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Zmn-0503 薛问天：不是数学魔术，可严格证明，评范秀山《0500》和《0469》

已有 1181 次阅读 2021-3-28 08:32 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0503 薛问天：不是数学魔术，可严格证明，评范秀山《0500》和《0469》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山先生《0500》和《0469》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

不是数学魔术，可严格证明

评范秀山《0500》和《0469 》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 范秀山博士认为0.999...=1得不到严格的数学证明。认为【当今数学中，还存在着诸多数学魔术和以数学魔术为基础导出的错误结论、错误理论。】他认为0.999...=1的证明就是【数学魔术】。事实上当然不是如此，这是范秀山博士认识上的错误。根据我的观察，范秀山搏士还是有一定的智商和思维能力的，愿意进行一些严格的逻辑推理。我相信，我的这篇文章，如果范博士认真阅读和思考，肯定能解决他的问题。当然能公开承认错误最好，不过人都顾及臉面，当面认错很难，只要心里清楚了，以后不再坚持错误，我看也是很大的进步。

我的文章分三段，第一段讲讲无穷级数求和，这是最基本的。我相信范博士接受这段没有问题。第二段讲讲极限计算的一个定理，范博士的错误，主要是对这个定理的条件没有认识清楚。这一段是重点。第三段讲我们对0.999...=1的严格证明，如果第一，二段接受了，第三段应当就没有问题了。

一，关于无穷级数。

要计算无穷级数的和，S=a1+a2+a3+...+an+......。首先要搞清无穷级数的部分和序列，

S1=a1，S2=(a1+a2)，...，Sn=(a1+a2+...+an)，......。

我们定义，「无穷级数的和S」等于「无穷级数的部分和序列S1,S2,...Sn,...」当n→∞时的极限。

对无穷小数x=0.999…，我们把它定义为，是无穷级数:

x=0.999...=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限，所以x等于0.9，0.99，0.999，.....这个无穷序列.的极限。由于这个序列是个递增的有界序列，所以它的极限是个确定的有限数。

二，极限理论中的一个定理。

在极限理论中，有一个这样的定理，当两个序列都有有限极限时，两个序列各项分别加減(或相乘)后形成的序列，它的极限等于这两极限的加減(或相乘)。

具体说，有两个序列，a1,a2,...,an,...和b1,b2,...,bn,...。如果当n→∞时，an→A，bn→B，其中A和B是有限值，则当n→∞时，(an+bn)→A+B，(an-bn)→A-B，(anxbn)→AxB。

这个定理的条件【A和B是有限值】非常重要，当是无限极限时，A=∞或B=∞，此定理并不成立。

于是，由上述定理可以推出

【定理K】当序列an→A(n→∞)，而且A是有限极限时，对任何k，其乘积的极限等于极限的乘积，:即当n→∞时，有kan→kA。当然这个定理的条件也很重要，当A=∞时:，此定理并不成立。

三，0.999...=1的严格证明。

前面己知无穷小数x=0.999…，是无穷级数:

x=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限，所以x等于序列0.9，0.99，0.999，.....的极限，而且x是有限极限，根据定理K，令k=10，显然10x等于序列 9，9.9，9.99，...的极限，即10x=9+0.9+0.09+...=9.999....

所以10x=9.999...是可以严格证明的。

在范博士的《0469》中，x=0.999...就是(13)，10x=9.999...就是(14)。从而从(13)到(14)是严格证明的。不是范博士所说的错误的【在这个魔术中，“将式（13）扩大10倍”就是魔术师的机关。】

而范博士的推论【x = 0.999… （19）

将式（19）扩大10倍，有

10x ≠ 9.999… （20）

10x ≠ 9 + 0.999… （21）

10x ≠ 9 + x （22）

x ≠ 1 （23）】

在这里没有任何根据得的结论【10x ≠ 9.999… 】才是真正的错误，连能骗人的魔术都够不上。

范博士在《0500》中给出的0.999...=1的证明实际上也是正确的。证明这样描述:

【0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x （5）

对等式左边第2项之后的其他项提取公因式0.1

0.09+0.009+0.0009+…=0.1（0.9+0.09+0.009+0.0009+…）（6）

代入式（5），得

0.9+0.1x = x （7）

x =1 （8）】

其中的(6)就是0.0999...=0.1X0.999...。是可以用定理K，用k=0.1來严格证明。

范博士之所以怀疑(6)的正确，是因为他不知在极限理论中有定理K。其实关键是他不知定理K中要求an的极限A是有限极限。当它是无限极限时，此定理是不成立的。他把这用于极限无限时，发生了严重的错误。

他的错误证明是:

【1+2+4+8+16+32+64+128+… = x （1）

对等式左边第2项之后的其他项提取公因式2

2+4+8+16+32+64+128+…=2X（1+2+4+8+16+32+64+…）（2）

代入式（1），得

x = 1+2x （3）

x =-1 （4）】

他的(2)为什么是错误的，因为极限是无穷大，定理K不能用，所以在这里用定理K在k=2时得出的结论x=1+2x是错误的。

范博士也知道这是错误的，因为推导出了x=-1 。但是他把错误归结为什么说不清楚的【动态数】，以为无穷序列要求极限的都是【动态数】，都会出错。其实不是如此，是在极限是无穷大时，不能用定理K。而对有限极限的情况，则定理K是完全可用的，因而可以用定理K严格地证明无穷小数0.999...=1。不仅可用k=10，也可用k=0.1。我试验了一下，用k=２，3，4，,,,等都可以。

例如用k=9，9 x=8.999...=8+ x，仍然可证x=1．

我非常希望范博士在看完我的这篇文章后，能改变他过去的看法。

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