Zmn-0073  黄汝广：关于薛问天《再谈无穷步演算的禁忌》

【编者按。下面是黄汝广先生的来信对薛问天先生《zmn-0030》中的文章进行了评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

关于薛问天《再谈无穷步演算的禁忌》

文老师您好！

看了下啄木鸟专栏薛问天《再谈无穷步演算的禁忌》，其中“例3.有理数序列的调换演算”是针对我的一篇论文，但是比他之前的《zmn-03论无穷的忌用》有了进步，终于承认我的无穷调换算法“不属禁忌之列，应予以认可和承认。”但他仍认为经过无穷调换演算会把一些有理数挤出序列，因而“原有的序列一个不多一个不少”这个判断不对。

薛先生似乎忘记了调换与对角线构造是同步进行的，如果对角线可以贯穿所有有理数，那就不可能有有理数被“挤出”。实际上，我和沈卫国先生早已经指出，因为数的进制问题，对角线法必然存在“漏项”问题（这是可以用数学归纳法证明的），薛先生认为被“挤出”序列的那些有理数，其实恰恰正是对角线的“漏项”。

薛先生说:"在有穷步演算下有些非常明显的论断，在无穷步演算后却并不成立。这点很重要，如果误以为成立就会得出错误的结果。"但是薛先生并没有给出有穷演算推广到无穷步演算后并不成立的判据，假如有一个判据，他也不至于一开始认为我的无穷调换算法属禁忌之列，但现在却又认为应予以认可和承认了。

我们知道，“一一对应”和“整体大于部分”这两个原则对于有限集合，都是适用的，那么，为什么“一一对应”适用于无穷而“整体大于部分”却不适用呢？如果我们不带任何偏见的话，纯粹的逻辑结论应该是：“一一对应”和“整体大于部分”不能同时适用于无穷集合，否则会导致矛盾。因此，如果不带任何偏见的话，为了避免矛盾，对于无穷集合我们既可以承认“一一对应”而否认“整体大于部分”，也可以承认“整体大于部分”而否认“一一对应”，甚至还可以认为两者都不再适用。

康托尔其实并没有给出他承认“一一对应”而否认“整体大于部分”的理由，因此这最多只能算是一个他个人的人为假设，对于我个人而言，我更倾向于承认“整体大于部分”而否认“一一对应”，这在逻辑上没有任何问题。事实上，如果我们仔细深究的话，“一一对应”并不是简单的一一配对，它还必须要求一一配对是可以完成的，并且配对完成后两者所剩均为空集，只有这样我们才可以说两者元素个数相等。因此，我反倒认为“一一对应”操作只能适用于有穷，无穷不适用“一一对应”恰是无穷的特性。

再说大名鼎鼎的希尔伯特无穷旅馆：按照希尔伯特的方案，确实是方便了新来的旅客，但是其他旅客却要被无休无止的折腾啊！请问，这种以无穷时间上的折腾来换取一个有限空间的操作，真的把问题解决了吗？我们只能说，纯数学家果然是不食人间烟火啊。

黄汝广  2019-11-20.

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