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Zmn-0629 薛问天:正确认识命题逻辑,评黄汝广先生的《0607》

已有 397 次阅读 2021-8-13 21:44 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0629 薛问天:正确认识命题逻辑,评黄汝广先生的《0607》

【编者按。下面是薛问天先生的文章,是对黄汝广先生的《0607》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

正确认识命题逻辑

评黄汝广先生的《0607》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg黄汝广先生认为【蕴涵关系只能是基于概念间的内涵联系,而不是一个纯粹的形式逻辑问题。】不妥。蕴涵关系就是形式逻辑中的一个逻辑联接词表述的逻辑关系,形式逻辑的命题逻辑中,有连接词 :与(∧),或(∨),非(乛),蕴涵(→),等价(≡,↔)等。命题逻辑就是对使用的推理的规律进行形式化严格化的规范。这些推理规则也都是用真值表的方法严格地加以定义。命题逻辑中的蕴涵词就是对推理中的蕴涵推理的严格描述。黄汝广先生说他【最终把蕴涵关系归结为一个省略了正确大前提的三段论推理。】其实在命题逻辑的推理规则中就有这样的规则,如果  Σ,P ╞ Q,则Σ ╞ p→Q。其中的╞  就表示用规则推出。

在命题逻辑中证明(P→Q)≡(乛P∨Q),以及推出P→(Q→P)和乛P→(P→Q), 这都是蕴涵关系的正规推论,而不是计么【蕴涵怪论】

 

1,所谓伪证主义者说蕴涵关系使用真值表【只能被证伪,不能被证实】是错误的。

黄汝广先生所列的p→Q的真值表是正确的。【P→Q为真】当且仅当【P为真时Q为真,P为假时Q不定(可为真可为假)】。

伪证主义者认为【仅从命题P与Q的真值出发,也可对一个假设的蕴涵关系P→Q进行研究,但是它只能被证伪,而不能被证实。】这个论断显然是错误的。正如表2所示,当我们发现出现有,当P为真时Q为假,可以立刻断定P→Q肯定为假,即证伪。但是当我们得知在所有P为真的情况下Q都为真,即第三种赋值的情况P为真Q为假始终都不可能出现时,则可以立刻断定P→Q肯定为真,怎么能说不能证实呢?即出现P为真Q为假可以证伪P→Q,但始终不会出现P为真Q为假就可以证实P→Q为真。

例如P=(x>5),R=(x>10),Q=(x>0)。显然当x=6时,P为真R为假,可以立刻断是P→R是假的,进行了对P→R的证伪。但是我们知道,对于所有使P为真的x,Q也为真,即不存在P为真而Q为假的x,自然可以推出P→Q为真。真值表(表2)不仅可以证伪,也可证实蕴涵关系。所谓的证伪主义者说蕴涵关系使用真值表【不能被证实】是错误的。

因而认为用真假值表不能定义蕴涵关系的观点是错误的。不用真假值表定义,对蕴涵关系给不出【新的定义】。那被省略了的具体证明过程和真值表的规定是一致的。因为证明过程中所用的所有的推理规则都符合真值表的规定。命题逻辑系统是个完整可靠而且满足一致性的系统。

在上述证伪和证实的过程中,可以完全不管使P为假的x。这些x有些使R,Q为真,有些使R,Q为假。不影响我们对蕴涵关系的证伪和证实。这里要注意的是我们是在论证蕴涵关系为真(证实)和为假(证伪)时,可以只考虑当P为真时情况,而不考虑P为假时的情况,但是绝不是认为P不能为假,要知道P为假的情况是完全可能存在的,如上述例子P=(x>5),对于小于等于5的x,P就为假。所以文中说的【必须保证前件现实上也是真的,否则就会犯否定前件谬误。】这种要求是完全不符合客观现实的。在逻辑推理中,对蕴涵关系P→Q没有要求让P一定为真。

 

2,由P→Q的等价式定义的蕴涵关系是等价,并无【强蕴涵”定义】,

在命题逻辑中没有等号=,有些人用等号=,实际上表示的就是等价≡,【A=B】在命题逻辑中就是【如果A为真则B为真,如果A为假则B为假】,这就是等价关系【A≡B】。

P→Q,在命题逻输中有很多等价关系,如:

(P→Q)

  ≡(乛Q→乛P)

  ≡(乛P∨Q)

  ≡ ((P∧Q)≡P)

  ≡((P∨Q)≡Q)

  ≡((~P∨Q)≡1)

  ≡((P∧~Q)≡0)。

因而把蕴涵关系定义为:  两命题P与Q,如果满足上述等式之一,便说P蕴涵Q,记作P→Q。并无新意。并未给出计么【强蕴涵”定义】,在命题逻辑中是完全等价的。另外说什么【在布尔代数中,等式是不能相互嵌套的,即(P=Q)=R,P=(Q=R)这类式子是不讨论的。因为蕴涵式实际上是一个等式,故蕴涵式也是不能互相嵌套的。”】:在命题逻辑并无这种荒谬的规定。所以我们可以不接受这样的规定。

那种认为只有含有等号才是方程的看法也是片面的,任何一个逻辑式,都可以㸔作是一个逻辑变量P,Q等的逻辑方程。例如P→Q这个逻辑式就可以看作是一个逻辑方程,使p→Q为真的解是<P,Q>={<0,1>,<0,0>,<1,1>}。

命题逻辑是在任何数学领域中都可应用的,在命题逻辑中命题变元P可真可假,在具体的数学应用中也可能可真可假,例如当用P(x)表示x>5时,对于大于5的x,显然为真,对于小于或等于5的x,显然为假。也就是说P的真假决定于讨论的领域和P的具体涵意。如果P表示的是【三角形内角之和等于180度】,则在欧氏几何中是真命题,在非欧几何中是假命题。

不过要注意在命题逻辑中,有些表达式是永真的,称为重言式。例如(P∧Q)→P,(P∧Q)→Q,P→(P∨Q),Q→(PVQ)。这些重言式可以由P和Q的所有可能的真假值來验证为真,因而这些重言式为真是和应用领域无关的,在任何实际的应用领域,这些重言式始终为真。命题逻辑中的推理规则也是如此,它实际上是各项具体应用领域中逻辑推理的共性规则的总括和抽象,所以在任何领域中都是适用的。

这些重言式也包括与蕴涵有关的: 乛P→(P→Q),Q→(P→Q)等。重言式的真值与应用领域中P,Q的内容无关,重言式都为真。

 

黄汝广先生对谬误推论的分析是正确的,在命题逻辑中,【P→Q, ╞ Q】和 【P→Q, 乛Q  ╞ 乛P】这都是正确的推理,但,【P→Q, 乛P  ╞  Q】,【P→Q, 乛P  ╞ 乛 Q】,【P→Q, Q   ╞ P】,【P→Q, ╞  乛P】这都是谬误的推理,是错误的。

 

3,原文无内容。

4,集合论对命题逻辑的表述。

集合论是所有数学的基础,当然用集合论來研究命题逻辑是完全正确的。我们用U来表示我们研究的论域,用P(或Q,R等)表示U的子集,用P(x)表示x∈P,当x∈P时P(x)为真,当x∉P时P(x)为假。显然命题逻辑中的∧(与),R(x) = P(x)∧Q(x),就相当于集合的交R=P∩Q。命题逻辑中的∨(或),R(x)=P(x)∨Q(x),就相当于集合的并R=P∪Q。命题逻辑中的乛(非),R(x)=乛P(x),就相当于集合的补R=U-P。

那么蕴涵关系怎么表达呢?由于在命题逻辑中P→Q等价于乛P∨Q,所以P(x)→Q(x)等价于乛P(x)∨Q(x),因而命题逻辑中的→(蕴涵),R(x)=P(x)→Q(x)=乛P(x)∨Q(x),就相当于集合R=(U-P)∪Q。(注: 用其它䓁式算出的集合也都相同)。

值得注意的是在集合论里也是把全部使P(x)为假的点x(无论Q(x)的真假),都看作使P(x)→Q(x)为真。不过注意的是对部分x使P(x)→Q(x)为真,并不能断定命题逻辑中的P→Q为真。在命题逻辑中的P→Q,是说P→Q为真,是指对任何x∈U都有P(x)→Q(x),P→Q为假是指存在有x∈U使P(x)为真而p(x)为假。也就是命题逻辑中的P→Q为真,相当于(∀x∈U)(P(x)→Q(x)),这等价于P⊆Q。只有P⊆Q才能保证(∀x∈U)(P(x)→Q(x)),

设P是U的子集,如果P是全集,即P=U,显然集合P表示真命题丅,因为对论域中的任何x,ⅹ∈P,即x∈U,所以(∀x)P(x)。而如果P是空集P=∅,则P中没有元素∈U,P(x)永远为假,所以说空集是假命题F的代表。

我们把空集理解为没有元素的集合。所有的空集都相同,只有一个空集,它是所有集合的子集。空集是集合而不是真类。这一切都由集合论的空集存在公理和集合的外延公理或相应的集合论原则所决定。我们來看这两个公埋。这是《张锦文:公理集合论》中的表述。

Untitled-1.jpg

空集存在公理说「∃x乛(∃y(y∈x))」即「∃x∀y乛(y∈X)」即存在一个集合x,没有属于它的元素。这个没有元素的集合x就是空集∅。

外延公理说的是任何集合的相同是由其包含的元素是否相同所决定的,既然空集没有元素自然都是相同的。这里z∈x↔z∈y,用到了假言推理,即乛P→(P→Q)。因为z∈x和z∈y都是假命题。同理可证空集是任何集合的子集,即对任何集合P可严格证明∅⊆P。当然由于∅汲有元素,x∈∅是假命题,在证明x∈∅→x∈P时也要用到假言推理。

至于黄先生说到空集【其内涵即“不存在任何违反同一律的对象”】,似乎用到了一般的概括定义,应当不是集合而是类。我的理解是这个空集的解说只是一种解释,而不是空集的正式定义,空集的正式定义是公理所说,空集是没有元素的集合。不是概括定义中所说的滿足某种属性的元素组成的类。黄汝广先生说【从外延上看,空类即没有任何元素的类,似乎没有歧义,但从内涵上讲,却是有歧义的:由于任何一个具体矛盾都定义了一个空类,而不同矛盾的内涵是不同的(因为涉及的属性不同),那么,无穷多的矛盾就定义了无穷多内涵上不同的空类。然而,现代集合论却基于外延认为空类只有一个,这就把不同内涵的空类混而为一了,容易导致无意识中偷换概念的问题】。

我认为这是对数学抽象的一种误解。空集是集合论中的概念,说它的唯一性指的是集合论中的唯一性。不是应用的唯一,它可以在不同的应用领域中应用,当然不是仅仅只有一个。牛棚中没有牛了,这是牛的空集,羊栏中没有羊了,这是羊的空集,猪圈中没有猪了,这是猪的空集。从应用上这些具体的空集当然不同。但是在集合论中这些空集都是相同的,是唯一的。这就是数学的高度抽象性和广泛的应用性之所在。在应用中偷换概念这是应用的问题,不是集合论的问题。

 

黄先生说【在现代数理逻辑学中,“Ø╞ A”被解读为:A为真是无条件的,所以A是重言式;很显然,这里是从外延上,把Ø解读为了不需要任何条件。但从内涵上讲,Ø意味着矛盾,“Ø╞A”应解读为:A为真所需要的条件不可能满足,所以A是矛盾式。换句话说,矛盾最终必然推出矛盾。

这就是在空集的应用中出现的偷换概念。在∅╞ A中的这个∅是命题的空集,表示在推导出A时不需要任何命题,可见A是真的。而把空集解释为假命题,是在用P(x)为真的x的集合來表示命题P的真假分佈。显然当使P(x)为真的x的集合是空集∅时,对所有的x都有P(x)为假。可见P是一个恒假的命题。显然在∅╞ A中的空集是命题的空集,是推出A没有前提命题的意思,不是表示假命题F,说使此命题F(x)为真的ⅹ是空集的意思。这完全是应用的错误,不是集合论的空集的错误。

另外黄汝广先生由【基于外延关系将“P→Q”定义为“P⊂Q”,】推出了没有任何意义的【怪论】:【乛P→(P→Q)】定义为【乛P⊂(P⊂Q)】等,这是由于他对用集合论來理解命题逻辑时的错误认识而导致的。我们在前面讲过,命题逻辑中的→(蕴涵),R(x)=P(x)→Q(x)=乛P(x)∨Q(x),使R(x)=P(x)→Q(x)为真的x的集合是R=(U-P)∪Q。而不是黄先生所说的P⊂Q。要知道P⊂Q就不是集合而是一个命题。因而不能把【~P→(P→Q)】定义为【~P⊂(P⊂Q)】。我们知道,对任何x使R(x)=P(x)→Q(x)都为真的条件是,当且仅当P⊆Q。P⊆Q是个命题不是集合。因而同乛P→(P→Q)相当的集合是P∪(U-P)∪Q,可推出它是U,是全集,所以恒为真,是重言式。黄先生推出【怪论】,是理解错了,作出了错误的推论。

 

5,关于重言式的特性。

黄先生这点说的是对的,命题逻辑中的表达式,如P∧Q,P→Q等,它可真可假。要使它为真,必须要有前提。即如果有Σ,P╞ Q,才能有Σ╞ P→Q。

但是黄先生还需要认识到,有些表达式是恒真的,它并不需要前提条件,当Σ是空时,就可以推出,如╞ P∨乛P。这种重言式就可以根据真值表直接证明。例如P∨乛P无论P为真还是假,它都是真的,所以可证它是重言式。

重言式很多,如乛P→(P→Q),Q→(P→Q)就可用真值表证明它是重言式。进而不仅可证(P→Q)→(乛P∨Q丿是重言式,还可证(乛P∨G)→(P→Q)也是重言式。黄先生不承认后者,说【“~P∨Q”为真,“P→Q”却未必能构成有效推理】‘【“~P∨Q”为真是有效推理“P→Q”的充分条件,事实上根本不成立,】是完全错误的。

 

6,悖论中的逻辑推理是正确的。

关于悖论,我认为在业内已基本达成共识,那就是在关于背景知识的一定假定下(I),运用正确的逻辑推理(II),推出了一个自反的命题(III),所谓自反的命题是指:如果这个命题为真,可推出此命题为假,如果此命题为假,可推出此命题为真。这就是悖论的三要素: (Ⅰ) 有一定的假定, (Ⅱ)  正确的逻辑推理,(Ⅲ)推出自反的命题。

黄汝广先生说的悖论的【隐性假定】,说的是对的。但对悖论的逻辑推理的正确性这点关注不够,说【几乎一切所谓的悖论,都要么无意中偷换了概念,要么概念或方法的使用超出了适用范围,甚至于直接违反了基本定律而不自知。】这样的说法是不恰当的,如果逻辑有错所推出的悖论,业畀不承认它是真正的悖论。认为它是谬误。

说谎者悖论,是在背景知识中用到了这样两个假定,(1)句子是命题,可真可假。句子的真假可以肯定或否定句子的字面语义,最后确定句子的实际语义,而且这最后确定的实际语义可以决定某些句子的真假。(2)没有禁止所有语句可综合推出某句子既是真又是假的矛盾,

要消除说谎者悖论,并不需要改变假定(1),而是要改变(2),禁止所有语句综合形成矛盾。而这正是文兰先生所讲的,允许由(1)生成方程,但必须禁止此方程无解,含有矛盾。

在悖论中推出矛盾,是因为前面的假定有问题,并不是逻辑推论有错误,黄汝广先生所说的,认为推出了矛盾就【已经违反了逻辑学的基本定律,因而是不合法的。】认为这是逻辑推理的错误,是不对的。在逻辑推理中用推出矛盾來推出前题假定为假,这是正常的推理,认为推出矛盾,就不合法,就违背了同一律,是逻辑错误,这种看法并不正确。

 

6 ,不存在【蕴涵怪论】,对反证法沒有影响。

首先得说明,反证法根据的逻辑公式是(乛P→(R∧乛R))→P。即假定乛P能推出矛盾,则可证出P。也可以这么说,因为P→Q,乛Q P。这里的Q是R∧乛R,而此Q恒假。反证法一般并不是(乛P→P)→P,【乛P→P╞ P】。但是此式也是重言式,并沒有错。因为有乛P→乛P,因而由(乛P→P)可推出乛P→(P∧乛P),再根据反证法由矛盾(P∧乛P)就可推出P來。所以(乛P→P)→P是正确的重言式。不是计么【蕴涵怪论】。

所举的例子,定理(甲):若质数h能整除a·b,且不能整除a,则h必整除b。这个定理证明中并无不允许a=b的规定,因而在a=b时也是成立的。而证明定理(乙):若质数h能整除a2时,则h必整除a。把a2写成a·a,与(甲)相比较,可知:如h不能整除a(表示为乛P),则h必整除a(表示为P),这便是由~P而推出P,故P为真。定理得证。在这里就用到了【乛P→P╞ P】。证明沒有任何错误。

另处,黄先生说【笔者认为,一个标准的反证法模式应该是“~P∧E∧F→Q,~Q,所以P”;其中~P是假设,E是推理过程中用到的其他前提,~Q是一个与假设~P无关的独立事实】没有道理。特别在前提中引入F没有任何道理。

如果反证法的证明是在前提E下做出的,则应这样描述。

如果E,乛P╞ (Q∧(乛Q),则E╞ P。即所证明的是在假定前提E为真下,P为真。这也是没有任何问题的。

 

7,反证法中不允许有多余的隐含假定。

在反证法中是不允许在推理中用到有多余的隐含假定,正常的反证法是乛P→(Q∧乛Q) ╞ P。如果是有一个隐含假定R存在,则推理就变成(乛P∧R)→(Q∧乛Q)╞ 乛(乛P∧R)。即最后证明的不是P,而是P∨乛R。说结论是证明了P,显然是不对的。所以在反证法中是不允许有隐含假定的。

不过黄汝广先生质疑的Baker实数不可数证明的例子,指责的不对。详细查阅证明的细節可以看出,证明中由【S是可数的】假定推出【B可使极限c不属于S】的整个推理证明中,并没有用到S≠[0,1]。而是由【B可使极限c不属于S】可推出S≠[0,1],这同S=[0,1]发生了矛盾,从而反证法证明了【S不可数】。这里的推理中并沒有用隐含假定。

至于谈到潜无穷观不接受证明,完全可以不用谈,因为集合论是建立在实无穷观上的。持潜无穷观是不可能接受集合论的理论的,

 

8,只说对一半,另一半是错误的结论。

黄先生只说对了一半,在命题逻辑中,P,Q等是命题变量,它们的真假是由在应用领域的推理中,P和Q的内涵所决定的。在命题逻辑中,有些由P,Q组成的表达式,如P∧Q,P∨Q,P→Q,......等,可真可假。这些表达式的真假是由表达式中P,Q的真假所决定的,所以最终是由在应用领域的推理中,P,Q的内涵所决定的。

但这这只说对了一半。在命题逻辑中,有些表达式是恒真的,称为重言式,如PV乛P,乛(P∧乛P),P↔(乛乛P),......等。这些表达式的真假就同具体领域中P和Q的内涵,实际上无关,因为表达式的值都是真的。这些重言式为真,适合于任何一个应用领域的任何P,Q。命题逻辑是任何应用领域中逻辑推理的共同规律。这其中也有包含蕴涵关系的表达式,如(P→Q)↔(乛P∨Q),乛P→(P→Q),Q→(P→Q),...等。

黄汝广先生说【实质蕴涵的定义却只考虑命题的真值,其连接词“→”根本没有“推出”这一含义。可问题是,现代逻辑学偏偏又把实质蕴涵的所谓重言式都视为有效推理规则,这其实就把“推出”含义强加给了连接词“→”,本质上是偷换概念,从而导致诸多反直观的怪论,并且严重地侵蚀了数学反证法,造成极大的危害。

黄先生说的这段话,说明他对命题逻辑并未真正理解。在命题逻辑中,如果 Σ, P ╞ Q,则Σ╞ P→Q,以及P→Q ,P╞ Q,充分表明了连接词→和推出之间的正常关系。这里并无【強加】和【偷换概念】,也未产生任何【怪论】和【侵蚀了数学反证法,造成极大的危害

 

'参考文献

Zmn-0607黄汝广:有关蕴涵关系与反证法的探讨 

 



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