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看了这篇博文，感觉讨论这些问题还是必须有点数学分析的知识，不然只会是研究一点皮毛。

$%uFF081+x)^n=1+c_n^1 x +c_n^2 x+ ... + c_n^r x^k+...+ c_n^{n-1} + x^n.$ $(1+x)^n=\sum_{k=1}^{n}c_n^kx^k.$

这个就是高中的二次项定理公式。

适用于数值计算。问题是要计算前几项就能保证误差小于一定 $\epsilon$ ?

例如求

$(1+0.01)^{365}$ , $(1+0.0001)^{365}$ ,   $(1+x)^{n}, \text{n is const}, x<<1$

其实这就是 在数学分析中数列和收敛的判定，

$r_k=|\frac{a_k}{a_{k-1}}|=\frac{c_n^k x^k}{c_n^{k-1}}$

$\exists k, j>k, s.t. r_j <1$ , 那么之后的数列是收敛滴，所以只要算k项之前数列和作为近似。

例子1，计算得出第4项之后收敛，所以大概前5项比较精确。例子2，第2项之后收敛了。

                                 （Fig 1 $c_n^k x^k, x=0.01$ ）

                             (Fig 2 $c_n^k x^k, x=0.0001$ )

启示： Talyor级数用来做近似要特别小心，不是所有的一次近似 $f(x) \approx f(x_0)+ f'(x_0)x$

都可以满足误差要求滴。