Zmn-0040「反对伊战」；对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复

【编者按。下面是「反对伊战」先生对Zmn-0039薛问天《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复

作者  反对伊战

薛问天先生在《评反对伊战的商榷(四)》一文中说“请大家注意，在 「反对伊战」先生最早的陈述中是没有「一阶逻辑」这个概念的。他是这样说的: 【 这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】”

   是的，我在《《科学出版社...此反智的书》一文中实数集的势》一文中没有「一阶逻辑」这个概念，因为，要解释清楚这个概念，颇费笔墨，方舟子的《新语丝》的读者看了，恐怕要头昏。所以，请不要苛求。 “【 这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】”这一段话是在一阶逻辑的意义下说的，即话中的“实数集的模型(model)”指的是一阶逻辑意义下的实数集的模型(model)，“实数集的公理”， 指的是“实数集的一阶公理”，用比较正规的话讲，上面引文的意思是：这个结论的意思是说，存在一个满足实数的一阶公理的模型，这个模型是一个可数集。对此，薛问天先生是应该明白的。因为，如果上面那一段引文不是在一阶逻辑的意义下说的，那么引文就与Löwenheim –Skolem定理（本文简称其为LS定理）无关了。如果薛问天先生一定要较真，说上面那一段引文不是在一阶逻辑的意义下说的，因为文中没有提到一阶逻辑，那么上面那一段引文就与LS定理无关了，这里，仍然不存在对LS定理的“误解”。所以，薛问天先生将他的文章《应正确理解Löwenheim –Skolem定理，由它得不出实数集可数的结论》

的标题改为《“实数集可以是可数集”的结论与Löwenheim –Skolem定理无关》会比较合适。

那么，薛问天先生是怎么得出我《…实数集的势》一文错误理解LS定理的结论的呢？原来，他对我的文章做了断章取义的理解。我在文章中说：

“实数集可以是可数集，这个结论并不荒谬，这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论 中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。

这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。”

薛问天先生在他的文章《应正确理解…》中说

“…有人拿出了Löwenheim –Skolem定理（本文简称其为LS定理），说^[1]：“自然数集与实数集等势”，更准确一些说，实数集可以是可数集，这个结论并不荒谬，这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论 中Downward Löwenheim–Skolem theorem 的一个特例。

这是对LS定理的一种误解，由LS定理得出的是实数的一阶理论可以有可数模型，并不等于说实数集是可数的，因为实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念。”

薛问天先生只引了我文章中话的前一段，而忽视了后一段话（“这个结论的意思是说，…”），而后一段话是说明前面“实数集可以是可数集”说法的含义的，不能被忽视。

薛问天先生在他的文章《应正确理解…》中说我的文章对LS定理有误解，现在，他是怎么说也说不圆，因为我的文章中并不存在对LS定理的误解。

薛问天先生在《评反对伊战的商榷(四)》中说“(反对伊战」先生)分辫不清实数的一阶理论同完整的实数理论的区别”、“「反对伊战」先生为了说明「实数可数」是把实数这个概念偷换了”,这些，都是站不住脚的，因为，我在《与薛问天先生商榷（四）》中就说了“我印象中，数理逻辑学家们谈起“实数集是可数集”时，“实数集”的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题，就好像两个学过大学数学的人交谈，一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形，而是一般黎曼几何中的三角形。” 既然数理逻辑学家们就是这样交谈的，那么，这么说就没什么问题，而不是薛问天先生所说的“分辫不清实数的一阶理论同完整的实数理论的区别”、“把实数这个概念偷换了”。毕竟，语言是一种约定俗成的东西。

 关于“从模型内和模型外看，可以有不同性质”，这里有一个现成的例子，那就是我《…实数集的势》中的一段话，那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型，而这个模型是可数集。我说

“康托在19世纪末证明了实数集与自然数集不等势，即不存在实数集与自然数集之间的一一对应(bijection)。这个结论（注：指“实数集可以是可数集”）与康托的结论并不矛盾。在这个模型内部，并不存在这个集合到自然数集的一一对应，而这个集合又是个无穷集，所以，从模型内部看，这个集合是个不可数集，这与康托的结论相符。但，这个集合到自然数集的一一对应是存在的，虽然，一一对应映射不在模型中，所以，从模型外部看，这个集合是个可数集。”

薛问天先生说我说过“我为何华灿先生进行的辩护是有效的”，确实如此。在2012年，方舟子的《新语丝》上发表了一篇文章，说“这两天在新浪微博看到一些网友转载的帖子，说是科学出版社去年出版《统一无穷理论》，其基本观点完全错误，甚至可以说是反智的。原来该书作者竟然能断定自然数集与实数集等势！ 这毫无疑问是极其荒谬的。”

我写了一篇文章《关于《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中实数集的势》》说：“我在这里做一些说明。“自然数集与实数集等势”，更准确一些说，实数集可以是可数集，这个结论并不荒谬，这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论 中Downward L?wenheim–Skolem theorem 的一个特例。”

我的意思是不能仅凭“自然数集与实数集等势”一句话就断定其理论是荒谬的（因为逻辑学家们也说“实数集可以是可数集”），而要看上下文才能判断。所以，我为何华灿先生进行的辩护是有效的。注意，我这里并没有说何华灿先生的理论是对的，其实，我当时对何华灿先生的理论知之甚少，我在上面的文章中也说了“《统一无穷理论》这本书我没有看，只看了一点简介和书的目录”。

顺便说一下，后来我看了《统一无穷理论》一书，何华灿先生的理论是错误的。何华灿先生在书中说他的无穷大可以通过一个一个地数数来达到，而通过一个一个地数数来达到的都是有限自然数，所以，何华灿先生的无穷大是一个有限自然数，比如说500。在这样的无穷大概念基础上建立的理论就可想而知了。

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