Zmn-0703 薛问天：要认真学习和正确理解序数，评林益《0686》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0686》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

要认真学习和正确理解序数，

评林益《0686》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，序数是表示良序集序型的数系。

林益先生问【对于一个集合而言， 是否序数不是每一个元素的独有特征？ 一个元素不是只能有一个序数,而是有两个或者更多的序数呢?是否不同的元素可以有相同的序数呢？】

说明林益先生沒有真正理解什么是序数。序数不是【每一个元素的独有特征】，序数不是用来标志集合中元素的特征的。序数是用来标志良序集这种集合的【序型】这个特征的。序数表示的不是集合中元素的特征，而是集合(良序集合)的序型。每个良序集都有一个序型，这个序型用序数唯一表示。用不同的序数来表示不同的序型。当然不同的良序集也可能有相同的序型，用相同的序数来表示。序型相同的良序集当且仅当可以建立保序的一一对应，称为相似。也就是说相似的良序集，它们的序型相同，因而用同一的序数表示它们序型。

所谓序数α表示A的序型的意思就是说，A的元素可以同α中的元素建立保序的一一对应。由于α中的元素是所有小于α的序数。所以在此保序的一一对应下，A中每个元素都对应α中的一个序数。是这个对应的的序数表现了该元素的顺序特征，后边将会讲到不能把元素对应的的序数，称为元素的序数。，

二，现有序数的作用已超过自然数的序数作用，用来表达序型

我上次说，自然数有两个作用，一个 是【个数作用】，一个是【序数作用】， 林益先生问【如某人身高 180 厘米， 180 既不是序数，也不是基数，】【薛问天老师认为 180 是序数还是基数呢？】

一般来讲，身高是不用自然数来表示的，如1米8，这用的是有理数1.8。如果你规定只用厘米作身高的单位，那180就是180个厘米，当然是「个数作用」。这不应有任何问题，对于自然数，数量就是个数。

请林先生注意这个【个数作用】和【序数作用】，只是自然数的作用，只是序数和基数发展的起源思想。实际上的超穷基数和超穷序数巳有很大的发展，远远超过这些内容。自然数的【个数作用】已发展为集合的势，用基数表示集合的势。自然数的【序数作用】已发展为良序集合的序型，用序数来表示集合的序型。

三，良序集合的序数是个集合，良序集合的元素一一对应于该集合中的序数。

林益先生说【集合的元素无论怎么排序，只要顺序确定，或者数列的项本身顺序就是确定的，元素的序数和数列的项的序数都是唯一确定的，这与序型似乎没有任何关系。】

错了，不是任何有序的集合都有序型。都能使它的元素唯一对应到它序型中的序数。新华先生应对有序集合作更仔细地了解。有序集合分良序集和非良序集。定理证明只有良序集才有序数表示的序型，所以集合A是良序集时，才有表示该序型的序数α。我们知任何序数都是由小于它的全体序数构成的集合，所以α是个序数的集合，从而A才能同α这个集合建立保序的一一对应，使A中的每个元素对应于α中的不同序数，这个对应类同于自然数的「序数作用」。

另外，林益先生说【有限序型，基数的值就等于最大序数的值，】

这个说法不对，正确的说法是「有限有序集合的序数同它的基数的值是相等的，如是n，则它的序型是集合能同n=｛0,1,2,...,n-1｝建立保序的一一对应。在这里基数的值等于最大序数的后继。」

林益先生在后面的陈述中也有些错误，

对于集合 A={ a1,a2, ⋯}，B ={ b1,b2,⋯}， C={ a1,a2,⋯;b1,b2, ⋯}。说A和B的序型相同用序数ω表示，C的序型用2ω表示，这是对的。但应注意ω的序型是ω={0,1,...}，2ω的序型是2ω={0,1,...;ω,ω+1...}。所以在C的元素同序数2ω的保序一一对应中，b1对应的是序数ω而不是ω+1。林益先生说【在 C 中， b1的序数就是 ω+1， ω+1 在这里是序数不是序型。】是不对的，任何序数都表示一个确定的序型，没有不表示序型的序数。ω+1表示的序型是能同ω+1={0,1,2,...,ω}建立保序的一一对应。

四，关于序数和基数的关系。

我说过，基数和序数是两个概念不同的数系。但是它们却有相当密切的关系。能把基数定义为满足一定条件的序数，当然是有根据的。并无任何不妥，也不违犯任何逻辑规律。更不存在什么概念上的问题。 

林益先生说【这一点也没有错误。“能把基数定义为满足一定条件的序数” 中“满足一定条件的序数”就是“序型”,一个无穷基数只能对应一个序型，如可数基数א0对应的序型就是ω0 (有时也称ω型)， 满足的条件序型集合就是ω≤ ω0< ω^ω。】

我们用滿足一定条件的序数来定义基数。什么条件呢，那就是这个被定义为基数的序数，必须是等势的序数集合中的最小序数。我们把这种序数称为【开始序数】。因而这些不同的开始序数，它们所表示的序型的那个良序集的势，都是不同的。另一方面，我们可以用良序定理证明，这些势包括了所有基数表示的势。因而用开始序数来定义基数，既不会出现重复，又是完整无漏的。亦即不同的势用不同的基数表示不会重复，每个集合的势都有基数表示不会遗漏，这样的定义是正正当当，合情合理，不存在任何不妥和違犯逻辑同一律的问题。

另外林益先生把ω0的条件叙述为【ω≤ ω0< ω^ω】，是不对的。实际上ω0就等于ω，是同ω等势序数集合中的最小序数。

即ω0的条件是任何小于ω0的序数的势都小于ω，即w0是同ω等势的序数中最小的。从而ω0=ω。

五，不要把【元素对应的序数】说成是【元素的序数】

林益先生说【任意一个序数都有两个属性，它既可以表示一个集合中的一个元素的序数，又可以代表一个集合的序型，对无穷集合，每一个元素都有一个序数来确定元素在集合元素排序中的位置，】

这里首先要注意，序数的适用范围不是任意的集合，也不是任意的有序集合，而是滿足一定条件的有序集合，即良序集合。

另外就是不要把【元素对应的序数】说成是【元素的序数】。应该这样说，任何一个良序集A，都有一个序数α，表示A的序型。所谓序数α表示A的序型的意思就是说，A的元素可以同α中的元素建立保序的一一对应。由于α中的元素是所有小于α的序数。所以在此保序的一一对应下，A中每个元素都对应α中的一个序数。这个α中的序数是A中该元素对应的序数，

不要称此【对应的序数】是该【元素的序数】。因为该元素对应的序数并不是该元素的序型。甚至A中的该元素连良序集都不是，就没有序数。这种称此对应的序数是该【元素的序数】的称呼，会产生逻辑上违反同一律的矛盾。所以应该从概念上分清表示良序集A的序型的序数α，和A中元素所对应的序数的区别。显然A中元素所对应的序数都是小于α的序数，其中不可能包括α。林益先生的例子良序集C的序数是2ω，而在同C中元素对应的序数中没有2ω，这是非常正常合理的事，至于2ω不代表基数，但2ω是个集合就有势，它的基数同ω的基数相等，都是可数无穷。不知林益先生对此例子说的这些话是什么意思，是同意还是反对。

林益先生说的下面这句话【任何集合的序数都是从 1 开始的，最后确定最大序数， 因此基数都与最大序数有关，对于有限集，虽然基数与最大序数相等，也不能 认为最大序数就是基数。】

这句话显然是错误的。正确的说法是任何良序集都有一个序数，表示它的序型。 任何序数都是由小于它的所有序数构成的集合，这个集合以0开始，可能有最大序数，也可能没有最大序数。这个集合的基数，是由集合的势所决定的，不可能是由【最大序数】决定的。对有限集，序数n={0,1,2,...,n-1}，此集合的最大序数是n-1，它的基数n是此集合最大序数n-1的后继。由于每个有限集的等势序数只有一个。所以有限集的基数就等于其序数。

序数和基数虽是不同概念产生的两个不同的数系，但是它们的关系相当密切，宻不可分。序数的定义离不开势，ω1定义为所有同ω0等势的序数集合的并集。ω2定义为所有同ω1等势的序数集合的并集.....。而基数可直接由等势序数的最小序数来定义，甚至基数的标号אμ中的下标μ就是序数。

把讨论和利用序数和基数间的密切关系，认为是违反逻辑同一律是不对的。不同概念之间完全有可能有密切的关系。有密切关系的概念完全可能是不同的概念。关键是要把它们的关系和区别是什么，分析清楚。不能在这里乱加评论。

六，关于序数表示的序型。

林益先生说【当ω={0,1,2,⋯} 时，“ω”表达的是集合，是序型，不是序数。】

㸔来林益先生对什么是序数，序数如何表达良房集的序型的这些基本概念尚未完全掌握，我们来看序数的正式数学定义。这是公理集合论中序数的定义。

这里说的很清楚0是序数。若α是序数，则α的后继α+是序数。在用集合定义序数中，序数都是集合。0是空集，α+=α∪{α}。这是序数的笫一生成原则。

定义的⑶规定，若S是序数的集合，则这些序数的并集∪S是序数。当这个集合S是可数集合时，是序数的第二生成原则，当这个集合是不可数集合时，就是序数的笫三生成原则。

这是序数的最基本的定义。在此定义的基础上，可以定义和推出很多序数的性质。一个重要的性质是，任何序数都是小于该序数的全体序数的集合。从而任何序数都可唯一确定一个序型。这个序型就是能同该序数的集合建立保序的一一对应。

由于ω=∪ω，所以说ω是序数，序数ω表示的序型是能同ω={0,1,2,...}建立保序一一对应。,林益先生认为ω不是序数显然是错误的。

C={ a1,a2,⋯,b1,b2, ⋯}。这个良序集合C的序数是2ω，要知道2ω=｛0,1,2,...；ω,ω+1,ω+2,... }。因而在保序的一一对应下，C中元素b1对应的序数是ω，而不是林益先生说的ω+1。这是林益先生的一个错误。集合D={ a1,a2,⋯;b1}。它的序数确实是ω+1，但ω+1={0,1,,2,.；ω}。因而b1对应的序数是ω而不是ω+1。这里ω是b1对应的序数。前面讲过不要称ω是【b1 的序数】。所有的序数都是表示序型的，没有不可表示序型的序数。这才符合逻辑同一律。

七，序数的基数。

我们知道序数是小于它的全体序数的集合。即序数是个集合，是集合就有势，就有基数来表达它的势。因而每个序数都有它的基数，显然序数α和β，如果α的势小于β的势，则作为序数α小于β。但是如果序数α小于β，则α的势却不一定小于β的势，而有可能势相等，其基数相同。例如作为序数ωくω+1くω+2，但它们的基数都相等。所以可以用等势的序数的集合来表达基数，当然也可以在每个等势序数集合中选一个代表，例如等势集合中最小序数，来代表基数。所以可以用等势序数集合的最小序数来定义基数。要知道概念的定义并不是只有唯一的一种。可以有各种等价的定义，只选等价的定义中的一个即可形成相应的理论。选择不同等价定义的理论，可以证明是等价的理论。所以如果不是选择等势序数集合中的最小序数作代表，而选择等势序数集合中其它的序数作代表，仍然是等价的定义，形成的理论也正确也等价。

所以正因为ω，ω+1，2ω等势，基数相同，所以就可以选择ω，ω+1，2ω中任何一个作代表，来作为该基数的定义。

八，关于更大的序数和基数。

先说一点，林益先生说【如果最大序数大于等于ω而小于ω^ω 就称为可数序型，如果最大序数大于等于ω^ω 而小于 就ω^ω^ω称为不可数序型，以此类推，】

这里用【最大序数】来定义，是绝对不合适的。在序数表达的序型(即全体小于该序数的序数集合)中，不一定有最大序数。那你指的最大序数就无意义。
另外林益先生对序数数系中的幂运算了解不够，尚需进一步学习。大于ω^ω甚至大于ω^ω^ω的序数的基数都可能是可数的。不能凭自己的主观臆想随意定义。

另外，基数的幂运算同序数的幂运算的定义和运算法则都不完全相同，不可简单的互相替换和令其相等。林益先生的这些公式的推算都是毫无根据的错误的推演，例如认为ω^ω不可数，以及ω^ω=א0^א0等。

林益先生问【请问薛问天老师： 是否就不存在更高的超限序数呢？ 序型序列 ω0，ω1 ，ω2 ， ⋯中 对应的序数的范围是什么呢？ 康托尔的第三生成法则(限制法则)的限制原则是什么呢？ 】

这个问题问的很好。超穷序数分为可数序数和不可数序数，而不可数序数又可按其势再分。但不是按照序数的幂运算来分的，因为按序数的幂运算，ω^ω，ω^ω^ω，...等都是可数的，提不高。这就要按势来分。我们考虑所有的同ω等势的序数集合，将此集合记为ω₁，在序数理论中可以严格证明ω₁是一个集合，而且ω₁=∪ω₁，从而ω₁是一个序数，而且ω₁的势大于ω的势(因为如果ω₁同ω等势，则ω₁∈ω₁，同集合的正则公理相矛盾)。

同理可以进一步构造ω₂,ω₃,...等。再构造ω_ω,ω_ω+1,...。而且对任何序数μ，都可构造ω_μ。

序数可以这样生成，基数也一样。这就是说，有穷基数有无穷多个，但可数超穷基数只有一个是א_零，但不可数的超穷基数并不只一个，而是很多，包括א壹，א贰，...甚至对任何序数μ，都有一个基数א_μ。

林益先生问【区间[0,1)实数不可数究竟是哪一个基数， 倒是值得薛问天老师提供正确答案。 】康托定理只回答了实数的基数是不可数的。并没有回答它是哪个基数。根据连续统假设，在自然数的基数同实数的基数之间再没有其它基数了，因而在承认连续统假设下，实数的基数就是א壹。这是相当明确的。当然比实数的基数更大的基数还有很多很多。

我还想说说，我不同意林益那位老师讲的【多研究、 多思考， 少发言，】中的【少发言】的观点。既然要【互相公平探讨】，就要在讨论中多发言，多多发表自己的看法。你认为那种观点是错误的，就要明确提出。你的观点有错发表出来，也会受到别人的批评而得到改正，这并不损失任何【人的尊严】。是对是错一定要通过辩论，弄清事非。不要有任何掩饰。把批评错误看成是不符合【做人的道德标准】，是完全错误的。恰恰相反，追求真理，批评错误，有话直言，坦诚表白，这才是高尚道德的标准。当然我指的是有意义的学术讨论。不是指那种只顾面子的【无聊的争论。】

参考文献
Zmn-0686 林   益： 回复《0683》
Zmn-0683 薛问天：评林益先生对序数理解的错误，评《0681》
Zmn-0681 林   益： 读《基数的定义》有感

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