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Zmn-0399 薛问天:思维再缜密些。评林益先生的《0397》

已有 824 次阅读 2020-12-27 10:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0399 薛问天:思维再缜密些。评林益先生的《0397》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对林益先生《0397》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

思维再缜密些。

评林益先生的《0397》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg林益先生思维清晰,对康托尔定理证明的陈述,基本上都是正确的。如果思维能再缜密些,他的那些困惑,不难消解。

(一),关于二维无穷【方阵】的概念。

在康托尔的证明中并未用到二维无穷【方阵】这个概念。形成【方阵】这是人们对于康托证明的一种理解。在康托的证明中只用到两个无穷集合的「一一对应」,即基数相等的概念。当然如果把R的实数同实数的位数N形成一个【行列个数一样多】的【方阵】的确切含义,严格地理解为是R和N可建立一一对应,即R与N基数相等。在这样明确的严格的解释下,用【方阵】來表述康托尔定理的证明,也没有问题,是正确的。

所以说,除了林益文中的一和二的陈述的是正确的外,在三中的陈述,在上述严格的解释下,也没有错。


 (二),评林益文中的四1),

林益文中的四1)开始的说法是正确的。在反证法的假定A下推出的矛盾,一方面推出R中的全体十进制纯小数形成【方阵】,另一方面又推出存在b这个十进制纯小数不在其中。是由于推出了矛盾,是【全体】又不是【全体】的矛盾,才否定了假定A,才推出【不能构成方阵】。但是林益先生的后面的解释【因为在纯小数的位数是任意有限的情况下都不能构成方阵,因此在无穷的情况下也不能构成方阵,】林益先生这个推理是错误的,从【任意有限的情况下都不能构成方阵】,并推不出在无穷的情况下也不能构成方阵,】在这里林益先生犯了无根据推论的错误。

 

(三),评林益文中的四2)和3)。

林说【因为多了一个无穷纯小数b,打破了假定的正确性,康托尔就得出不可列的结论。因此,就给人以:“可列个数必须相等,可列+1 便成为不可列”。

李鸿仪先生也说过类似的话【 即使真的能找出不在(1)内的b, 也不过是在无限集合中增加了一个元素而已,并不能以此改变无限集合的基数,故不足以推翻原可数假定,反证不成立。

这说明是林益先生和李先生对康托尔的证明理解有错误。康托尔并不是根据【可列+1 便成为不可列】,【可数无限集增加一个元素b,就变成不可数】这个错误的论断进行他的论证的。是根据在假定【实数R可数】下,推出可将区间[0,1)内的实数全部一一列出,而与存在实数b未能在此一一对应下被列出的【矛盾】,才否定了反证法的假定【实数R可数】的。这里实际上是先生们误解了康托尔的证明中的根据。因而不能说【康托尔对角线证法的判断标准与康托尔超穷数理论是存在矛盾的。】这里没有矛盾。

 

(四),思维不够缜密。

在说反证法的假定时,我曾说〖注意这个假定并不是真的,最后是由此假定推出矛盾后最终要被推翻的。因而千万别当真,由此假定推出的命题有真有假,不要因此而困惑。〗

林益先生说【我就不理解:既然“由此假定推出的命题有真有假,不要因此而困惑。”,那我凭什么认为康托尔推出的命题一定是正确的呢?

看來林益先生的思维并不缜密。这里有两句话,一句是〖由此假定推出的命题有真有假,〗一句话是〖康托尔推出的命题一定是正确的〗。在林益先生看來,这两句话是矛盾的,不能并存,承认了其一就不能承认另一个。这样的认识其实是错误的。这两句话并不矛盾,它完全可以并存,而且都是真的。而这正是反证法的精髓所在。反证法假定A,推出矛盾命题B与乛B,证明了A为假而乛A为真。如果推理没有错误,自然承认①「定理一定是正确的」②「假定A推出的命题有真有假」,B与乛B有一个为真另一个为假。

这里涉及一个逻辑规律。当证明了P→Q为真时。并不保证Q一定为真,因为在P为假时,Q可能为真也可能为假。所以要请林益先生特别注意,康托定理是正确的,并不意味着证明中在假定A下推出的命题一定为真,实际上有真有假。不必为在假定A下推出的命题是真是假而困惑。

(全文完)



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