Zmn-0113 薛问天：答林益先生的五个问题

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章，回答《zmn-0109》林益先生的问题。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

答林益先生的五个问题

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)

林益先生提出的第一个问题是【0有什么资格放在序数中？】说【 排序必须及物，无物为空，为空则无元素，无元素何来有序？】

我可以举个简单的例子，老师拿了很多小球，抛在地上让同学们抢。然后让同学们按抢到球的多少来排队，多的排在前面。请问没抢到球的同学排在哪里？肯定排在最后，因为0小于任何大于0的数。可见【 为空则无元素，无元素何来有序?】说得太绝对了。小孩没抢到球，手里无球这个元素，但还有小孩这个元素还在，难道小孩就不能按照手中的球的多少来排【序】了吗?

把0作为序数，就使得那些有某个性质为0的元素(如没有抢到球的小孩)，能同那些该性质不为0的元素(如抢到球的小孩)放在一起来排序。这就使自然数的排序功能增强了，使它的应用范围扩大了。而如果序数中没有0，有时则常常会带来不便。这点不难理解。例如在统计抽烟数量同肺癌得病率的对照表时 ，如果序数中没有0，则表中就无法列入不抽烟的人群的得病率。而这一项又是非常重要的具有比较意义的内容。

(二)

林益先生有关序数的陈述中，除了【序数】和【良序集】这两个概念是有严格定义的数学概念外，其它所用的词彙，诸如【有次序】，【有前后】，【不能颠倒】，【一种制约】，【一种限制】，【制约、限制关系】等全部都是没有确切数学定义的直观概念 。所以林先生所问的问题:【 既然良序集的元素之间存在制约、限制关系，那么序数之间是否也存在制约、限制关系呢？】

我确实没弄清林先生在问什么？不知林益先生所指的【制约、限制关系】是什么。

每个序数都是一个良序集，当然要滿足良序集的定义，受到定义的限制和制约 。最起码它是偏序集，要受到偏序「三性」的制约 ，仅就反对称性就要求若x≠y,则不能有x≤y与y≤ⅹ同时成立。自然【不能颠倒】。序数不仅受它是良序集 ，受到良序集定义的制约。序数本身也有很多属性，受到这些属性的制约 。例如所有序数都是「传递集」，即对任何序数a的任何元素b(它也是序数)的任何元素c也是序数a的元素。

综上所述，我最后回答林益先生的的结论是:  【序数要受序数定义的制约 】。这是最基本的。序数受到的各种制约都可由序数的定义推出。

任何序数都是良序集，但良序集的概念更广泛，并不是所有的良序集都是序数。关于良序集的定义链可参照下图。良序集和良序的定义依赖全序集和全序，而后者的定义又依赖偏序集和偏序。而偏序集和偏序的定义又依赖关系和集合的概念。

在良序集同序数间有这样的一个重要的定理。

定理。任何良序集A，都存在唯一一个序数α，使A同α可建立保序的一一对应。

我们把两个良序集之间能建立保序的一一对应称为它们具有相同的【序型】。于是序数就成为衡量良序集的【序型】的工具和手段。

定义(保序的一一对应)。把两个全序集X,Y之间的保序的双射y=f(x)，称为是保序的一一对应。所谓保序的双射即该双射滿足条件: x1≤x2当且仅当f(x1)≤f(x2)。

(三)

至于第一个 超穷序数 “ω”是怎么来的，就要回答ω是什么?  很明确，ω是全体自然数（有穷序数）及其序关系构成的良序集， w={0,1,2,3,...... }。自然数的序关系可以这样定义: 称a≤b，如果a=b或b可由a经有穷次的后继运算而得到。可以证明这样定义的序是良序，因而ω是良序集。

显然所有的无穷序列构成的良序集，如:
A0={a₁,a₂,a₃,......}，B0={b₁,b₂,b₃,......}......等，序关系定义为若n≤m，则a_n≤a_m，b_n≤b_m。

它们都可以同ω建立保序的一一对应。于是ω可以作为这些良序集A0,B0...等的【序型】。

可是对于如下的良序集，如:
A1={a₁,a₂,a₃,......,c₁}，B1={b₁,b₂,b₃,......,c₁}......等， 序关系定义为若n≤m，则a_n≤a_m，b_n≤b_m。并且对所有n都有a_n≤c₁，b_n≤c₁。

它们却不能同ω建立保序的一一对应。但是它们可以同集合ω+1= {0,1,2,......,ω} 建立保序的一一对应。于是ω+1可以作为这些良序集A1,B1的【序型】。

余此类推，就不仅有ω这个序数，还有了ω+1,ω+2,...等序数。以及后续的各序数。

我想这就是引入超穷序数的【理论根据】和【理论基礎】。即理论要满足实际的需要。 既然有这些良序集的存在(既使是理论上的存在)，就需要适当的序数来衡量它们的序型，从而就引入了所需的序数。这一切都是合情合理的。

(四)

是的，每个序数都有它的确定的、唯一的【值】，而且是【不会变化的】【定值】。但对【值】这个概念不能理解得过窄。序数的【值】不是自然数，不是有理数，不是实数.....。但又如同自然数的值是自然数，有理数的值是有理数......一样，序数的值是就是序数。每个序数都是一个确定的数学对象，可以认为这个对象就是它的值，而且相对于该序数来说，这个值是唯一的、确定的、不变的定值。

是的，序数是个良序集。序数之间有个【良序关系】。因而有林益先生心中所想像的【次序】，【前后】，【大小】，......。

序数之间的【序关系】是这样规定的。序数是传递集合。两个序数α和β，如果α全包含在β中，则称α≤β。如果 α≤β而且又有α≠β，则称α<β。显然按此定义，直接就可推出ω<ω+1。

注意这里所谓的【大小】是指的序数的序关系，不是指的集合【基数的大小】，不要混淆了概念。要知道ω和ω+1的基数是相等的。

这也是我想对林先生的建议。作为一个数学工作者，最好所用的每个词彙都应是在数学上有(或能有)严格定义的概念，不要用一些没有定义的【想当然】的概念，否则极容易引起混淆甚至产生错误。

(五)

林益先生说【 既然 ω 受 ω+1 的制约和限制，就表明 ω 有限制，既然 ω 有限制，是否表明 ω 是有限的呢？】

林先生的这段推理犯了严重的违背同一律的错误。在推论中把【ω有限制】同【 ω 是有限的】，这两个不同的命题视为是同一命题。自然是错误的。

     【ω有限制】是指序数ω<ω+1，并不是指【 ω 是有限的】。实际上ω是超穷序数，【ω大于所有有限序数】，即指对任何n有n<ω。从前者【ω有限制】得不出【ω是有限的】结论，因而否定不了【ω大于所有有限序数】。即从【 ω<ω+1】否定不了【 对任何n有n<ω】。这是两个无关的命题。

最后，让我们评论一下林益先生文中论述的序数的六大属性 。

【一、集合的元素必须按一定的次序排列 ; 】

【按一定的次序排列 】这不是严格的数学语言。用数学语言应该这么讲:【任何序数都是所有小于它的序数构成的集合。该集合是良序集。即在此集合的元素间有一良序关系。它的任何子集都有最小元，任何两个元素都是可比较的，而且满足偏序三性。】这里良序集合、良序关系以及全序、偏序都有严格的数学定义。
。

【二、元素必须能够一个一个的分别数出来；】

【一个一个的分别数出来】不是数学概念，不知它的确切含义是什么，所以无法判断是否正确。如果把它理解为【是可数的】(这是一个有定义的数学概念)，则这个断言是错误的。因为小于ω1的序数都是【有限的或可数的】集合，但大于等于ω1的序数都是【不可数的】集合。

【三、序数必须从 1 开始，通过+1，逐渐增加，】

(1) 序数包含0 ，是从0开始的。

(2)【 通过+1，逐渐增加 】这只是序数的第一生成方式，另外还有第二和第三生成方式。

【四、因为有次序表明元素排列有序，既然元素排列有序，所以序数有大小；】

用严格的数学语言说【序数是良序集】，良序关系就严格地说清楚了这些内容 。

【五、......，当数元素时，就等于通过一一对应的方法给元素进行编号，任一个元素的编号都是唯一的 ; 】

【当数元素时】，这不是严格的数学语言。严格地说应是，可以证明对任何良序集A，都有一确定的唯一的序数α，A同α可建立保序的一一对应。也就是说序数α表示良序集A的序型。

【六、最后一个元素的编号也表明是从第一个元素到最后一个元素的个数，即从第一个元素到最后一个元素的所有元素构成集合的基数。】

(1)大量的良序集都没有最大元，于是也没有【最后一个元素】。说【所有元素构成集合的基数】即可，不必涉及【最后一个元素】。

(2)序数衡量的是良序集的序型，而不是基数。例如所有介于ω_n和ω_(n+1)之间的序数α :ω_n≤α<ω_(n+1)的基数全相等，但是序型不同。

       (3)序数和基数之间有特有的对应规律。

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