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Zmn-0523 薛问天：在这个康托定理的证明中不能使用基数演算，评新华《0497》

已有 1584 次阅读 2021-4-7 08:47 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0523 薛问天：在这个康托定理的证明中不能使用基数演算，评新华《0497》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生《0497》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

在这个康托定理的证明中不能使用基数演算，

评新华《0497》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 林益先生在《0491》文中算错了，算出來结果是列出的十进制无限小数的个数是可列的。新华先生说【既然评者认为：〖③计算结果不是可列，而是不可列。〗干脆就用林益老师的证明，何必用反证法？】。新华先生不了解，问题是在这个康托尔定理的证明中，不能使用基数的演算。如果用基数的演算在这个定理中，证明就犯了逻辑循环的错误。最近又看了《0497》，逐条分析如下。

(1)，我们讨论数学问题，要找真正有矛盾的问颢，不要吹毛求疵。把0作为自然数，当然所有自熟数集合是含0的，记作N。但是不含0的自然数组成的也是集合，不能否认它的存在，可以称其为非0自然数集合，通常记作N+。说什么【不能同时有两个同时存在】是不对的。两个集合都存在，都可以用。在证明中用的是非0自然数集合，即N+ ，而不是标淮的含0自然数集合N。由于过去自然数中不包括0，所以也常把非0自然数集合，称为自然数集合。在不少的证明表述中，就按传统的说法，直接说是自然数集合。其实这很筒单，你把它严格地说成是非0自然数集合N+就行了。根本和证明的正确性无关。没有必要把这作为个问题提出來，这根本不是有些人否定此证明的关键问题。如果有人以此來否定康托尔的证明，甚至说是【精神不正常的人的行为。】就是太不适当地小题大作了。

(2)，我之所以说〖同非 0 自然数也能一一对应〗，就是因为有人错误地认为【首位小数都是从 1 开始的，显然不能与康托尔的自然数一一对应， 】亊实并非如此。在证明中选含0自然数和选非0自然数都是可以的，允许的。这个证明选用的是非0自然数集合，这並无任何错误。只是使用了传统的提法，在证明叙述中把它称为自然数集合而已。凡是有一定思维能力的人，都会根据上下文理解到:，这里说的自然数集合是非0自然数集合。

(3)，我认为我说的那段话完全正确。特别是最后一句〖这一切都有根有据，感言者根本说不出康托尔的证明错在哪里。〗

有人把【自然数集合】解释为【全体自然数的集合】，但我认为把它解释为【以自然数为元素的集合】比较合适。因而偶数集合，奇数集合，质数的集合，以及林先生所举之例，都是自然数集合，但不是全体自然数集合。【全体自然数的集合】，最好加【全体】二字。当然如果通过上下文能确定其所指就是【全体】，此二字有时也可以省略。

(4)，新华先生对我对林益文章这段评语作了如下评价。他说【显然评者根本不懂康托尔的对角线证法,】下面我们來看他的分析，看究竟是谁【根本不懂康托尔的对角线证法】。

首先我们來看林益先生说的这段话，他认为单位区间中全体实数列出的序列。是可列的，是根据他所讲的道理算出來的。他说、【列出的纯十进制无穷小数的位数的序数是ω，个数是10^ω，...10^ω=ω，它是可列的。】这就是根本的错误。【这个实数集合是可列的，可以排列成序列(1) 】，这不是按实数是十进制无穷小数算出來的，是为了用反证法证明【实数不可列】而做出的一个要推翻的反面的假定推出的。

另外我评说这个计算本身就有3个错误。我说〖①不能用序数，必须用基数。〗，因为计算的结论是说【它是可列的】，可列的意思是它的基数是可数无穷，是讨论这个实数集的基数而不是计算序列的序数。新华先生说【这不是指责康托尔用序数列出的 a1，a2 , a3,⋯是错误的吗？难道 a的下标 1,2,3, ⋯是基数吗？】这明显不对，求实数的个数不是将实数用序数列出。而且林益先生说的是【无穷小数的位数序数是ω，个数是10^ω。】他指用位数序数求个数，就错了。求个数要用基数，不是用序数。对十进制无穷小数的个数(基数)的求法是，因位数的基数是Aleph_0，则实数个数是10^Aleph_0。而不是用序数ω。

新华先生说【评者认为： 〖②本定理是形成基数理论的部分，因而本定理的证明不能用基数理论，否则是循环证明。〗显然①与②是矛盾的。 】我的评论一点矛盾都没有，是他犯的错误太多了。实数个数是可列的这个假定根本不是算出來的，是要推翻的反证法的假定推出的，而林先生硬要去算。算又算的方法不对，求个数应用基数他却用的是序数。他用序数算出來是可列的，结果不对，用基数算个数是10^Aleph_0是不可列，但在这里的证明中不能用。因为基数演算的这些理论是这个康托定理证明后形成的理论。在这个证明中用此基数演算是逻辑循环。

新华先生对〖③计算结果不是可列，而是不可列。〗 也产生了怀疑，说【林益老师采用乘法原理构造无穷小数计算结果......这些十进制小数都是有理数，难道区间[0,1)中的十进制小数也不可列吗？】这又暴露了新华先生认识上的一个误区。要知道区间中所有的【有穷小数】的集合的基数是可列的，但是所有的【无穷小数】的集合的基数却是不可列的。

(5)，新华先生说【其实康托尔不仅没有列出区间[0,1)中的实数，而且连区间[0,1)中的无限十进制小数都没有列出来，否则为什么b不等于任何所列的实数？】

这说明新华先生和林益先生同样，根本没有看懂定理的证明。我己说过多次，在区间中的全部实数列在序列(1)中，这并不是康托尔根据实数的性质所列出的。而是为了证明这个实数集合不可列，用反证法作出的一个要推翻的假定所推出的。正因为假定它可列，才存在b不在其中。才出现矛盾，才推翻了此假定，而使定理得证。

新华先生说【既然评者认为： 〖③计算结果不是可列，而是不可列。〗干脆就用林益老师的证明，何必用反证法？】

我前面说过了，如果用基数的演算在这个定理中，证明就犯了逻辑循环的错误。

新华先生说【我可以证明林益老师采用乘法原理构造无穷小数可以与自然数构成一一对应，必然是可列的。】这个论断是错误的，能同自然数构成一一对应的是所有【有穷小数】，所有的【无穷小数】做不到这点。是不可列的，这正是这个康托尔定理证明的结论。

(6)，新华先生说【评者说得对，实数、序数、基数确实分不清。 】我说的是林益先生你们，没有把它分清。而实数，序数，基数这几个概念本身，是分得清清楚楚明明白白的。基数是用來衡量集合的势的，学界公认它是通常直观【元素个数】的数学抽象。序数是衡量良序集的序型的。实数的序集不是良序集，所以不用序数来研究实数。这些在学术概念上都是一清二楚的。没有【确实分不清】的地方。

(7)，新华先生的这段话的逻辑是挺可笑的。把0定义为自然数，当然全体自数数集中就含0。但是并不是说，不含0的自然数就不能形成集合了。不含0的自然数组成的集合我们称其为非0自然数集合，用N+表示，仍然可以应用。在定理证明中就是用的这个集合。由于过去自然数中不包括0，所以也常把非0自然数集合，称为自然数集合。必要时把它解释清楚就行了，不必在此小题大作。把它看作是质疑康托尔定理证明的错误的一个根据。

(8)，我想要说的是，在编号中用0开始，其实也是可以的。只是大多数人感到不习惯罢了。当然在实际应用中，常用的还是编号从1开始。所以说非0的自然数集合，还有大量应用，不可忽视。不要对非0自然数集的应用过多刁难。

另外说明一下，关于《0495》就不回应了。我和师教民先生都同意正反函数y=f(x)，x=g(y)可以构成复合函数，是复合函数y=f(x)，x=g(t)中，变量t同y相同的特例。在这点上我们没有分歧。

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