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Zmn-0111 薛问天：《小明的困惑》是序数问题的一个「比喻」，评林益先生的《有感》
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Zmn-0111 薛问天：《小明的困惑》是序数问题的一个「比喻」，评林益先生的《有感》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章，评论《zmn-0110》林益先生的《有感》。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
《小明的困惑》是序数问题的一个「比喻」，
评林益先生的《有感》
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
读了林益先生对《小明的困惑》的评议后。觉得有必要很快作点解释。其它问题可稍后再说。
我写的《小明的困惑》，是对我们正在讨论的有关「序数」的问题，做的一个「比喻」。或者说是为了活跃气氛，讲了一个笑话，开了一个玩笑。读者可一定不要当真，笑笑而已。
我的意思是说， 【既然园主说了， 园内任何苹果都可以装在篮中。为什么小明的篮内没有装上全园的全部苹果，这不是矛盾吗？】
明显的答案是：这里没矛盾。 篮内没有装上园内的全部苹果，并不是由于苹果方面的原因，不是有些苹果不能装，而是小明的篮子太小装不下那么多苹果。显然，如果小明不是用的篮子，而是开了几辆大卡車，或者运来了集装箱，肯定可以把园内的苹果全部装完。
我是想用这个故事来比喻我们最近讨论的一个有关「序数」的问题。不是有这样一种观点吗。认为一方面说"任何序数都可以用 m×n 的二维黑白图像来表达”，而另一方面又说"m×n 的二维黑白图像表达不了 ω1 中的全部序数”，认为这两个命题放在一起是矛盾的。
我说这不是矛盾，有限图象【 表达不了 ω1 中的全部序数】的原因，不是由于【有些序数不能用有限图象表达】。任何序数只要你给它用一些符号的字符串命名，它都能【用有限图象表达】。它就如同苹果园中的苹果一样，只要你把它摘下来，任何苹果都可装在篮中。 篮内没有装上园内的全部苹果，并不是由于苹果方面的原因，不是有些苹果不能装，而是小明的篮子太小装不下那么多苹果。在这里也同样， 有限图象【 表达不了 ω1 中的全部序数】的原因，不是由于【有些序数不能用有限图象表达】。而是由于【篮子太小】,是由于所有【有限的的二维黑白图像】的集合的基数是「可数无穷」,它小于由ω1中所有序数组成的集合(即ω1)的基数「连续统」。基数小的集合P不能表达基数大的集合ω1的全部，不是由于ω1中有些序数不能用有限字符串表达。而是有限字符串不夠用，表达全部就会有重复。这就是我做的比喻。
当然比喻还有另一层意思。有人为了证明【 有限的的二维黑白图像能表达ω1 中的全部序数】，就把ω1分成S,T两部分不相交的子集合: ω1=S∪T，S ∩T= ∅。其中S是能表达的集合，T是不能表达的集合。然后用反证法证明T= ∅。证明思路是这样的。假定T不空，就存在T中最小元。这个最小元就表示为 ∩T=∩({a|¬ YouXian(a)}∩ω1)。这个最小元既然能有这样的【表示】，自然属于【能表达】的，而不属于T。这个最小元既属于T，又不属于T，产生矛盾，说明假定T不空不成立，于是 T= ∅得证。
殊不知，说此最小元是【能表达】时，使用的【命名表达系统】是将此表达 ∩T扩充到其中以后的，而在说此最小元是【不能表达】时，使用的是以前未曾扩充的 【命名表达系统】。这就如同说小苹果【不在篮中】是在还没有把它放在篮中以前时说的。而说小苹果【在篮中】是在把它放在篮中以后说的，是一个道理。这就是此喻的另一层意思。
当然，作为比喻，就有不完全一样的地方。例如小明的篮子是个有穷的器具，装滿了就不能再装了。而P集合是个可数无穷集，可以不断扩充，不断增加。可数无穷再添加有穷个元素，甚至再并入个可数无穷集，仍然是可数无穷集，永远不会【满】。当然不能添加基数是连续统的集合。所以它虽然可不断增加，但永远也表达不了ω1中的全部序数。这点同小明的固定大小的篮子是不尽相同的。
本来作画不需要作者解释，应给读者留有巨大的想像空间，任凭读者去评论。作者的原意已不重要 ，根本不需要作者做过多的解释。只是我是个沉不住气的人，于是说了些本不该说的多余的话。这本是应该由读者自已去思考和评论的事情，结果让我这个沉不住气的人给说出来了。扫了大家的情趣，实在抱歉。
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