Zmn-0129 樊毅：全称量词里的“所有”实际是“所有都”- 致一阳生老师和薛问天老师

【编者按。下面是樊毅先生发来的论文，评论《zmn-0124》一阳生先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

全称量词里的“所有”实际是“所有都”

- 致一阳生老师和薛问天老师

樊毅

pardonvan@163.com

我看到一阳生老师与薛问天老师的对话中有这样一个问题：

【如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。】

恰好我本人对逻辑的研究比对数学的研究要多一些，所以试着来回答一下这个问题，看看是否能对一阳生老师理解全称量词有所帮助。

我从《Zmn-0065  一阳生：两个问题》里查到了一阳生老师的原文：

【如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。

对于任一自然数n(或设n是自然数)，则以n为元素的。自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。设Ｐ是关于自然数的性质，性质P(n)真，则自然数集合中的元素如n+1、n+2，n+3等等关于性质Ｐ的真假并不确定，因为n可以取值(等于)自然数集合中的元素如0,1,2,3…,n，但无法取值n+1,n+2,n+3…。因为n不等于n+1,不等于n+2,不等于n+3等等。须用数学归纳法证明所有自然数关于性质P的真假，因为在假设P(n)真条件下，证明了P(n+1)真。】

一阳生老师的困惑，似乎在于这里：

他认为：【「任一自然数都是有限的」等于是说「所有自然数都是有限的」，但若用变量符号(如n)表达如「对于任一自然数n，n是有限的」则并不等于是说「所有自然数都是有限的」；还需要证明n'也是有限的。】

首先，“任一”确实不等于“所有”，这薛老师也已经解释过了。他说「任一同学的意见」，「每一同学的意见」和「所有同学的意见」是不同的。

但是，薛老师的另一个解释并没有说服一阳生老师，他说：

【但是在逻辑中，具体说在谓词逻辑中。在以x为变元的一元谓词P(x)前，加上全称量词:(x)P(x)，把全称量词解释为「任一」，「每一」和「所有 」时，对(x)P(x)的真假值并无不同的影响，要么三者都是真，要么三者都是假。也就是说，把全称量词作这三种解释是等价的， (x)P(x) 的真假值并无差別。】

我想这里的原因是这样的：

当我们说：「任一自然数都是有限的」等于是说「所有自然数都是有限的」是正确的。

指的并不是“任一x”=“所有x”，而是“任一x”=“所有x都”。如果少了这个“都”字，“任一x”和“所有x”就不等价了。

因此当我们说“任一x满足P(x)”时，实际是在说“所有x都满足P(x)”。这里的“都”是不能少的。

在数理逻辑中，全称量词有的写为VxP(x)，有的写为(x)P(x)，都是一个意思，表示的是“任一x满足P(x)”，但同时也是“所有x都满足P(x)”。

因此，「对于任一自然数n，n是有限的」确实等价于「所有自然数都是有限的」。

总结一下。

（1）“任一”、“每一”与“所有都”等价，而不是与“所有”等价。

（2）数理逻辑中的VxP(x)，或者(x)P(x)，表示的是“任一x满足P(x)”，同时也是“所有x都满足P(x)”。

少了一个“都”字，理解起来可能就产生了误会。

希望能对一阳生老师理解这个问题有所帮助。

（本文完）

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