《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0503 薛问天:不是数学魔术,可严格证明,评范秀山《0500》和《0469》

已有 711 次阅读 2021-3-28 08:32 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0503 薛问天:不是数学魔术,可严格证明,评范秀山《0500》和《0469》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山先生《0500》和《0469》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

 

不是数学魔术,可严格证明

评范秀山《0500》和《0469 》

 薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-s.jpg范秀山博士认为0.999...=1得不到严格的数学证明。认为【当今数学中,还存在着诸多数学魔术和以数学魔术为基础导出的错误结论、错误理论。】他认为0.999...=1的证明就是【数学魔术】。事实上当然不是如此,这是范秀山博士认识上的错误。根据我的观察,范秀山搏士还是有一定的智商和思维能力的,愿意进行一些严格的逻辑推理。我相信,我的这篇文章,如果范博士认真阅读和思考,肯定能解决他的问题。当然能公开承认错误最好,不过人都顾及臉面,当面认错很难,只要心里清楚了,以后不再坚持错误,我看也是很大的进步。

我的文章分三段,第一段讲讲无穷级数求和,这是最基本的。我相信范博士接受这段没有问题。第二段讲讲极限计算的一个定理,范博士的错误,主要是对这个定理的条件没有认识清楚。这一段是重点。第三段讲我们对0.999...=1的严格证明,如果第一,二段接受了,第三段应当就没有问题了。

 

一,关于无穷级数。

要计算无穷级数的和,S=a1+a2+a3+...+an+......。首先要搞清无穷级数的部分和序列,

S1=a1,S2=(a1+a2),...,Sn=(a1+a2+...+an),......。

我们定义,「无穷级数的和S」等于「无穷级数的部分和序列S1,S2,...Sn,...」当n→∞时的极限。

对无穷小数x=0.999…,我们把它定义为,是无穷级数:

x=0.999...=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限,所以x等于0.9,0.99,0.999,.....这个无穷序列.的极限。由于这个序列是个递增的有界序列,所以它的极限是个确定的有限数。

 

二,极限理论中的一个定理。

在极限理论中,有一个这样的定理,当两个序列都有有限极限时,两个序列各项分别加減(或相乘)后形成的序列,它的极限等于这两极限的加減(或相乘)。

具体说,有两个序列,a1,a2,...,an,...和b1,b2,...,bn,...。如果当n→∞时,an→A,bn→B,其中A和B是有限值,则当n→∞时,(an+bn)→A+B,(an-bn)→A-B,(anxbn)→AxB。

这个定理的条件【A和B是有限值】非常重要,当是无限极限时,A=∞或B=∞,此定理并不成立。

于是,由上述定理可以推出

【定理K】当序列an→A(n→∞),而且A是有限极限时,对任何k,其乘积的极限等于极限的乘积,:即当n→∞时,有kan→kA。当然这个定理的条件也很重要,当A=∞时:,此定理并不成立。

 

三,0.999...=1的严格证明。

前面己知无穷小数x=0.999…,是无穷级数:

x=0.9+0.09+0.009+......。由于无穷级数的和等于部分和序列的极限,所以x等于序列0.9,0.99,0.999,.....的极限,而且x是有限极限,根据定理K,令k=10,显然10x等于序列 9,9.9,9.99,...的极限,即10x=9+0.9+0.09+...=9.999....

所以10x=9.999...是可以严格证明的。

在范博士的《0469》中,x=0.999...就是(13),10x=9.999...就是(14)。从而从(13)到(14)是严格证明的。不是范博士所说的错误的【在这个魔术中,“将式(13)扩大10倍”就是魔术师的机关。】

而范博士的推论【x = 0.999…                                  (19)

将式(19)扩大10倍,有

10x ≠ 9.999…                                 (20)

10x ≠ 9 + 0.999…                               (21)

10x ≠ 9 + x                                  (22)

x ≠ 1                                    (23)

在这里没有任何根据得的结论【10x ≠ 9.999…   】才是真正的错误,连能骗人的魔术都够不上。

 

范博士在《0500》中给出的0.999...=1的证明实际上也是正确的。证明这样描述:

0.9+0.09+0.009+0.0009+…= x                 (5)

对等式左边第2项之后的其他项提取公因式0.1

0.09+0.009+0.0009+…=0.1(0.9+0.09+0.009+0.0009+…)     (6)

代入式(5),得

0.9+0.1x = x                            (7)

x =1                               (8)

其中的(6)就是0.0999...=0.1X0.999...。是可以用定理K,用k=0.1來严格证明。

范博士之所以怀疑(6)的正确,是因为他不知在极限理论中有定理K。其实关键是他不知定理K中要求an的极限A是有限极限。当它是无限极限时,此定理是不成立的。他把这用于极限无限时,发生了严重的错误。

他的错误证明是:

1+2+4+8+16+32+64+128+… = x                   (1)

对等式左边第2项之后的其他项提取公因式2

2+4+8+16+32+64+128+…=2X(1+2+4+8+16+32+64+…)       (2)

代入式(1),得

x = 1+2x                           (3)

x =-1                            (4)

他的(2)为什么是错误的,因为极限是无穷大,定理K不能用,所以在这里用定理K在k=2时得出的结论x=1+2x是错误的。

范博士也知道这是错误的,因为推导出了x=-1 。但是他把错误归结为什么说不清楚的【动态数】,以为无穷序列要求极限的都是【动态数】,都会出错。其实不是如此,是在极限是无穷大时,不能用定理K。而对有限极限的情况,则定理K是完全可用的,因而可以用定理K严格地证明无穷小数0.999...=1。不仅可用k=10,也可用k=0.1。我试验了一下,用k=2,3,4,,,,等都可以。

例如用k=9,9 x=8.999...=8+ x,仍然可证x=1.

我非常希望范博士在看完我的这篇文章后,能改变他过去的看法。



 

返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

          

 

 

 




https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1278944.html

上一篇:Zmn-0502 新 华: 奇怪吗?不!
下一篇:Zmn-0504 林 益: 对反对伊战老先生评论的回复
收藏 IP: 111.19.32.*| 热度|

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2022-8-9 13:57

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部