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Zmn-0612 薛问天:欧阳耿先生文章的问题在哪里,评欧阳耿先生《0592》

已有 346 次阅读 2021-8-1 17:53 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0612 薛问天:欧阳耿先生文章的问题在哪里,评欧阳耿先生《0592》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对欧阳耿先生的《0592》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】



 

欧阳耿先生文章的问题在哪里,

评欧阳耿先生《0592》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg欧阳耿先生文章的问题在哪里,我认为最重要的是他的论述全是泛泛空洞的议论,没有进行具体的论证,所叙述的概念不清晰,因而不知道他的意见究竟指的是什么。另外,从欧阳耿先生的文章可以看出,他对「悖论」缺乏具体和深入细緻的分析,对「悖论」概念的认识是错误的,对数学分析,极限理论,集合论等的一些数学基本知识,也有不少认识上的错误,对人类用有穷的逻辑推理來认知无穷对象的原理也缺气足够的正确认识。

他的标题是【现有传统无穷理论体系的缺陷所决定的“无穷悖论综合症”】,首先就需要搞清楚他说的【现有传统无穷理论体系的缺陷】指的是什么,和【无穷悖论综合症”】指的是什么,然后再看它们两者之间是否有【决定】性的关系。但是文中对此两个概念并没有讲清楚,所以不太了解欧阳耽先生的意见具体指的是什么。另外,【现有传统无穷理论体系】就不清楚是指的是【现有】的还是【传统】的。这两者当然不同。

 

一,欧阳耿先生所说的【基础理论缺陷】并不存在。他说不出这个【缺陷】指的是什么。

首先,我认为说无穷理论体系【以“实无穷、 潜无穷” 概念为基础】的说法就不正确。实无穷和潛无穷是学者对待无穷集合的两种不同的观点。在无穷理论体系的发展历史中,这两种观点曾有交替和反复,开始时趋向于实无穷观,后來发现不对又转向潜无穷观,最后又转向实无穷观。当然这是螺旋式的变化和上升,最后的实无穷观并不等同于前面的实无穷观。无穷理论体系的发展史中充满了这两种观点的相互交换和提升。可参考《Zmn-0606 薛问天: 区分两种实无穷观 (评论园地易177)》。

但是欧阳耿先生认为【基础理论缺陷】是【无法科学的解释这两个基本概念是什么 】。他说【人们既无法回避无时不在的“实无穷、 潜无穷” 基本概念、 也无法科学的解释这两个基本概念是什么、 在那六个领域的基础理论中扮演什么角色、 起什么作用、 如何表现; 更无法知道与“无穷” 概念密切相关的那六个领域基础理论之间必然存在的纽带关系。

要知道对这两种无穷观,早已在科学概念上解释清楚,而且在业界取得共识,认为要放棄潜无穷观,接受现代实无穷观。因而现有的数学理论都是建立在实无穷观的基础之上的。不持实无穷观,不承认无穷集合是确定的集合,就不可能接受集合论的基本理论。这已是众人皆知无可争辩的事实。现在的数学分析是建立在极限理论的基础之上的,所用的数系就是实数。而严格的实数理论必须以集合论作为基础。一一对应是集合论中建立集合基数的重要内容。而集合论又必须持有实无穷观。这才是这几个数学领域之间的正常关系。这里并不存在欧阳耿先生所说的【基础理论缺陷】。

欧阳耿先生所说的【不管是在现有经典数学分析或集合论中, 人们既可以用“潜无穷” 的思路去对“无穷事物” 进行定性或定量认 知、 操作, 也可以用“实无穷” 的思路去对“无穷事物” 进行定性或定量认知、 操作, 还可以用“‘潜无穷、 实无穷’ 混合” 的思路去对“无穷事物” 进行定性或定量认知、 操作。】 并不符合事实。

 

二,欧阳耿先生所说的【无穷悖论综合症】并不存在

欧阳耿先生的问题在于他并没有对这些悖论作具体的考察和分析,就空洞泛泛地说什么【悖论之间 的“三胞胎” 关系】和【无穷悖论综合症】等。欧阳耿先生说【正是现有传统无穷理论体系的“本体-形式” 缺陷决定了芝诺悖论、 贝克莱悖论和罗素悖论之间 的“三胞胎” 关系-----无穷悖论综合症。

要知道现在业界并不认为芝诺悖论和贝克莱悖论是「真正意义上的悖论」。大家都同意美国大哲学家蒯因(又译为奎因Quine,Willard Van Orman,1908-2000)的观点。即认为过去有些称为悖论的,现在看來并不是「真正意义上的悖论」。

所谓「悖论(paradox)」应是指有这样一个命题A,如果承认它是真的,在一定的背景知识的假定下,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。即A⇔乛A。

悖论的关键是背景知识的假定,而不是逻辑推理有错误。因而只要对背景知识假定作适当的修正和改变就可消除和解决相应的悖论。

那些由错误的逻辑推论所形成的矛盾,不能称之为「悖论」。郦因将这种所谓的悖论称之为「谬误悖论(falsidical paradox)」。其推理过程是有谬误的,但据此确立的命题不仅似乎是荒谬的,而且确实是错误的。所以不是真正的悖论。 如称为芝诺悖论的“阿基里斯追不上乌龟”和“飞矢不动”, 这些现在都可以用基本的数学解释,这是错误的命题。如果阿基里斯的速度为v1,烏龟的速度为v2,开始时烏龟的领先距离为S,则经过时间t=S/(v1-v2),阿基里斯就能赶上㐆龟。芝诺悖论所说的无穷个点,都是在阿基里斯赶上乌龟以前的点。当趕上后这些论断就都不适用了。因为这些谬误悖论是源于错误的思维方式和推理过程,所以它的结论命题是谬误的。“阿基里斯追不上乌龟”和“飞矢不动”,这是错误的命题,不是引起矛盾命题的悖论。

另外,贝克萊悖论所指的Δx=0和Δx≠0,是由于对导数的定义和无穷小的定义不清所导致的,正确的结论是导数是增量比Δy/Δx当Δx→0时的极限。是Δx的极限等于0,并不是Δx等于0。另外,函数2x+Δx的极限值等于函数值,也是由连续函数的性质决定的,这里求极限并不要求Δx=0,无Δx=0和Δx≠0矛盾。说它有矛盾是一种错误,所以贝克萊悖论也不是真正意义下的悖论。

早期也有些人把逻辑推出的有人觉得不合常理的命题,称为悖论。其实这种「不合常理」常常是正确的和真实的,只是当时有些人还设有认识到这些原理而已。这种也不是真正的悖论,蒯因称其为(veridical paradox),有人将其翻译为「真实性悖论」,意思是说这不是悖论,这是真实的事实。这种推理的结果有些人看起来觉得好像比较荒谬,但实际上是正确的。其推理过程和其结果都没有问题,不是真正的悖论。如希尔伯特旅馆悖论就不是悖论,它反映的是有穷和无穷的不同。再例如有些人把无穷集合能同它的真子集一一对应,看作是【集合论的悖论】或【一一对应悖论】,这都属于此类,不是悖论而是真实性的无穷集合的规律。

再例如调合级数的和等于无穷大,而有些人认为由趋近于0的通项构成的无穷级数的和竟是无穷大,是不合情理的,所以把调和级数也认为是「悖论」。其实这是错误的认识。调和级数的和是无穷大可以得到严格的极限理论的证明,是正确的定理,不是悖论。

关于悖论的定义,国内也有很多研究,同蒯因的观点基本上都是一致的。例如张建军先生同黄展骥先生合著的《矛盾与悖论新论(河北教育出版社1998年出版)》中,就对"悖论"给出了【三要素】的定义:【“公认正确的背景知识”,“严密无误的逻辑推导”和“能够建立矛盾等价式”构成悖论的“三要素”定义。】对此定义我基本上是同意的。不过我认为对第一点:【公认正确的背景知识】应作适当修正。因为出现悖论的背景知识并不一定是【公认正确】,而应改为:【有一定的知识背景的假定】才比较合适。对悖论的消解的基本方法正是改正这个知识背景的假定。这种假定是要改正的,不能认为这是【公认正确】(可参考《Zmn-009》)。

欧阳耿没有对这些悖论作具体的分析,把不是真正悖论的芝诺悖论,贝克萊悖论同真正意义下的悖论,如罗素悖论等混为一谈。空洞地泛泛地提出什么【三胞胎” 关系】和【无穷悖论综合症】,是完全沒有意义的。

 

三,欧阳耿先生对「悖论」的错误认识

1),欧阳耿先生没有对具体的悖论作具体深入的分析和研究,不了解什么是真正意义下的悖论,也不了解悖论的「三要素」,却把悖论描述成为,它表述【“既是自己-又不是自己“、 ”既是无穷-又不是无 穷“,“既是数-又不是数“】和【自我反驳现象】等。要知道他说的这些并不是悖论的共同的特征属性。不能作为悖论的定义或判定是否悖论的特征。就连他认为是悖论的芝诺悖论,贝克萊悖论,调和级数悖论都不具有这些特性。欧阳先生说【正是完全相同的这些概念混乱所导致的“自我反驳” 逻辑矛盾产生了芝诺悖论和贝克莱悖论, 决定了这三 个悖论的“三胞胎” 关系。】对于罗素悖论,如果把所有x∉x的元素构成的类看作是集合A,确实有A∈A和A∉A的逻辑矛盾。但是请问对于你说的芝诺悖论,贝克萊悖论,和调和级数悖论,哪里來的【自我反驳” 逻辑矛盾】?

2),另外我们知道悖论的产生,是由于关于背景知识的有些不当的假定所引起的,逻辑推理是正确的。但欧阳耿先生却认为悖论的产生原因是【我们知识体系中的某个层次、 范畴内的“概念-逻辑” 系统出现科学性缺失缺陷, 】是由于【科学性缺失缺陷导致了它们之间关系的混乱-----逻辑混乱。

我们认为只要对这些背景的假定作适当的改正和修改,悖论是可以消除的,而且这些已知的悖论都已被消除。但欧阳耿先生却认为悖论无法消除,【根本就不可能得到解决-----是不可解的!】而且现在还存在,还认为它们是【几千年來悬而未决】。

显然这种对悖论的认识是错误的。

由悖论的三要素可知,所有悖论都建立有一个「矛盾等价式」,即有一命题A,可用正规的逻辑推理,由A推出乛A,由乛A推出A。即A⇔乛A。欧阳耿也认识到这点,把它称为【自我反驳】,但不彻底,把没有这种【自我反驳】的有些命题也称为悖论。如芝诺悖论,贝克萊悖论,调和级数悖论等。

要知道悖论中推出A⇔乛A,是由于悖论有关于背景知识的某种假定,在这种假定不成立时,这个矛盾等价式是推不出來的。罗素悖论之所以在逻辑上推出A∈A⇔ A∉A,是由于假定概括定义的类是集合,假定类A={x丨x∉x}是集合。当在现代集合论和公理集合论中,引入了类的概念,对概括方式定义集合加以限制,限制真类不能作为集合的元素(即分离公理和正则公理)后。就推不出A∈A⇔A∉A來了,彻底消除了罗素悖论。

但是欧阳耿先生却认为【尽管许多“自我反驳悖论” 具有不同的表现形式、 存在于不同的科学领域中, 但是他们之间却关系密切、 都有着一个完全相同的产生原因: 基础理论中“抽象事物” 与“抽象事物的载体”(比如“潜无穷” 与“实无穷”、 “相对” 与“绝对”、“无限” 与“有限”、 ……) 混淆、 互相矛盾的致命缺陷所导致的“自我反驳机制”, 这是几千年来悬而未决的“无穷悖论综合症” 的真正根源, 是“自我反驳机制” 导致了与“无穷” 概念相关的现有数学分析与集合论中存在性质完全相同的、 不可解的悖论现象。

显然这些论断都是毫无根据,不符合事实的错误的论断。欧阳耿先生的问题是他不具体论述,只是抽象地空洞地泛泛地议论,而不具体谈,具体分析。从來不敢具体联系实际的悖论。你说罗素悖论还是【悬而未决】,你能在现代集合论中具体地推出罗素悖论吗?还能推出【A∈A⇔A∉A】吗?还能推出【自我反驳机制】吗?

 

四,对数学理论微积分和集合论的错误认识。

从欧阳耿先生的文中,可以看出他对数学理论中许多概念的认识是错误的。可能这同他没有经过严格的数学训练有关。

1),对极限的错误认识。

他说【...在以“潜无穷--实无穷” 概念为基础的现有经典数学理论体系中, 人们根本就不可能清楚、 科学的认识与无穷概念相关的“是数-非数” 数量形式( 比如微积分中“变量 dx-->0” 和调和级数中的 “Un -->0” 这类与无穷相关的微小数量形式)。 所以, 在对现有经典数学分析中这些“与无穷相关的不知是什么的微小数量形式”进行实际定量认知的过程中, 人们既可以突然间对“无穷小数量形式” 喊声“令” 或“取极限” 或“取标准数” 而轻松自如地制造贝克莱悖论家族的成员, 也可以永远不对“无穷小数量形式” 喊“令” 或“取极限” 或“取标准数” 而轻松自如地制造芝诺悖论家族的成员, 更荒唐的是居然还可以在“无穷小数量 形式” 一现身时就喊“令” 或“取极限”, 所以任何运算都不用开展, 也不会有“数学分析” 这个重要的数学分支。 完全凭感觉、 凭心情、 凭好恶、 ……。

在引入了极限概念以后,微积分理论把无穷小量定义为极限等于0的变量,这在概念上已经相当清楚,而欧阳耿先生却认为对无穷小这样的概念【人们根本就不可能清楚、 科学的认识】。把无穷小这个变量认为是【是数-非数” 数量形式】和【与无穷相关的不知是什么的微小数量形式” 】。要知道在微积分中引入「变量」,这是数学史上的一大进步,而欧阳耿却批评它【是数非数】和【不知是什么】。这显然是对无穷小量的错误认识。无穷小是以0为极限的变量,它当然不是常数,你又怎么能说【是数非数】和【不知是计么】呢?更为甚者的是对极限的看法。极限是这个变量的属性,无论何时,这个变量都有极限为0这个属性。但欧阳耽先生却认为【人们既可以突然间对“无穷小数量形式” 喊声“令” 或“取极 限” 或“取标准数”,...也可以永远不对“无穷小数量形式” 喊“令” 或“取极限” 或“取标准数” ...。】这是完全错误的理解。以0为极限这是无穷小变量的固有属性,不是由人们來喊命令所决定的。所以用这样错误的理解极限,來说数学理论是【完全凭感觉、 凭心情、 凭好恶、...】就是错误的评论。

 

2),对集合论的错误认识。

欧阳耿先生文中,用非常空洞的语言,对现有的集合论作了一些泛泛地错误的评论。他说了这样的话。【现有无穷集合论中也存在着一种“不是彻头彻尾的无穷的、 既非无穷又非有穷的、 理论上是无穷而实际操作上不是无穷的”怪物-----与无穷概念相关的很大(多) 的数量形式、 超穷数、 无穷集合......它们是一些“现实的、 完成了的、 存在的”, 戴着“无穷大”、“无穷多” 桂冠的介于有穷与无穷之间的数学内容。 而现有的无穷理论体 系不允许这样一种“亦此亦彼” 的中间物的存在, 这导致现有集合论中的定量认知行为准则和操作技术的基础 理论既空洞又混乱。 】

在集合论中有穷集合同无穷集合在概念上是分得相当清楚的。有穷集合是同某自然数代表的集合一一对应的集合。而无穷集合則是那些集合,它们是非有穷集合。把无穷集合看作是【既非无穷又非有穷的、 理论上是无穷而实际操作上不是无穷的” 怪物】,显然是对集合论的错误认识。

无穷集合用有穷的步骤來看,当然是【含有“取之不尽、 没完没了” 的元素】,它不可能同任何有穷集一一对应。但是用实无穷观点來看,承认无穷集合【是种“现实的、 完成了的、 存在的” 整体,】是确定的集合。这是正确理解集合论的最基本的观点。

超穷序数和超穷基数是衡量无穷良序集的序型和无穷集的基数的重要数系。任何无穷良序集都有它唯一确定的超穷序数,任何无穷集都有唯一确定的基数。这些都有严格的数学论证。欧阳耿先生认为是【非常自由的、 飘忽不定的神秘物】,而且把有些子集与母集等势, 比如有理数集与自然数集等势,有些子集与母集不等势, 比如实数集不可数,的这些亊实,看作是人们【强加给它】的,是【随心所欲】。欧阳耿先生的这些论断,没有提出任何证据和推论。这种轻率随意,不负责任的评论是完全错误的。

读欧阳耿先生的文章,大家会发现他总是在空洞地泛泛地议论,而不谈具体的数学内容。谈悖论不谈具体的悖论,谈无穷集合就是不谈具体的无穷集合。一旦联系到具体的数学内容,就会发现其中有很多他的认识错误。我怀疑欧阳耿先生是否对这些数学的基本内容,根本就没有学懂。我们举个例子,如他说的这段话。【比如说, 当有人问无穷集合中所含的元素“究竟有多少”、 是否“无穷无尽、 没完没了、 取之不尽” ? 回答将会是:“它们是取之不尽(许多无穷集合中含有相同数量的元素(基数相等), 保证一 一对应操作的双射, 比如存在许多可数集合), 某时它们是取之有尽(许多无穷集合含有不同数量的元素(基数不相等), 保证一 一对应操作不可能双射, 比如存在许多不可数集合)”。

他怎么把【取之不尽】等同于【许多无穷集合中含有相同数量的元素(基数相等)】,把【取之有尽】等同于【许多无穷集合含有不同数量的元素(基数不相等)】。用【取之不尽】和【取之有尽】來理解基数的相等和不等,这显然是对基数的错误理解。两个无穷集合的基数是否相等,这是确定的概念,不可能【有时】相等,【有时】不相等。另外我们知道两个集合一一对应就是它们之间存在双射。可欧阳耿先生却把非一一对应的基数不等说成是【保证一 一对应操作不可能双射。】可见欧阳耿先生根本就没有学懂什么是一一对应,什么是双射。

这样的例子太多了,就不一一列举和评论了。从欧阳耿先生的文中,可以看出他对数学理论中许多概念的认识是错误的。




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