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zmn-0039 薛问天: 评「反对伊战」的商榷(四)

已有 2021 次阅读 2019-7-13 17:48 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0039 薛问天: 评「反对伊战」的商榷(四)

【编者按。下面是薛问天先生对《Zmn-0038反对伊战；与薛问天先生商榷（四）》的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

评反对伊战的商榷(四)

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 「反对伊战」先生说: 【我文章中“实数集”一词是指一个满足实数诸（一阶）公理的模型。薛问天先生对此是不赞同的，他说：“要知道实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念”。可是，我印象中，数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题，】

请大家注意，在「反对伊战」先生最早的陈述中是没有「一阶逻辑」这个概念的。他是这样说的: 【这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】

当然后来「反对伊战」先生增加了「一阶逻辑」的概念。但是关健还在于「实数的一阶理论的模型」同【实数集的模型(model)】是不同的概念。

实数集之所以不同于「实数的一阶理论的模型」，其中很重要的原因就在于「实数的一阶理论的模型」并不等同于【实数集的模型(model)】。

也就是说，要了解「一阶逻辑」的局限性。要知道有些实数的性质是用一阶逻辑不能表达的，它需要二阶逻辑。例如「上确界」的概念就需要二阶逻辑。因而实数理论中的一个重要性质「任何有界的非空实数集合都有上确界」，在实数一阶逻辑理论中无法表达。

此外还有一些性质在一阶逻辑中无法表达，如集合的有穷性(集合同它的真子集不可一一对应)，以及集合的可数性(集合能同自然数集一一对应，或在集合所有的的两个无限子集之间存在双射。)等都是在一阶逻中表达不了的，需要二阶逻辑。

下面我们仅对可数与不可数的性质需要二阶逻辑作以解说。

我们用∀表示全称量词「任意的，所有的」，∃表示存在量词「存在有」。
设R是实数集，N是自然数集。f是函数符号。

「f是N→R函数」= (∀x∈N)(∃y∈R)[y=f(x)] ∧ (∀x1,x2∈N)[x1=x2→f(x1)=f(x2)]。

「f是N→R双射」= 「f是N→R函数」 ∧ (∀y∈R)(∃x∈N)[y=f(x)] ∧(∀x1,x2∈N)[f(x1)=f(x2)→ x1=x2]。

「R是可数的」= (∃f)[ 「f是N→R双射」]

「R是不可数的」= 乛「R是可数的」= (∀f)[乛「f是N→R双射」]

由于在表达式中对函数f加了量词(∃f)和(∀f)，所以说「R是可数的」和「R是不可数的」都属于二阶逻辑。

另外也己严格证明: 二阶逻辑不能归约成一阶逻辑。

许多常见的公理系统，如一阶皮亚诺公理和包含策梅洛-弗兰克尔集合论的公理化集合论等，都可以形式化成一阶理论。然而，一阶定理并没有能力去完整描述及建构如自然数或实数之类的概念。这些结构的公理系统可以由如二阶逻辑之类更强的逻辑来获取。

有趣的是「反对伊战」先生知道自然数的一阶逻辑系统的局限性，他说: 【标准自然数（即我们小学学的自然数）集是无法定义的(薛注。自然数理论用一阶逻辑无法定义，但可用二阶逻辑完整定义)。用一阶公理定义的自然数集可以是非标准自然数集（即是满足自然数集一阶公理的模型，但又不是标准自然数集）。】却分辫不清实数的一阶理论同完整的实数理论的区别。

作学问不能道听途说，要具体仔细地研讨。

你说的【 “从模型内和模型外看，可以有不同性质”，】这种【不同性质】是否也包括，实数集可数又不可数。能否具体一点，怎么【从模型内和模型外看，】怎么【实数集可数又不可数。】讲出来大家听听！

另外。「反对伊战」先生在七年前的跟帖中曾说: 【因为Model Theory课是多年前学的，那些复杂的词我记不清了，所以“一阶实数理论的模型”到我笔下，就成了“实数集”或“实数集的模型”。】

在他说完此段话后又补充了一句:。【不过，我为何华灿先生进行的辩护是有效的。】这个补充表示他坚持【为何华灿先生进行的辩护】，但是事实上这样的辩护应该说是一种错误。

你知道何华灿先生在他的书中是怎么证明实数可数的吗?他把「可数的」定义给篡改了。「可数的」原来的定义是可同自然数一一对应。何先生把它篡改成同「完整的自然数」一一对应。而「完整的自然数」按照何先生的定义就是无穷位编码数，它的势就是连续统，实数同它等势。于是何先生就由此得出「实数可数」的结论。对于这样的荒谬「理论」，「反对伊战」先生竟然还要为其辩护，不能不说是一种错误。

何先生为了论证「实数可数」，是把「可数」这个概念偷换了。而「反对伊战」先生为了说明「实数可数」是把实数这个概念偷换了。真可谓有「异曲同工」之妙。

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