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Zmn-0535 反对伊战:重要的是数学上的有用性 评李振华先生的《Zmn-0532》

已有 520 次阅读 2021-4-16 08:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0535 反对伊战:重要的是数学上的有用性  评李振华先生的《Zmn-0532》

【编者按。下面是反对伊战先生的文章。是对李振华先生《Zmn-0532》的回复。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

重要的是数学上的有用性

评李振华先生的《Zmn-0532》

反对伊战

1、不可测集和选择公理的问题

李振华先生说在维塔利集中,推理中出现了矛盾,我们把它归咎于可测的假定,认准可测是唯一罪犯,但真实情况可能并非如此。在我看来,下面三个观点都是可疑的:

1.1、可数个0相加只能等于0.

1.2、测度的平移不变性。

1.3、实数集和实数子集可以拥有大于0的长度。

否认这三个中的其中一个,都可以推翻不可测的结论,同时也保持选择公理。】

确实如此。但 1.1, 1.2, 1.3 在数学上都很有用,而承认存在不可测集在数学上并没有多大损失,所以数学家们选择保留1.1, 1.2, 1.3三性质,承认存在不可测集。

李振华先生说在全体自然数中选中一个数,它等于1的概率(记为a)是多少?套用课本上的逻辑,你会发现,a不能被赋予概率(你不能说a是0,因为可数个a相加就等于1),就像不可测集不能被赋予长度一样。在这里,我并没有用到选择公理,却得到了一个本质上和不可测相等的概念。

解决这个矛盾的方法是,将0赋予a,承认可数个0相加可以不等于0.因为在实数中,0是唯一的无穷小。】

确实如此。在自然数集上不存在同时满足

1.1、可数个0相加只能等于0.

1.2、测度的平移不变性

的概率测度。

违反1.2,可在自然数集上赋上任意的概率,这在概率论中很有用。

违反1.1,也可建立数学上有用的理论,Robinson在1960年代初发明的非标准分析就是一例。在非标准分析中,在自然数集上赋上了一种测度m,对自然数集的任意子集B, C,m有如下性质:

(1)            若B是有限集,则m(B)=0

(2)            m(B), m(B在自然数集中的补集)中必有一个为0,一个为1

(3)            若m(B)=1, m(C)=1,则m(B交C)=1

(4)            若m(B)=1,B是C的子集,则m(C)=1。

用选择公理可以证明这样的测度m是存在的。不过,人们还不能给出样的测度m的一个具体例子。

在非标准分析中,Robinson将实数集扩大到超实数集。在超实数集中,除了实数,还有很多别的数,包括很多无穷大,很多负无穷大和很多无穷小。在超实数系上,可以用无穷小语言严格地建立微积分的数学基础。非标准分析还成功地应用于很多别的涉及无穷个元素的数学领域。

所以,重要的是能得到数学上有用的结果。

 

3、潜无穷的问题

关于实无穷、潜无穷的问题,这并不是哪一方对哪一方错的问题,而是依据实无穷的观点可以建立实数理论,可以建立勒贝格测度论,可以建立勒贝格积分理论,在数学上大有用处。而潜无穷的观点,并没有得出数学上有用的结果。所以,现代数学家们普遍接受实无穷的观点。

李振华先生说不过,一个潜无穷集并不难想象,我们假设n是无限变大永远保持有限的自然数,那么集合{1,2,3,...,n},{1,2,3,...,2n}都是潜无穷集,基数分别是n和2n,前者是后者的真子集,且基数小于后者。就像7可以对应一个基数为7的集合,趋向无限也可以对应一个基数趋向无限的集合。仅仅是因为课本上不讲所以就认为不存在,这样的理由也太缺少生命力了。

同样的道理,0.999....9(n个9),0.999...9(2n个9)是位数无限增加永远保持有限的潜无穷小数,前者与1差了一个潜无穷小量0.000...1(n-1个0),后者与1差了0.000...1(2n-1个0)。前者小于后者,与1的差则大于后者。】

 

在非标准分析中,Robinson将无穷实数列定义为超实数,在其理论中,超实数(0,1,2,3…)小于超实数(0,2,4,6…),将0.999....9(n个9)记为a_n, 0.999...9(2n个9) 记为b_n,则超实数(a_0,a_1,a_2…,)小于超实数(b_0,b_1,bv2…)小于超实数(1,1,1…)=1。1-(a_0,a_1,a_2…,)和1-(b_0,b_1,bv2…)都是无穷小。

不过,非标准分析持的是实无穷的观点。所谓潜无穷集,可以通过实无穷集的序列表示出来,比如,潜无穷集{1,2,3,...,2n}可以用集合序列{1,2},{1,2,3,4},{1,2,3,4,5,,6}…表示出来,所以,这里依据潜无穷的观点,并不能得到依据实无穷的观点得不到的新结果。

李振华先生说关于所谓的理想机器。根据《0527》中的定义,1-1/2^n秒可以数到第n个自然数,1秒则不在定义之中,问1秒能数多少个自然数是无意义的问题。】

 我在Zmn-0496 原话说的是让我们设想有一台机器,化(1/2)秒时间数自然数0,然后,化(1/4)秒时间数自然数1,然后化(1/8)秒时间数自然数2…则1秒后,这台机器已数完了所有自然数。所以,通过这台机器,全体自然数可以被数完,且没有最后一个自然数。】1秒在1-1/2^n秒之后,所以第n个自然数已被数到。所以,所有的自然数都已被数到。

 

 

返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

       

 






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