一定有最大序数。那你指的最大序数就无意义。
另外林益先生对序数数系中的幂运算了解不够,尚需进一步学习。大于ωω甚至大于ω^ωω的序数的基数都可能是可数的。不能凭自己的主观臆想随意定义。
另外,基数的幂运算同序数的幂运算的定义和运算法则都不完全相同,不可简单的互相替换和令其相等。林益先生的这些公式的推算都是毫无根据的错误的推演,例如认为ωω不可数,以及ωω=א0א0等。
林益先生问【请问薛问天老师: 是否就不存在更高的超限序数呢? 序型序列 ω0,ω1 ,ω2 , ⋯中 对应的序数的范围是什么呢? 康托尔的第三生成法则(限制法则)的限制原则是什么呢? 】
这个问题问的很好。超穷序数分为可数序数和不可数序数,而不可数序数又可按其势再分。但不是按照序数的幂运算来分的,因为按序数的幂运算,ωω,ω^ωω,...等都是可数的,提不高。这就要按势来分。我们考虑所有的同ω等势的序数集合,将此集合记为ω1,在序数理论中可以严格证明ω1是一个集合,而且ω1=∪ω1,从而ω1是一个序数,而且ω1的势大于ω的势(因为如果ω1同ω等势,则ω1∈ω1,同集合的正则公理相矛盾)。
同理可以进一步构造ω2,ω3,...等。再构造ωω,ωω+1,...。而且对任何序数μ,都可构造ωμ。
序数可以这样生成,基数也一样。这就是说,有穷基数有无穷多个,但可数超穷基数只有一个是א零,但不可数的超穷基数并不只一个,而是很多,包括א壹,א贰,...甚至对任何序数μ,都有一个基数אμ。
林益先生问【区间[0,1)实数不可数究竟是哪一个基数, 倒是值得薛问天老师提供正确答案。 】康托定理只回答了实数的基数是不可数的。并没有回答它是哪个基数。根据连续统假设,在自然数的基数同实数的基数之间再没有其它基数了,因而在承认连续统假设下,实数的基数就是א壹。这是相当明确的。当然比实数的基数更大的基数还有很多很多。
我还想说说,我不同意林益那位老师讲的【多研究、 多思考, 少发言,】中的【少发言】的观点。既然要【互相公平探讨】,就要在讨论中多发言,多多发表自己的看法。你认为那种观点是错误的,就要明确提出。你的观点有错发表出来,也会受到别人的批评而得到改正,这并不损失任何【人的尊严】。是对是错一定要通过辩论,弄清事非。不要有任何掩饰。把批评错误看成是不符合【做人的道德标准】,是完全错误的。恰恰相反,追求真理,批评错误,有话直言,坦诚表白,这才是高尚道德的标准。当然我指的是有意义的学术讨论。不是指那种只顾面子的【无聊的争论。】
参考文献
Zmn-0686 林 益: 回复《0683》
Zmn-0683 薛问天:评林益先生对序数理解的错误,评《0681》
Zmn-0681 林 益: 读《基数的定义》有感
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zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0685 沈卫国:对薛问天“Zmn-0682 :缺乏对逻辑的最基本认识,是沈卫国先生产生错误的主要原因。”的回答
Zmn-0673 沈卫国: 对集合论中基数问题的看法以及实数可数、不可数问题的进一步澄清--兼以回复反对伊战先生在科学网文
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