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Zmn-0576 李振华:无限集的几何基数,算术基数。自然数集的基数大于[0,1]的?重磅

已有 1007 次阅读 2021-6-13 08:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0576 李振华:无限集的几何基数,算术基数。自然数集的基数大于[0,1]的?重磅

【编者按。下面是李振华先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

无限集的几何基数,算术基数。

自然数集的基数大于[0,1]的?重磅

李振华

 

我们今天来推广基数的观念,并由此得出一些令人吃惊的结论。讨论会在广义集合论的框架下进行。读者最好先理解我以前讲的内容。

就像标题所看到的那样,自然数集的基数大于[0,1]的,这具有颠覆性,但这却是严密定义和推理的结果。下面我们就来看看这到底是这么一回事。

基本定义:

a:x元素a的重数是x。

A+B:{1,2,3,4}+{3,4,5,6}=(1,2,3,3,4,4,5,6}

A*B={x+y|x属于A,y属于B}。A*B={x+y:A(x)*B(y)|x:A(x)属于A,y:B(y)属于B}

减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。

自然数集合定义:n={0:n}。

基数对应公理:集合的运算对应基数的运算。

先谈谈集合运算的情况。

集合和数一样,0={}和1={0}都是单位元。

就目前我的经验来说,集合的运算,还没有发现交换律和分配律不成立的情况,而结合律有可能不成立,如果结合律总是成立就会把一些集合排除在外(当然,这些集合是非常规的)、之所以会出现这样的情况,就在于乘法逆元不唯一,逆元可能有无穷多个,这是由集合和无限的特性所决定的,集合世界就是这样无限复杂充满不确定性,数中逆元唯一是因为系统太简单。在集合运算中,消去律不一定成立,除以一个数也并不总是等于乘以这个数的倒数。下面我们来看看一些具体的例子。

考虑整数集,这是一个双向均匀离散无限集合,这些特点使它乘以{-n},{n}会保持不动,乘以{0,1:-1}会成为空集,{0,1:-1}是{0,1,2,3,4,....}的倒数,而整数集除以{0,1,2,3,4,....}并不是空集,而是一个非常规集合。如果读者有兴趣,可以试求这个非常规集?不存在也许更自然。

无限集合的几何基数和算术基数。

我们要把欧拉《无穷小分析引论》中关于无限的观点引入到比较无限集大小之中,不是我们崇拜欧拉,而是因为欧拉本身的观点就很有价值,集合理论的发展要求我们必须这样做。

康托基于一一对应的观念,定义了超限基数和超限序数,描绘了一幅无限王国的图景。在广义集合论中,我们会基于集合的运算,引入几何基数和算术基数,这描绘了无限王国的另一幅图景。如果说康托的集合论是逻辑主义的,那么,广义集合论是代数主义的。

下面开始定义这两个基数:

|A|,|B|>0

集合A,B,如果|A/B|=1,称A和B的几何基数相等。如果|A/B|>1,称A的几何基数大于B的,如果|A/B|<1,称A的几何基数小于B的。

集合A,B,如果|A-B|=0,称A和B的算术基数相等。如果|A-B|>0,称A的算术基数大于B的,如果|A-B|<0,称A的算术基数小于B的。

对几何基数来说,2*无限>无限,无限+1=无限,而对算术基数来说,2*无限>无限,无限+1>无限。算术基数是最彻底的整体大于部分。通常我们还认为,如果A的几何基数大于B,那么A的算术基数一定比B多出无穷多个元素。下面来看看例子:

{1,2,3,...}/{0,1,2,3,...}={1}。{0,1,2,3,...}/{1,2,3,...}={-1}。几何基数相等。

{1,2,3,...}-{0,1,2,3,...}=-1。{0,1,2,3,...}-{1,2,3,...}=1。算术基数不相等。

{1,2,3,...}/{2,4,6,...}={0,-1}。{1,2,3,...}-{2,4,6,...}={1,3,5,...}。这就是说,无论是几何层面还是算术层面,正整数集都大于正偶数集合。

无限集合也具有整体大于部分的性质,如何比较无限集的大小?这里给出了完美的答案,它甚至不要求一个集合是另一个集合的真子集。

无限-无限在广义集合中的表现。

考虑集合{0,1,2,3,...n,...},减去自己基数是0,减去右移1个单位的自己,基数是1,减去右移1/2个单位的自己,基数是1/2。{0,1,2,3,...}-{0.5,1.5,2.5,....}=1/{0,0.5}。右移的长度和操作之后集合的基数息息相关。我们大胆推测,集合减去右移x个单位的自己,基数是x。事实也确实如此。|{0,1,2,3,....}-{x,x+1,x+2,.....}|=x。

在这些集合中,我们不能用一一对应比较它们的基数,但是我们都能比较它们的基数。一一对应有它的适用范围,统治这里的是集合的运算而不是一一对应。

求集合方程X*{0,1,2,3,...,n)={0,1,2,3,...,n-1}的解。

经计算,得X={0,n+1,2n+2,3n+3,....}-{n,2n+1,3n+2,.....}。|{0,n+1,2n+2,3n+3,....}-{n,2n+1,3n+2,.....}|=n/(n+1)。

对于区间[0,x),[0,y),有|[0,x)/[0,y)|=x/y。我们的直觉不就是这样认为的吗?线段越长,点数就越多,为什么要认为这是错误的呢,为什么一定要反直觉呢?只是标准不同罢了。在广义集合伦中,我们证明了这个直觉。

求集合方程。X*[0,1)=[0,2)。解得X={0,1}。

设|A|=3,|B|=4,B*[0,3/4)=A*[0,1),求A,B。

[0,3/4)/[0,1)={0,1,2,3,4,....}-{3/4,3/4+1,3/4+2,3/4+3,....}={0,1/4,1/2}/{0,1/4,1/2,3/4}

A={0,1/4,1/2},B={0,1/4,1/2,3/4}。

好了,上面就是我所展示的一些有趣结果。

接下来,我们来处理标题提到的那个反直觉的惊人结论。

我们来比较[0,1]和{0,1,2,3,4,....}的几何基数。你猜猜结果会是什么?在一一对应的熏陶之中,你理所当然地认为结果应该是无限大,因为[0,1]的基数不可数比{0,1,2,3,...}可数多得多。事实呢?

[0,1]/{0,1,2,3,....}=[0,1]*{0,1:-1}=[0,1)-(1,2]。[0,1)对称于(1,2],根据对称性,直觉上[0,1)-(1,2]的基数应该是0。但这不严密,最好的办法是找个无限集合A,证明|([0,1)-(1,2])*A|的基数为0,从而[0,1)-(1,2]的基数必定为0。A是存在的。

这说明,[0,1]和自然数集相比是无穷小,无论是几何基数还是算术基数,自然数集都大于[0,1]。由于[0,1]的长度是1,那么自然数集合的长度必定是无限大。

[0,1]虽然连续但有界,{0,1,2,3,....}虽然不连续但无界。无界的离散无限远远强于有界的连续无限,

 



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