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Zmn-0596 薛问天：正确理解集合论对函数关系的解释。评师教民先生的《0585》
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Zmn-0596 薛问天：正确理解集合论对函数关系的解释。评师教民先生的《0585》
【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生的《0585》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
正确理解集合论对函数关系的解释。
评师教民先生的《0585》
薛问天
一，师先生对于复合函数的【函数关系】和【定义域】的认识错误。
我早在《0555》就说清楚了，〖这样的错误，根本不需要讲什么理由，一查便知。查查正确答案，就可以判定它的错误。
复合函数的函数关系是 f·g，说成是【该函数的函数关系是 f】，就是错误的。复合函数的定义域是Dg，说成是【定义域为 x=g (y)】，就是错误的。〗
师教民先生在口头上不承认他的观点有错。但实际上终于親自说出，
⑴【函数 f 和复合函数 f·g 由于函数关系不同，所以认为 复合函数的对应法则是 f 就错了．】(0573,5,3),②)，
⑵【我〖始终认为【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】 是错误的〗 】(0585,1,2),③)。
无须争辩，这都是你親口说出的话，说明你已经承认了这些话的内容和结论，这些结论符合一查便知的「正确答案」，是正确的。
师先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。既然认为【该函数】同复合函数是【同一函数】，【该函数】就是复合函数。那么认为 复合函数的对应法则是 f 就错了．而认为【该函数的函数关系是f】能不错吗？既然【该函数】就是复合函数，认为把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域是错误的，难道【该函数的定义域是函数x=g(y)】这样的断言还不错吗？真不知师先生用的是什么逻辑？
这已经是不需要再讨论的问题了，是对是错一清二楚。不要拿这个问题以外的事來转移目标。
另外师先生错误地认为同一个函数可以函数关系不同。他认为「同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的」的论断是错误的。他说【理由为： 函数 y=|x|和 函数 y =√(x2) 是同一个函数，但 y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系不同．】师先生所讲的这个理由是完全错误的，因为y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同，说其【函数关系不同】根本就是错误的。
师先生认为：「同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的」的说法是错误的【是有严重问题的】，不是函数的二要素。并说它是函数的二要素 【当然错误】。
其实这就是函数二要素原理的基本内容。教科书中说道「构成函数的要素是： 定义域 Df 及对应法则 f． 如果两个函数的定义域相同， 而且对应法则也相同， 那么这两个函数就是相同的， 否则就是不同的． 」已经说得很清楚，并不是【画蛇添足】。同一个函数当然其函数关系是相同的，定义域是相同的。师先生认为这不是二要素原则的看法当然是错误的。书中说的「否则就是不同」当然指的是函数不同。即「如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同， 那么这两个函数就不是同一个函数」，这是千真万确的。师先生的错误关键是，y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同，而师先生说其不同是错误的。h是复合函数的记号，h的函数关系就是f·g，当然完全相同，说其不同也是不对的。师先生所依据的根据是错误的，因而得出错误的结论。
函数f是构成复合函数的两个函数之一，用f來表示复合函数显然是错误的。而师先生却说【我已说明“我用 f 来作为复合函数的记号”不违反「表示 函数的记号是可以任意选取的」 规定， 因此正确．】要知道教材中在说「表示 函数的记号是可以任意选取的」的同时，还说了「讨论到几个不同的函数时， 为了表示区别， 需用不同的记号表示它们． 」既然复合函数和f是不同的函数，就不能用相同的记号，「需用不同的记号表示它们」。
师先生说【我的函数 y=f (x)[定义域为 x=g(y)]和 y=f (x) ( x∈R )虽然都是 f 函数而相同，但是定义域的不同却明显地区别了它们， 故不需要薛问天先生说的「为了表示区别， 需用不同的记号表示它们」，】
师先生认为复合函数同构成它的函数之一的f函数是相同的，只是定义域不同，说【...都是 f 函数而相同，但是定义域的不同却明显地区别了它们...】。这种观点是完全错误的。复合函数同构成它的函数之一的f，不仅定义域而且函数关系都是不相同的。师先生所说的【以函数x=g(y)为定义域】，实际上是错误的，函数x=g(y)在复合函数中不是承担定义域的作用，而是作为函数关系f·g，即复合映射其中之一的的首先映射的作用。
把复合函数看作是函数关系是f，定义域是函数x=g(y)的观点是错误的。复合函数的函数关系是f·g，定义域是Dg。这是复合函数的定义中规定的一清二楚的。函数不能作为另一个函数定义域，是因为函数本身不是对某变量变化范围的规定。函数不仅有它自已的定义域和值域，还是两个变量之间的映射关系。在正反函数的复合函数构成中，己经要求函数y=f(x)的定义域是x=g(y)的值域，即Df=Ug。什么是函数的定义域，就是规定函数自变量的变化范围。要知道复合函数并不是函数y=f(x)限制一下它的自变量x的变化范围就能得到。用改变函数y=f(x)的定义域，是不可能得到复合函数的。说函数f和复合函数的不同只是【定义域的不同却明显地区别了它们】，是完全错误的。要知道，复合函数是由f和g形成复合映射f·g， 以此复合映射作为函数关系，以Dg为定义域构成的函数。我想师先生对此应是一清二楚，但为了为他的错误辩解，有意在此把水搅浑。
二，正确理解集合论对函数关系的解释。
集合论是所有数学的基础。集合论对函数的解释，我在前面《0577》已作过筒要的介绍。「函数关系」在集合论中等同于「映射」。而「映射」定义为满足单值条件的「关系」，而「关系」定义为集合X同集合Y的笛卡尔乘积XxY的子集。
我当时是这么说的，〖函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是什么，是否相同，非常清楚。函数的定义域是全体实数R，值域是大于等于0的实数R+。它们的函数关系是R+xR笛卡尔乘积下的如下〈y,x〉的集合，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x。也就是说，这两个函数的函数关系，即R+xR笛卡尔乘积下的子集合，是完全相同的。说它们不同及用此來证明「函数二要素原理」有错，是完全错误。〗
由于写得简单，师先生不完全理解。我说的〖它们的函数关系是R+xR笛卡尔乘积下的如下〈y,x〉的集合，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x。〗指的是集合 :
A={ ＜y,x＞丨y∈R+,x∈R，当ⅹ≥0时，y=x，当x＜0时，y=-x。}
这个集合A是R+xR笛卡尔乘积的子集合，函数 y=|x|和 y= √(x2)当且仅当＜y,x＞∈A。由于函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系都是A，这个子集是相同的。即
A={＜y,x＞丨y∈R+,x∈R，y=|x|}
={＜y,x＞丨y∈R+,x∈R，y=√(x2)}。
所以它们的函数关系是相同的。
由于师先生可能过去对此了解甚少，从而提出了一些奇特的质疑。例如，y=sin(x)的函数关系是集合
{＜y,x＞丨y∈[-1,1],x∈(-∞,+∞),y=sin(x)｝，
y=cos(x)的函数关系是集合
{＜y,x＞丨y∈[-1,1],x∈(-∞,+∞),y=cos(x)｝，
这两个集合是不同的集合，当然函数sin(x)和cos(x)是不同的函数。至于不同函数在个别点上函数值相同，这也非常正常。作为函数关系的集合，不同集合也可能有非空的交集，但仍是不同的集合。对这点要有正确的认识。
师先生的错误很多，我们要抓往要害进行评论。他现在的主要错误是【认为复合函数是以x=g(y)为定义域的函数f】，这里错误的要点就是复合函数的函数关系是f·g，而他认为是f。复合函数的定义域是Dg，而他认为是函数x=g(y)。
再一个错误就是认为同一个函数可以有不同的函数关系。他举的例子，认为函数 y=|x|和 y= √(x2)是同一函数，但它们的函数关系不同。这个认识是根本错误的。函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是完全相同的。用集合论的语言来讲，都是集合A，完全相同。
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