Zmn-0570 薛问天：【重数和】不相等, 是失败的推广，评李振华先生的《0568》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李振华先生的《0568》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

【重数和】不相等, 是失败的推广，

评李振华先生的《0568》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李振华先生称带有实数重数的集合为【广义集合】。在他最近的文章《0568》中对【广义集合】间的一一对应作了推广，并提出了【广义集合】的【基数】概念。可惜，这样的推广是失败的，这样定义的【基数】，不确定，不能作为基数。当然，我指的是无穷集合 ，有无穷多个重数的情况。对于有穷集合，重数有穷时，还是可以的。下面我们來具体分析。

李先生说【在经典理论中，是一个元素和一个元素配对，在广义一一对应中，只要两项元素的重数相等，它们就可以配对，更一般地，我们允许多项元素和多项元素配对，只要它们的重数和相等就可以了。】

也就是说李先生把以实数作重数的集合的一一对应，定义为【重数和相等】。把基数定义为【重数和】。

显然如果【重数和】是有限个实数的相加。它是一个确定的实数，这没有任何问题。但是对于无限集，如果【重数和】是无限多个实数相加，情况就复杂很多。

我们唯一想到的是在极限理论中有无穷级数，是无穷个项的和。设有一实数的无穷序列b1,b2,b3,...，它的和是无穷级数S=b1+b2+b3+...它的和等于部分和的极限，即S=lim_n→∞Sn，其中Sn=b1+b2+...+bn。如果n→∞时这个极限存在，是个确定的实数b或+∞，-∞，显然这个 b或+∞，-∞就是这个无穷级数的和。

显然如果理想的话，李先生的以实数数为重数的集合是无限集合{a1:b1,a2:b2,a3:b3,...} ，则它的推广的【基数】就等于此无穷级数的和。似乎很合理很得当。

但是这是不行的。原因很多，我们來具体分析。

第一，无穷级数，序列的元素是可数无穷的。因而对于基数大于可数无穷的集合，不适用。因为如果重数的集合是大于可数无穷的，是不可数的，则不知它们的【重数和】如何相加。

第二，这个极限可能不存在，有可能趋近于+∞，或趋近于-∞，甚至不收敛，此时该如何处理。

第三，最为严重的是，一般的集合是无序的。但无穷级数是有序的无穷序列的求和。当这种顺序改变时，无穷级数的和是不同的可能改变，例如一个有无穷个重数的集合中，重数由无穷个+1和无穷个-1组成。 当你安排+1-1+1-1+1-1...时无穷级数的和在0和1间变化不收敛没有极限，但当你安排顺序两个+1一个-1时，是1+1-1+1+1-1...则极限是+∞。当你安排顺序一个+1两个-1时，是1-1-1+1-1-1...则极限是-∞。所以说【重数和】根本就不相等。也就是说由于一般的集合是无序的集合，如果任意规定顺序所求的无穷级数，所求的【重数和】完全可能是不相等的。因而说李先生把以实数作重数的集合的一一对应，定义为【重数和相等】。把基数定义为【重数和】。这样的推广是完全失败的。因为按照这样的定义，没有对任何以实数为重数的集合给出唯一确定的【基数】。

最简单的例子是求广义空集｛｝的推广基数。我们知道广义空集｛｝等于A={a1:0,a2:0,a3:0,......｝，它的推广基数=【重数和】=0+0+0+......=0 。

但是根据推广的一一对应，广义空集A一一对应于集合B={a1⁺,a1^-:-1,a2⁺,a2^-:-1,a3⁺,a3^-:-1,......}，因为知对任何n，有an:0⇔{an⁺,an^-:-1｝所以A⇔B。

但是B是我们前面讲的，无穷个重数是由无穷个+1和无穷个-1组成的广义集合。它的【重数和】不确定，求法不同，【重数和】可以是+∞,-∞，也可以不收敛，并不等于0。没有确定的推广基数。

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