博文

Zmn-0322 薛问天：不是【排在直线上】，而是【稠密分布】，答林益先生《0320》

已有 1367 次阅读 2020-9-17 22:10 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0322 薛问天：不是【排在直线上】，而是【稠密分布】，答林益先生《0320》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0320》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

不是【排在直线上】，而是【稠密分布】，

答林益先生《0320》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 对林益先生的质疑，逐条答复如下。

1，如挖走的有理数yn是1/3，而刚好此1/3处于编号为m的开区间(am,bm)中，am＜1/3＜bm。此时区间(am,1/3)在左边，保留原编号m，而区间(1/3,bm) 在右边，为新增编号，如n+1 。也就是说，在编号命名时，1/3 左边的部分和右边的部分郆是开区间，而不是数。

2，y1,y2,y3,......是无理数序列。所以yn是个随n变化的有理数。对n的不同取值，有的yn＜(√2)/10，有的(√2)/10＜yn。【注：由于√2不在区间(0,1) 中，无理数选(√2)/10为例。】

林益先生所叙述的是正确的，在这个最终的无穷序列中，每个编号的剩余部分都不是它命名时的「中途剩余部分」，命名时其中还有很多未被挖走的有理数，在后面挖走这些有理数时，还要从中切掉很多新增编号部分。如果无理数(√2)/10始终不在新增编号部分中，它就保留下来了。从而保留在最终的【无穷序列】中。

3.1，确实应是2ⁿ，而不是2n。有的书写软件不支持上标，从而出错。

3.2，3.3，所有有穷位(n位)二进编码数的个数是2ⁿ，而所有无穷位编码数集合不可数，这个事实不能用n→∞时，2ⁿ→2^∞来证明，正如你所说∞不是实数。由数学分析中的极限理论不能证明基数不可数。

所有可能的「规定」不可数，同「所有无穷位编码数集合不可数」一样，都可以用幂集定理(可数无穷集合的幂集不可数)来证明。证明的思路是这样的，无穷编码集的位数的集合是可数无穷集。而由任何一个无穷编码数，都可以这样唯一确定地定义这个可数无穷集（位数的集合）的一个子集：当此数该位为1，则该位属于此子集，当此数该位为0，则该位不属于此子集。如无穷编码数(01010101......)定义的子集是全体偶数位组成的子集，无穷编码数(10101010......)定义的子集是全体奇数位组成的子集等。由于可数无穷集的幂集(即所有子集的集合)，是不可数的，所以所有无穷编码数的集合也是不可数的。因而所有可能的「规定」也是不可数无穷集。

3.4，在无穷二叉树中，所有的有穷支(有穷路径)的集合是可数无穷，但所有的无穷支(无穷路径)的集合是不可数的。抱歉，我忘记在哪里的证明中说了林益先生指出的类似话语。可否请林益先生指出是在哪篇文章中怎么说的。我再回头看看，有没有说错。

3.5，有理数和无理数是稠密地分布在区间中，而不是【排在一条直线上。】

林益先生说【挖走的有理数和生成的序列排在一条直线上，既然生成的序列是不可数的，显然比有理数多得多，它们是怎么排在一起的呢？】

实数的分布，不能用【排在一条直线上】来理解。它不是一个一个地挤靠在一起【排排坐】的离散式结构。而是【稠密地分布】在直线上。稠密的结构不存在离散式结构中的【相邻点】概念。任何两个点都不可能相邻，即紧密地挤靠在一起，排在一起。稠密性说明，任何两个点之间都有无数个点。不可能之间没有其它点的【相邻】【排在一起】。有理数集和无理数集不仅分别是稠密的，而且相互稠密地交织在一起，密不可分。任何两个有理数间有无穷多个无理数，任何两个无理数间又有无穷多个有理数。不能用离散式结构的【排】理解这种【稠密性的分布】。

林益先生问道【是否存在无理数的两个序列中没有有理数呢？这是否与实数稠密性和有理数稠密性矛盾呢？】

不会产生矛盾，在挖完所有的有理点后，所有形成的最终剩余部分的无穷序列，要么是空集，要么是只含有一个无理数点，其中不会有有理数。而这些穷举所有可能的【规定】所形成的不可数个「无穷序列」也不是一个一个【排】在区间中，而是稠密分布的。即任何两个「无穷序列」间有无穷多个「无穷序列」和无穷多个「被挖掉的有理数」。所以不会同其稠密性发生矛盾。冫

谢谢林益先生参与讨论。林益先生是个勤于思考之人。非常高兴能与林益先生共同探讨，深入切嗟。

(全文完)

返转到

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录