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Zmn-0413 薛问天: 根据什么來理解微分概念?评新华先生对微分的理解

已有 3340 次阅读 2021-1-11 21:08 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0413 薛问天: 根据什么來理解微分概念?评新华先生对微分的理解

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对新华先生《0409》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

根据什么來理解微分概念?

评新华先生对微分的理解

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg0,引言。根据什么來理解数学概念?

在评《新华先生对微分的理解》一文前,我要先问新华先生一个基本问题。你谈对微分概念的理解,是根据的什么?用什么來判断你理解的对错,你从哪里知道「微分」和「增量」这两个概念的确切含义的,你是凭什么來判断「微分dx」和「增量Δx」是相等还是不相等。

我的回答很明确,要了解一个数学概念的确切含义,必须根据这个概念的数学定义。你的理解和所有的推论必须依据概念的定义,凡是不符合定义的理解和推论都是错误的。

我相信从「微分」和「增量」这两个名称的字面含义上是怎么也搞不清它们相等还是不相等的问题。必须根据这两个概念的定义來比较它们的确切含义,才能准确判断它们是否相等的问题。

不知新华先生是否同意这个观点。我有一点不明白。为什么在后面讨论「导数」时,新华先生能严格地按照导数的定义来推论,但是在论证「微分」吋,却对微分的定义只字不提,这是什么原因?要知道定义无非就是一个名称的约定,为何如此【厚此薄彼】。

 

1 ,用「微分」的定义,来判定dx和Δx是否相等。

新华先生说【有两种不同的观点:】一种意见认为dx=Δx,一种认为dx≠Δx。其实这根本不需要争论,一查「微分」的定义,一目了然。

原來微分是函数变量的微分,有两种,一种是函数因变量的微分,一种是自变量的微分。如果微分dx是函数x=g(t)因变量的微分,则按定义dx=g'(t)Δt是Δx的线性主部,Δx=g'(t)Δt+o(Δt),一般地dx≠Δx。如果dx是y=f(x)的自变量的微分,则按定义dx=Δx。

所以dx≠Δx和dx=Δx这根本就不是两种不同的观点,而是两种微分。只要在上下文中说清微分dx,是函数x=g(t)因变量的微分,还是y=f(x)自变量的微分,就能分清dx≠Δx还是dx=Δx。

 

,导数形成导函数。

如前所述,决定dx与Δx的关系的是「微分」的定义,而不是如新华先生说的是【导数的定义把dy与∆x联系到一起】。

另外,尽管如新华先生所说,对确定的x,函数【f(x)在求导时的属性是看成常数的定值】,但是在不同x点求出的导数f'(x)就形成一个导函数。所以求导数运算也看成一个由函数到函数的算子「微分算子D」,它把原函数f(x)映射到导函数f'(x): D(f)=f'。

 

3 ,dy⁄dx是定值,推导不出dy, dx一定为定值。

当然,新华先生对任一确定的x,说【y′=f′(x)=dy⁄dx是极限,极限属性是确定不变的,因此dy⁄dx的属性是确定不变的,】这是绝对正确的。但是说【在点(y,x)处dy⁄dx是定值,dy, dx也必为定值。】这个推理就不对了。因为dy⁄dx是定值,推导不出dy, dx一定为定值。要知道按一定比例变化的两个变量,它们的比值是定值,但它们各自却都是变量而不是定值。而dy,dx正是如此,dy=f′(x)∆x,dx=Δx,它们都是随Δx变化的变量,但dy/dx=f'(x),对确定的x却是一个常量定值。

也就是说dy,dx同Δy,Δx同样都是变量,说【∆y与dy,∆x与dx的属性完全不同,因此∆y≠dy,∆x≠dx。 】这样的推论就不正确了。

 

4,dy和dx分别是切线上的函数增量和自变量增量.

这在几何的解释上也是明确的。新华先生说【如果dx发生变化,dy也随之变化,dy⁄dx也随之变化,】是不对的.如果dx发生变化,dy也随之按一定的比例变化,则此时dy⁄dx并不随之变化,而这时dy⁄dx就是点(x,f(x))处的切线的斜率,而dy和dx就分别是切线上的函数增量和自变量增量,它们是按照一个确定的比值(斜率)同步增长的。由于切线是直线,在该切线上y和x的增量dy和dx,它们的比值即斜率是不会改变的。在这里刚好,函数的自变量的增量Δx同切线的自变量增量dx是相同的。这在图中可以看得很清楚。

要知道在这里的几何解释上,并没有按照导数(切线斜率)的数值的大小和方向,把它解释成为一个向量,并没有把dy,dx解释成为该向量的分量,而是把导数解释成为该点切线的斜率,把dy,dx解释成为切线上的函数增量和自变量增量。切线是【唯一的不变的】,但是在切线上的y和x的增量dy和dx却是可变的变量。认为【在表达式dy=f′(x)dx中没有可变的量】就不对了,微分dy,dx和Δy,Δx同样都是变量。Δy,Δx是原函数曲线上y和x的增量,dy,dx是切线上y和x的增量。

 

5,关于微分算子的正确理解。

不要把「微分算子」同「微分变量」这两个不同的概念搞混了。它们有不同的定义,用在不同的埸合。

「微分算子」并不是求「微分变量」的算子,而是求「导函数」的算子,微分算子D是函数到其导函数的映射。即D(f)=f'。也就是说,微分算子D作用在函数y=f(x)上,结果是它的导函数y=f'(x)。那些硬要把微分算子D同求微分变量联在一起,说什么【“微分是把一个一元函数对应一个二元的数的映射,这个算子记号是“d”,定义为:d:f(x)→f′(x)h,】这不仅是对「微分算子D」的误解,也是对「微分变量」的误解。刚才说了微分算子是D(f)=f',而不是【d:f(x)→f′(x)h,】。而「微分变量」的定义要分函数因变量的微分和函数自变量的微分,而新华先生根据这个对微分算子和微分变量的错误理解得出的结论:【因此,微分作用的对象是函数,所谓“自变量的微分”严格说来是没有意义的。】是不对的,「函数自变量的微分」有其严格的单独的定义。

 

6,正确认识自变量微分的等价定义。

在微分定义中是把函数y=f(x)的因变量的微分定义为dy=f'(x)Δx,把自变量的微分直接定义为dx=Δx。关于自变量的微分有一个另外的等价定义,即把自变量x看作是自变量x自己的函数,即等值函数I(x)=x。把自变量x的微分定义为这个等值函数的因变量微分,即dx=I'(x)Δx。由于等值函数的导数是常函数I'(x)=1,所以这两个定义是等价的。最终都有dx=Δx。

显然这个定义在概念上的相当清楚的,它只是把自变量的微分定义为等值函数的因变量的微分,并不是把所有函数的因变量的微分定义为等值函数的因变量的微分。只是说自变量的微分等于增量(差分)dx=Δx,并没有说所有因变量的微分等于增量dy=Δy。而新华先生却故意混淆概念,提出莫须有的问题【为什么不定义“dy=∆y”呢?】这不是在有意混淆自变量的微分和因变量微分的区别吗?

 

7,并不是所有的「不同概念」之间都绝对不可以有「联系」。

新华先生说【差分∆x与微分dx是两种完全不同的概念,因此它们不能相等,教材定义“∆x与dx”是绝对错误的。】这种论断过分【绝对】化了。不是说所有不同的概念之间就绝对不可以有联系。有很多不同概念之间都是有联系的。甚至在一定条件下,还可能相等。「微分」和「增量(差分)」就是一个典型的例子。按照微分的定义,函数因变量的微分dy=f'(x)Δx,是增量Δy的线性主部,一般地dy≠Δy。但是对于自变量的微分却有dx=Δx。

我们知道按定义因变量的微分dy=f'(x)Δx,自变量的微分dx=Δy,因而也有dy=f'(x)dx。即dy=f'(x)Δx和dy=f'(x)dx两者都是正确的。

新华先生说【此表达式“dy=f′(x)∆x”是错误的。其实这个表达式等号两边属性是不相同的,左边“dy”属性是确定的,右边“f′(x)∆x”中f′(x)是确定的,∆x是不确定的,所以“f′(x)∆x”是不确定的,因此定义“dy=f′(x)∆x”是违反逻辑同一律的是绝对错误的。 】

新华先生,你根据什么说【左边“dy”属性是确定的,右边......“f′(x)∆x”是不确定的,】要知道.“dy=f′(x)∆x”,这就是因变量微分的定义,说明dy不是不变的定值常量,而是Δx的线性函数,是随着Δx变化而变的变量。它们都是变量,在这方面属性是相同的。认为它们是【违反逻辑同一律的是绝对错误的】的观点才是【绝对错误的】。

新华先生有一个顽固的错误观点,即是认为dy,dx是确定的常量定值.包括由导数dy/dx是定值错误地推出dy,dx是定值.错误地把dy,dx解释成为斜率向量的分量等.要改正这个错误,必须认识到按照微分的定义,dy,dx不是不变的定值常量,它们是Δx的函数,是随着Δx变化而变的变量。

(全文完)

 

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