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Zmn-0570 薛问天:【重数和】不相等, 是失败的推广,评李振华先生的《0568》。

已有 535 次阅读 2021-6-5 22:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0570 薛问天:【重数和】不相等, 是失败的推广,评李振华先生的《0568》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对李振华先生的《0568》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

【重数和】不相等, 是失败的推广,

评李振华先生的《0568》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

xwt.jpg李振华先生称带有实数重数的集合为【广义集合】。在他最近的文章《0568》中对【广义集合】间的一一对应作了推广,并提出了【广义集合】的【基数】概念。可惜,这样的推广是失败的,这样定义的【基数】,不确定,不能作为基数。当然,我指的是无穷集合 ,有无穷多个重数的情况。对于有穷集合,重数有穷时,还是可以的。下面我们來具体分析。

李先生说【在经典理论中,是一个元素和一个元素配对,在广义一一对应中,只要两项元素的重数相等,它们就可以配对,更一般地,我们允许多项元素和多项元素配对,只要它们的重数和相等就可以了。

也就是说李先生把以实数作重数的集合的一一对应,定义为【重数和相等】。把基数定义为【重数和】。

显然如果【重数和】是有限个实数的相加。它是一个确定的实数,这没有任何问题。但是对于无限集,如果【重数和】是无限多个实数相加,情况就复杂很多。

我们唯一想到的是在极限理论中有无穷级数,是无穷个项的和。设有一实数的无穷序列b1,b2,b3,...,它的和是无穷级数S=b1+b2+b3+...它的和等于部分和的极限,即S=limn→∞Sn,其中Sn=b1+b2+...+bn。如果n→∞时这个极限存在,是个确定的实数b或+∞,-∞,显然这个 b或+∞,-∞就是这个无穷级数的和。

显然如果理想的话,李先生的以实数数为重数的集合是无限集合{a1:b1,a2:b2,a3:b3,...} ,则它的推广的【基数】就等于此无穷级数的和。似乎很合理很得当。

但是这是不行的。原因很多,我们來具体分析。

第一,无穷级数,序列的元素是可数无穷的。因而对于基数大于可数无穷的集合,不适用。因为如果重数的集合是大于可数无穷的,是不可数的,则不知它们的【重数和】如何相加。

第二,这个极限可能不存在,有可能趋近于+∞,或趋近于-∞,甚至不收敛,此时该如何处理。

第三,最为严重的是,一般的集合是无序的。但无穷级数是有序的无穷序列的求和。当这种顺序改变时,无穷级数的和是不同的可能改变,例如一个有无穷个重数的集合中,重数无穷个+1和无穷个-1组成 当你安排+1-1+1-1+1-1...时无穷级数的和在0和1间变化不收敛没有极限,但当你安排顺序两个+1一个-1时,是1+1-1+1+1-1...则极限是+∞。当你安排顺序一个+1两个-1时,是1-1-1+1-1-1...则极限是-∞。所以说【重数和】根本就不相等。也就是说由于一般的集合是无序的集合,如果任意规定顺序所求的无穷级数,所求的【重数和】完全可能是不相等的。因而说李先生把以实数作重数的集合的一一对应,定义为【重数和相等】。把基数定义为【重数和】。这样的推广是完全失败的。因为按照这样的定义,没有对任何以实数为重数的集合给出唯一确定的【基数】。

最简单的例子是求广义空集{}的推广基数。我们知道广义空集{}等于A={a1:0,a2:0,a3:0,......},它的推广基数=【重数和】=0+0+0+......=0 。

但是根据推广的一一对应,广义空集A一一对应于集合B={a1+,a1-:-1,a2+,a2-:-1,a3+,a3-:-1,......},因为知对任何n,有an:0{an+,an-:-1}所以AB

但是B是我们前面讲的,无穷个重数是由无穷个+1和无穷个-1组成的广义集合。它的【重数和】不确定,求法不同,【重数和】可以是+∞,-∞,也可以不收敛,并不等于0。没有确定的推广基数。



 

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