Zmn-0029-1薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答（上篇）。

【编者按：薛问天先生评论了师教民先生在Zmn-0028发表的回答，现将该文（上）发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

争论的目的是求得共识。
评师教民先生在zmn-0028的回答（上篇）。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我们不是为争论而争论，争论的目的是为改正错误 ，求得共识。

争论首先要明确我们争论的问题是什么。不然争来争去都不知是在争论什么?怎么会有结果。

我们争论的核心问题是什么？文请慧老师说得非常清楚。

【 这里有两种截然不同的意见，一种意见认为薛先生完全是胡言。一个符号只能表示一个东西，怎么能是不同的微分变量。dx=Δx同dx≠Δx就是矛盾，悖论，甚至错误。

一种意见认为薛先生讲的有道理。在明确说明的条件下，同一符号dx可以表示不同的微分变量。既然是不同的变量，有的等于Δx，有的不等，这就很正常，这里没有矛盾，微积分的基础没有问题。】

我确实不想【强加】给师教民先生任何观点，请师教民先自己说，你现在究竟同意哪种观点。

一。师先生现在是否还坚持认为dx≠Δx同规定dx=Δx有矛盾?

在师教民先生的答文(指zmn-0028)中我惊喜地发现有这样一段话:
【我对薛问天先生的结论1)中的公式(A)(B)(D)的正确性没有异意。】
没有「异意」，那就是「同意」了，达到了共识。我们来看这些公式是什么。我的原文是这样写的。

〖 设有可导的函数y=f(x)，x=g(y)，f和g互为反函数，即y=f(g(y))。我们知道:
dy=Adx，A=f’(x)=dy/dx......①
dx=Bdy，B=g’(y)=dx/dy......②  〗
〖 为了叙述方便，我们把①同②中的dx、dy分别记作为dx①，dx②，dy①和dy②。
由于f和g互为反函数，导数互为倒数: f‘(x)=1/g’(x)。所以有
(dy①/dx①)=1/(dx②/dy②)......(A)

再根据倒数的性质有
(dy①/dx①)=1/(dx①/dy①)......(B)

师先生由(A)和(B)就直接得出结论:
dx①=dx②,dy①=dy②......(C)

从(A)和(B)能得出结论(C)来吗？显然不能。由(A)(B)证明不了(C)，而只能证明:
(dx②/dy②)=(dx①/dy①)......(D)  〗

尽管在由(A)和(B)能否直接推出(C)的问题上我们之间目前还有「异意」(我后面再作分析)，但是对于公式(A)(B)(D)的正确性，师先生表示他没有「异意」。

要知道这几个公式的基础是把①式同②式中的dx看作两个变量，分别记作dx①和dx②，dy也看作两个变量，分别记作dy①同dy②。既然师先生认可了这几个公式的正确性，自然对于这种把①式和②中的微分着作不同变量的看法也应无「异意」。

很好。我们就用这个师先生现在己无异意的观点来分析一下师先生原来所提出矛盾的两点理由。

1)  师先生说:【 设y=√x，x=y^2，故dx=2yΔy=2√x(√x2-√x1) ≠(x2-x1)=Δx。】

想用此来说明这里的dx≠Δx与规定自变量微分dx=Δx发生矛盾。

如果用现在的观点来看，这里论证的是dx②≠Δx。而自变量的微分指的是dx①=Δx。请问师先生，你现在还坚持认为这里的 dx②≠Δx同 dx①=Δx有矛盾吗?。

2)   在y=f(x)，x=g(y)互为反函数的情况，可证dydx=ΔyΔx。师先生说【如果规定dx=Δx，那么就必然有dy=Δy，这就同Δy=dy+o(Δx)≠dy相矛盾了。从而进一步敲定了极限理论中规定的dx=Δx是错误的。】

按照现在的观点，实际证明的是
dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。自变量微分规定的是dx①=Δx，所推出的只能是dy②=Δy。这同dy①≠Δy一点矛盾都没有。师先生你现在还坚持认为 dy②=Δy同dy①≠Δy有矛盾吗?

师先生文(zmn-0023)中说【“把两个不同变量误以为是同一个变量”是薛问天先生强加给我的。】也就是说师先生早己认识到dx②同dx①是不同的变量，dy②同dy①是不同的变量。既然是不同的变量，一个等于Δx(或Δy)，而另一个不等，矛盾何在？

请问 师先生现在是否还坚持认为原来提出的dx≠Δx同dx=Δx有矛盾，dy≠Δy同dy=Δy有矛盾吗?

二。师先生新提出的的矛盾也是错误的。

师先生还没有承认原先提出的所谓「矛盾」是错误的。文中又新提出了 dy①dx②≠dy②dx①同 dy①dx②=dy②dx:①的矛盾。其实，这个新提出的矛盾也是错误的。

师先生在文中说【根据极限理论中函数微分的定义，ΔxΔy=[dx②+o(Δy][dy①+o(Δx)]≠dx②dy①。即dy①dx②≠ΔxΔy，这与薛先生提出的公式(E)dy①dx②=ΔxΔy相矛盾。】

师先生在这里毫无根据地武断地说:
ΔxΔy=[dx②+o(Δy][dy①+o(Δx)]≠dx②dy①。

也就是说，如果我们把上式展开，
ΔyΔx=(dy①+o(Δx))(dx②+o(Δy))= dy①dx②+β。

其中β=dy①o(Δy)+o(Δx)dx②+o(Δx)o(Δy)，
师先生毫无根据地武断地说，在这里β不等于0。

师先生的这个判断又错了。在y、x互为反函数的条件下我们严格地证明了ΔyΔx=dy①dx②(这是师先生认可的D式的变形，即E式)。这就意味着我们严格地证明了在这里β一定等于0。

为了帮助师先生理解这个事实，我们用实例来验证一下，就用师先生的例子。y=f(x)=√x，x=g(y)=y^2。

设x0=1，y0=1，因而f’(x0)=1/2，g’(y0)=2。
设x1=4，则Δx=x1-x0=4-1=3，dx①=Δx=3。

Δy=√4-√1=2-1=1，dy②=Δy=1。

dy①= f’(x0)Δx=(1/2)*3=1.5，

o(Δx)=Δy-dy①=-0.5,

dx②=g’(y0)Δy=2*1=2，

o(Δy)=Δx-dx②=3-2=1。

验证。 dy①dx②=1.5*2=3，

dy②dx①=ΔyΔx=1*3=3。

可见 dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。

另外，可验证β等于0。

β=dy①o(Δy)+o(Δx)dx②+o(Δx)o(Δy)

=1.5*1+(-0.5)*2+(-0.5)*1=1.5 -1 - 0.5=0。

如果上例中设x1=9，

则Δx=x1-x0=9-1=8，dx①=Δx=8。

Δy=√9-√1=3-1=2，dy②=Δy=2。

dy①= f’(x0)Δx=(1/2)*8=4，

o(Δx)=Δy-dy①=-2,

dx②=g’(y0)Δy=2*2=4，

o(Δy)=Δx-dx②=8-4=4。

验证。 dy①dx②=4*4=16，

dy②dx①=ΔyΔx=2*8=16。

可见 dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。

另外，可验证β等于0。

β=dy①o(Δy)+o(Δx)dx②+o(Δx)o(Δy)=4*4+(-2)*4+(-2)*4=16-8-8=0。

为了加深对此问题的几何直观印象，我画了一张图。图中横坐标为X，纵坐标为丫。

其中 dy①dx②=(紫+蓝)=1.5*2=3，

dy②dx①=(紫+红)=ΔyΔx=1*3=3。

可见 dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。

由此可知(蓝)=(红)。

另外，

dy①o(Δy)=(红+白)，

o(Δx)dx②=-(蓝)，

o(Δx)o(Δy)=-(白)，

由于(蓝)=(红)，所以β=(红+白)-(蓝)-(白)=0。

把该图的坐标轴翻转，横坐标是丫，纵坐标是X，可以看清ⅹ是y的函数的情形。
、，

三。论断dx①=dx②，dy①=dy②(即式C)是错误的。

我真不知师先生是怎样的逻辑。从微分概念和定义上明明说得很清楚，dx①是自变量微分，dx①=Δx。dx②是函数x=g(y)的微分，dx②=g'(y)Δy，Δx=dx②+o(Δy)。一般地，dx①不等于dx②。从实例上看，在上述第一个验证例中，dx①=3，dx②=2，不相等。在第二个验证例中，dx①=8，dx②=4，同样不相等。师先生原来论证存在矛盾的根据也是由它们不相等的事实引起的。不知师先生为什么现在总是费尽心机企图证明它们相等。但这只能是枉费心机，所有这些证明都是错误的。

师先生说什么【单从数学运算的角度来考虑，我是不能从(A)和(B)得出结论(C)来的，但是从数学运算角度和数学概念角度两方面来考虑，我就能从 (A)和(B)得出结论(C)来。】
数学推论只有一个逻辑标准，不分是哪个角度和方面。得不出的结论，无论如何都不可能变成得出的结论。我们来看师先生的推论中的错误。

由导数定义知 x’=dx②/dy②，师先生由公式(D)得知dx②/dy②=dx①/dy①，因而得出 dx①/dy①=x’。这一切都没有问题是正确的。关键是后面推出的结论有错。师先生由 dx①/dy①=x’，就直接得出结论说:【根据导数的定义知，dx①是因变量的微分，dy①是自变量的微分。】

由导数的定义得不出这样的结论。我们知道x=g(y)，按照导数的定义只能得出x’=dx②/dy②,其中dx②是因变量的微分，dy②是自变量的微分。这里的等式dx①/dy①=x’只是在x,y互为反函数的情况下推导出来的一个等式，并不是导数的定义，怎么能说 【根据导数的定义知，dx①是因变量的微分，dy①是自变量的微分。】实际上，由于y=f(x)，按照导数的定义，dy①/dx①=y’，早己明确dy①是因变量的微分，dx①是自变量的微分。因而由 dx①/dy①=x’推断出【dx①是因变量的微分，dy①是自变量的微分。】是错误的 。既然这里推断是错误的，而由此在后面推断出来的结论 dx①=dx②，dy①=dy②(即式C)，也是错误的。

师教民先生信誓旦旦地说【如果在薛问天先生和我的讨论中证明了我的观点错误，我一定会向全科学界的所有朋友公开承认错误！】

我非常钦佩师先生的勇气。现在考验师先生「勇气」的时候到了。我上面提出了师先生的三点错误，不知师先生是否有勇气承认。

(未完待续)

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