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Zmn-0596 薛问天:正确理解集合论对函数关系的解释。评师教民先生的《0585》

已有 436 次阅读 2021-7-16 21:05 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0596 薛问天:正确理解集合论对函数关系的解释。评师教民先生的《0585》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对师教民先生的《0585》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

正确理解集合论对函数关系的解释。

评师教民先生的《0585》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg一,师先生于复合函数的【函数关系】和【定义域】的认识错误。

我早在《0555》就说清楚了,〖这样的错误,根本不需要讲什么理由,一查便知。查查正确答案,就可以判定它的错误。

复合函数的函数关系是 f·g,说成是【该函数的函数关系是 f】,就是错误的。复合函数的定义域是Dg,说成是【定义域为 x=g (y)】,就是错误的。〗

师教民先生在口头上不承认他的观点有错。但实际上终于親自说出,

⑴【函数 f 和复合函数 f·g 由于函数关系不同,所以认为 复合函数的对应法则是 f 就错了.】(0573,5,3),②),

⑵【我〖始终认为【把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域】 是错误的〗 】(0585,1,2),③)。

无须争辩,这都是你親口说出的话,说明你已经承认了这些话的内容和结论,这些结论符合一查便知的「正确答案」,是正确的。

师先生的关键错误是把复合函数看作是【以ⅹ=g(y)为定义域的f函数】。既然认为【该函数】同复合函数是【同一函数】,【该函数】就是复合函数。那么认为 复合函数的对应法则是 f 就错了.而认为【该函数的函数关系是f】能不错吗?既然【该函数】就是复合函数,认为把函数 x=g(y)作为复合函数的定义域是错误的,难道【该函数的定义域是函数x=g(y)】这样的断言还不错吗?真不知师先生用的是什么逻辑?

这已经是不需要再讨论的问题了,是对是错一清二楚。不要拿这个问题以外的事來转移目标。

 

另外师先生错误地认为同一个函数可以函数关系不同。他认为「同一个函数当然其函数关系是相同的,定义域是相同的」的论断是错误的。他说【理由为: 函数 y=|x|和 函数 y =√(x2) 是同一个函数,但 y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系不同.师先生所讲的这个理由是完全错误的,因为y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同,说其【函数关系不同】根本就是错误的。

师先生认为:「同一个函数当然其函数关系是相同的,定义域是相同的」的说法是错误的【是有严重问题的】,不是函数的二要素。并说它是函数的二要素 【当然错误】。

其实这就是函数二要素原理的基本内容。教科书中说道「构成函数的要素是: 定义域 Df 及对应法则 f. 如果两个函数的定义域相同, 而且对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 」已经说得很清楚,并不是【画蛇添足】。同一个函数当然其函数关系是相同的,定义域是相同的。师先生认为这不是二要素原则的看法当然是错误的。书中说的「否则就是不同」当然指的是函数不同。即「如果两个函数的定义域不同或者对应法则不同, 那么这两个函数就不是同一个函数」,这是千真万确的。师先生的错误关键是,y=|x| 和 y = √(x2) 的函数关系完全相同,而师先生说其不同是错误的。h是复合函数的记号,h的函数关系就是f·g,当然完全相同,说其不同也是不对的。师先生所依据的根据是错误的,因而得出错误的结论。

 

函数f是构成复合函数的两个函数之一,用f來表示复合函数显然是错误的。而师先生却说【我已说明“我用 f 来作为复合函数的记号”不违反「表示 函数的记号是可以任意选取的」 规定, 因此正确.】要知道教材中在说「表示 函数的记号是可以任意选取的」的同时,还说了「讨论到几个不同的函数时, 为了表示区别, 需用不同的记号表示它们. 」既然复合函数和f是不同的函数,就不能用相同的记号,「需用不同的记号表示它们」

师先生说【我的函数 y=f (x)[定义域为 x=g(y)]和 y=f (x) ( xR )虽然都是 f 函数而相同,但是定义域的不同却明显地区别了它们, 故不需要薛问天先生说的「为了表示区别, 需用不同的记号表示它们」,

师先生认为复合函数同构成它的函数之一的f函数是相同的,只是定义域不同,说【...都是 f 函数而相同,但是定义域的不同却明显地区别了它们...】。这种观点是完全错误的。复合函数同构成它的函数之一的f,不仅定义域而且函数关系都是不相同的。师先生所说的【以函数x=g(y)为定义域】,实际上是错误的,函数x=g(y)在复合函数中不是承担定义域的作用,而是作为函数关系f·g,即复合映射其中之一的的首先映射的作用。

把复合函数看作是函数关系是f,定义域是函数x=g(y)的观点是错误的。复合函数的函数关系是f·g,定义域是Dg。这是复合函数的定义中规定的一清二楚的。函数不能作为另一个函数定义域,是因为函数本身不是对某变量变化范围的规定。函数不仅有它自已的定义域和值域,还是两个变量之间的映射关系。在正反函数的复合函数构成中,己经要求函数y=f(x)的定义域是x=g(y)的值域,即Df=Ug。什么是函数的定义域,就是规定函数自变量的变化范围。要知道复合函数并不是函数y=f(x)限制一下它的自变量x的变化范围就能得到。用改变函数y=f(x)的定义域,是不可能得到复合函数的。说函数f和复合函数的不同只是【定义域的不同却明显地区别了它们】,是完全错误的。要知道,复合函数是由f和g形成复合映射f·g, 以此复合映射作为函数关系,以Dg为定义域构成的函数。我想师先生对此应是一清二楚,但为了为他的错误辩解,有意在此把水搅浑。

 

二,正确理解集合论对函数关系的解释

集合论是所有数学的基础。集合论对函数的解释,我在前面《0577》已作过筒要的介绍。「函数关系」在集合论中等同于「映射」。而「映射」定义为满足单值条件的「关系」,而「关系」定义为集合X同集合Y的笛卡尔乘积XxY的子集。

我当时是这么说的,〖函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是什么,是否相同,非常清楚。函数的定义域是全体实数R,值域是大于等于0的实数R+。它们的函数关系是R+xR笛卡尔乘积下的如下〈y,x〉的集合,当ⅹ≥0时,y=x,当x<0时,y=-x。也就是说,这两个函数的函数关系,即R+xR笛卡尔乘积下的子集合,是完全相同的。说它们不同及用此來证明「函数二要素原理」有错,是完全错误。〗

由于写得简单,师先生不完全理解。我说的〖它们的函数关系是R+xR笛卡尔乘积下的如下〈y,x〉的集合,当ⅹ≥0时,y=x,当x<0时,y=-x。〗指的是集合 :

A={ <y,x>丨y∈R+,x∈R,当ⅹ≥0时,y=x,当x<0时,y=-x。}

这个集合A是R+xR笛卡尔乘积的子集合,函数 y=|x|和 y= √(x2)当且仅当<y,x>∈A。由于函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系都是A,这个子集是相同的。即

A={<y,x>丨y∈R+,x∈R,y=|x|}

={<y,x>丨y∈R+,x∈R,y=√(x2)}。

所以它们的函数关系是相同的。

由于师先生可能过去对此了解甚少,从而提出了一些奇特的质疑。例如,y=sin(x)的函数关系是集合

{<y,x>丨y∈[-1,1],x∈(-∞,+∞),y=sin(x)},

y=cos(x)的函数关系是集合

{<y,x>丨y∈[-1,1],x∈(-∞,+∞),y=cos(x)},

这两个集合是不同的集合,当然函数sin(x)和cos(x)是不同的函数。至于不同函数在个别点上函数值相同,这也非常正常。作为函数关系的集合,不同集合也可能有非空的交集,但仍是不同的集合。对这点要有正确的认识。

师先生的错误很多,我们要抓往要害进行评论。他现在的主要错误是【认为复合函数是以x=g(y)为定义域的函数f】,这里错误的要点就是复合函数的函数关系是f·g,而他认为是f。复合函数的定义域是Dg,而他认为是函数x=g(y)。

再一个错误就是认为同一个函数可以有不同的函数关系。他举的例子,认为函数 y=|x|和 y= √(x2)是同一函数,但它们的函数关系不同。这个认识是根本错误的。函数 y=|x|和 y= √(x2)的函数关系是完全相同的。用集合论的语言来讲,都是集合A,完全相同。




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