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Zmn-0306 薛问天：「有穷常规」束缚，「无穷启蒙」缺失，评黄小宁的错误论点

已有 1346 次阅读 2020-9-4 16:54 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0306 薛问天：「有穷常规」束缚，「无穷启蒙」缺失，评黄小宁的错误论点

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0295》黄小宁先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

「有穷常规」束缚，「无穷启蒙」缺失，

评黄小宁的错误论点。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 自从康托尔建立集合论以来，至少己有百年的历史。康托尔突破了「有穷常规」的束缚，指出无穷集有很多属性不同于有穷集的规律，可以说是在人类文明史中，对「无穷」的认知，是一个非常了不起的重大贡献。是一次人类认知史上的「无穷概念启蒙」。

可是时至今日，仍有一些旧时代的遗老遗少，头脑僵化，受「有穷常规」的束缚，花岗岩的脑袋，总认为「有穷常规」是天经地义，是永恒不变的真理。一直不承认无穷集合所具有的不同于「有穷常规」的属性。错误地认为违背了「有穷常规」就是大逆不道，就要排斥。

可以说黄小宁的这篇文章以及他一贯的主张，就是这类观点的典型代表。受到「有穷常规」的束缚和紧箍，而缺失最起码的「无穷启蒙」。使得黄小宁先生在《0295》中得出一系列的错误结论，如【百年病态集论】，【数学几百年重大错误：将两异集误为同一集】等。

(一)，有穷集的元素个数同无穷集的基数的规律和属性有重大差异。

众所周知，有穷集的「元素个数」有个重要属性：「当有穷集增加一个元素时，集合的元素个数就改变了，要增加1个，从而大于原集合的元素个数。」同理「当有穷集去掉一个元素时，集合的元素个数就改变了，要減少1个，从而小于原集合的元素个数。」

但是这个「有穷常规」并不适合无穷集合。对无穷集合来讲，并无「元素个数」这个严格定义的概念。只有「集合基数(势)」的概念。人们通常形象直观地把无穷集合的「集合基数」理解(比喻)为「元素个数」。但是要注意对无穷集合来说，上述「有穷常规」己不再适用」。具体说，「当无穷集增加(或去掉)一个元素时，甚至增加(或去掉)有穷个或可数无穷多个元素时(只要结果仍是无穷集)，:集合的基数并不改变，并不增加(或減少)，而是等于原集合的基数。」

这是有穷集和无穷集属性的重要区别。黄小宁先生的错误大多都是由混淆了此区别而产生的。

(二)，黄文的基本论断的错误。

黄先生说自然数集合N=｛0,1,2,3,......｝可以表示为N={(0,1),(2,3),(4,5),......}，两两配对。然后说【N 的子数列（集）N⁺={1,(2,3),(4,5)...}=｛n≥1｝是既有数偶又有“单身”数 1 的混合序列；“拆东补西”地让一偶数 n 与奇数 1 配对，n 的原“配偶”就成一新单身奇数，故 N⁺中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数从而使 N⁺不能成为数偶序列。为什么？因 N⁺中奇数比偶数多从而使 N⁺各数不可两两配对。关键：“拆东补西”不能使混合序列 N⁺变为没“单身”项的数偶序列。】

黄小宁先生的这个关于无穷数集N⁺不能完全配对的判断是完全错误的。他说的理由【因 N⁺中奇数比偶数多，从而使 N⁺各数不可两两配对】，之所以是错误的，因为N⁺中的奇数和偶数是无穷集，因而不存在少掉一个0就【奇数比偶数个数多】的问题，实际上由于是无穷集，在偶数集中既使再去掉有穷个甚至可数无穷多个数，只要剩下的偶数集还是无穷集，它的基数就同奇数的基数相等。

因而黄先生所做出的论断【“拆东补西”不能使混合序列 N+变为没“单身”项的数偶序列。】是错误的。实际上，N⁺=｛1,2,3,4,......｝不仅可以表示为｛1,(2,3),(4,5),......｝这种混合配对的形式，也可以表示为｛(1,2),(3,4),(5,6),......｝这种完全配对的形式。事实上黄先生自己就给出过H=｛(1,2),(3,4),(5,6) ,......｝。集合H和N⁺中的集合元素完全相同，按集合的外延公理是同一个集合H=N⁺。

同理，N=｛0,1,2,3,4,......｝不仅可以表示为｛(0,1),(2,3),(4,5),......｝这种完全配对的形式，也可以表示为｛0,(1,2),(3,4),(5,6),......｝这种混合配对的形式。事实上黄先生自己就给出过N'=｛0,(1,2),(3,4),(5,6) ,......｝。集合N和N'中的集合元素完全相同，N=N'。

(三)，【常识】的局限性。

黄小宁先生论述的依据，有所谓的【常识】，他以为「常识」是绝对普遍有效的。其实不然。很多【常识】都有它的局限性，只在一定的范围内适用。超过了这个范围，就没有意义了。黄小宁正是不了解这类【常识】的问限性:，才:得出了错误的结论。

他在文中是这样介绍所依据的这个【常识的】:

【数列（集）最起码常识 v：若数列（集）A 各数可两两配对而 B 各数不可两两配对则 A≠B。】

显然这是一个只适用于有穷集的【常识】，因为对于无穷集(这里指可数无穷)來说，所有的可数无穷集都是可两两配对的。证明很筒单。因为全体自然数集N是可两两配对的，因为所有的可数无穷集都可同N一一对应。按此对应就可使所有集合中的元素两两配对。

当然我们也注意到，由于N也是可以表示为混合配对，所以任何可数无穷集也都可以表示为混合配对。可数无穷集合既可表示为两两配对，又可表示为混合配对，两者并不矛盾。能表示为混合配对并不意味着不可两两配对。

无穷可数集合不存在不可两两配对的集合，所以这个在有穷集合下适合的【常识】。即用一个集合可两两配对，而另一集合不可两两配对来判断两个集合不相等的方法，对无穷集合来说，己经没有任何意义。显然，错误地把它用来推论两个无穷集合不相等，就是严重的错误。

(四)，黄文所推结论的错误。

(1)，【N≠N′】的结论是错误的。

黄小宁先生在推论中说【混合序列 N′各数不可两两配对，而 N 各数可两两配对，据常识 v，N≠N′。】

刚才己经说过，这种根据错误的论断和所谓【常识】不能推出正确的结论。实际上根据集合论的外延公理，两个包含元素完全相同集合是相等的集合，即N'=N。无穷集合N不仅可以完全配对而且可以混合配对。有混合配对的表示并不意味着【不可两两配对】。

(2)，由于N=N'，而不是N≠N'，所以黄先生由此得出的一系列结论都是错误的。

如：①【包含 N′的 N≠N′说明 N 中必至少有一 N′外自然数>无穷数列 N′一切数。】

由于N=N'，这个【N外自然数】纯属虚构。

②【所以 N′～N+ ⊂N 是似是而非的假 N。】

一点不假，由于N=N'，又一次证明N同N的真子集可以等势：N~N+⊂N。

③【几百年来数学一直将～N+的 N′误为 N⊃N+使中学一直有函数“常识”：定义域为 N+的一次函数 y=n-1 的值域 N′=N⊃N+～N′，从而使康脱推出：N⊃N+～N。】

在这里黄先生认为是【误为】的中学的【函数常识】一点也没错。同N的真子集N⁺等势的N'，即一一对应函数y=n-1的定义域是N⁺^,而其值域N'，确实就是同N相等的集合：N=N'。又一次验证了康托尔所推出的无穷集的属性：无穷集可以同它的真子集等势。

(3)，【N⁺≠H】是错误的。

黄先生说【N 各数 n 变为其后继 y=n+1>n 形成后继序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}（～N中各数可两两配对且其偶数与奇数一样多，而 N⁺各数不可两两配对且其偶数与奇数不一样多——说明 N⁺≠H～N。】

同前面讲的道理一样，根据错误的论断不可能推出正确的结论。实际上根据集合论的外延公理，H和N⁺是两个包含元素完全相同集合，因而是相等的集合，即H=N⁺。无穷集合N⁺不仅可以混合配对而且可以完全配对。有混合配对的表示并不意味着【不可两两配对】。

(4) 由于H=N⁺，而不是H≠N⁺，所以黄先生由此得出的一系列结论都是错误的。

①【包含 N⁺的 H≠N⁺说明 H 中必至少有一 N⁺外标准无穷大自然数 y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了 N 的“框框”而在 N 外。】

既然H=N⁺，这个【“更无理”地突破了 N 的“框框”而在 N 外】的【N⁺外标准无穷大自然数】就纯属黄先生的臆想，子虚乌有。

②【所以流传几百年使世人深信不疑的函数“常识”：“N 各数 n 的对应数 n+1 均∈N，定义域为 N 的 y=n+1 的值域 H={n+1≥1}（n≥0）=N⁺={n≥1}”其实是被假象迷惑而将 N 外数误为 N 内数从而将根本不同的两异数列（集）误为同一数列（集），】

由于H=N⁺，所以是黄先生的判断错误，而【世人深信不疑的函数“常识”】开没有错，在N同N⁺间建立一一对应的函数y=n+1的定义域为N，值域为H就等于N⁺ 。

③【进而使康脱推出康健离脱的病态“定理”：N～N⁺⊂N。所以 H∪{0}=U 是似是而非的假 N，几百年“U=N”是将假 N 误为 N。将各假 N 误为 N 自然就会将非可数集误为可数集。】

由于H=N⁺，N~H再一次验证了N同它的真子集N⁺等势。康托定理并无【病态】。

另一方面，由于H=N⁺，从而有U=H∪{0}=N⁺∪{0}=N，即U=N，这是真真实实的N，并不存在黄先生所得出的错误的结论：【几百年“U=N”是将假 N 误为 N。将各假 N 误为 N 自然就会将非可数集误为可数集。】

结耒语

黄小宁先生整文所得的结论【数列最起码常识凸显中学数学有几百年重大错误：将两异数列误为同一数列】。以及【数学将前所未知的 N 外自然数误为 N 内数从而张冠李戴地将两异数列（集）误为同一数列（集）就使康脱推出错上加错的更重大错误：无穷集可～其真子集。将各假 N 误为 N 自然就会将非可数集误为可数集。】这些全部都是错误的。

黄先生产生这些错误的根源，是由于他的思想僵化，顽固地受到「有穷常规」的紧箍。缺少「无穷概念」的启蒙。

(全文完)

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