立体空间的镶嵌是一个非常有趣、同时也较难的问题。用四面体来填充空间，早在柏拉图时代就被探讨过。对此问题，亚里士多德本人曾有个断言，正四面体可填充欧几里得三维空间，但1000多年后被指出该断言是个错误，而可填充空间的四面体始终没有发现。直到20世纪初，可填充空间的四面体才被英国人萨默维尔（Ｄ. M. Y. Sommerville）发现，他找到四种四面体[1]。后来塞尼查尔（Ｍ. Senechal）指出还存在别的四面体能填充空间[２]。 图1显示，四种可填充空间的萨默维尔四面体都源于一个基本的四面体。这一基本四面体的每个面全等，并且三边长度分别是2，，。
折纸作为民间艺术本无关于镶嵌。本文作者意外发现，用一张A4纸可折出包括上面基本四面体的数十种连体四面体。其中一种折法竟然允许同样大小的四面体的数量无限增多。这说明上述基本四面体有良好的折纸性能，也说明折纸与空间镶嵌存在密切关联。 A4纸的规格是按照1：的比例切出的，从而它有自相似性。沿长边对折后的半页纸和原来的纸有相同的长宽比。本文建立的定理断言，可以将2n2以及4n2个大小均等的鸡蛋安放在一张足够大的1：纸中，确保不撕破纸的同时，鸡蛋被逐个地分隔包裹在一个个四面体空腔中。 四面体在中国传统食品粽子的形状中体现得很突出。撇除文化元素的含义，这一结构可能在工业上制备大型集热散热设备、建筑物基础等方面也有应用价值。
问题的提出 首先需要指出，本文题目中所言是一张不限大小的纸，但是长宽比限定为1：。既然纸的大小无限制，鸡蛋的数量就应该是无限量的。这是通常的思维，在这里也是正确的。
受工业界包装材料中的发泡塑料和药片平板包装（图2）启发，本文要解决的问题是，是否存在某种整体的折纸方法，能类似地让一张特定形状长方形纸分隔出可容纳有限个或任意多个鸡蛋的空腔。如果存在这种方法，又有多少种方法可以实现这一目标。我们仅针对四面体空腔进行了探索。这一问题不仅有纯数学和美学的意义，还可能有潜在的应用价值。 问题的解决
引理1 长宽不等的任意长方形可以包裹一个四面体。
证明：如图3所示，过长方形四边的中点A、B、C、D作4条谷形折痕AB、BC、CD、AD。过长边的中点A、C作谷形折痕AC。按箭头所示方向聚拢这些折痕。由 于DB>AC，AC、DB不共面，说明此四面体存在。
引理2 一个长宽比是1：的长方形可以分割包裹2个四面体。每个连体双四面体包含全等的2个四面体。
证明：包裹法至少有3种。
情形1。在引理1的折痕模式下复制产生上下两个四面体折痕，中间相连。产生的是紧靠在一起的两个四面体。有一个面贴合在一起，见图4。
情形2。如图5所示，制作6条斜向折痕和一条水平折痕，除AA′为山形折痕外，其余一律为谷形折痕。围拢即可产生带有一条短边相连的双四面体结构。
情形3。如图6所示，制作4条斜向山形折痕和一条水平谷形折痕，围拢即可产生带有一条长边相连的双四面体结构。
引理2中情形3的折法是“左包到右”，设想如果图6这一双四面体通过复制自身再自DE边整体平移至AB边，会得到一个4连体的串形结构。再注意到2：=：1，接长后的四面体串所对应的长方形并没改变1：的比例！由此推得，1：长方形也可包裹4个四面体。见图7。 为了更一般地探讨继续拓展四面体数量的可能，自然的想法是探索两个4连体串拼接而成的拼合体（见图8中的右部）。通过把它从适当的位置剪开展开到A4纸上，发现图8左边的折痕图就能成功实现右边的8-四面体连体结构。其中所有折痕中，斜向折痕都是山形折痕；水平和竖直折痕都是谷形折痕。 由此，可以类比地建立如下普遍适用的一般结果。
定理：对于每个自然数n，一个1：的长方形可以将2n2或者4n2个特定四面体分隔包裹。
证明：在以上的折纸方法的基础上，可以让8个四面体的分隔包裹结构向上复制拓展到8行2列，进而横向复制发展到8行4列。在此基础上继续上述过程，可以得到16行4列和16行8列。这个过程可以交替发展，保持纸的长宽比1：始终不变。用序列的方法表示为 （1,1）→（2,1）→（4,1）→（4,2）→（8,2）→（8,4）→ …… 每次拓展可以让四面体数量翻一番。于是这就产生了所有2n个四面体的包裹方法。 2n属于定理所称两类数中的特殊情况。因为当n为奇数时，2n是完全平方数的2倍： ；当n为偶数时，2n是完全平方数的4倍： 。对于定理中所说的其他情形，可以采用减数法得到。具体来说，设2n2介于22k-1与22k+1之间，将包裹完成的22k+1个四面体阵列自上而下剪除一些行，同时自右而左剪除一些列，使得剩余的行数为2n，列数为n。检验这个包裹的展开图是否还是1：的长方形。显然它展开后的高相当于2n个小三角形的高之和，底边长为2n个小三角形的底边之和，符合1：。同理可以证明，4n2个四面体也可以用1：长方形的某22N结构的基础上剪除一定比例的行与列实现。 图9 上述找到的一般方法基于同时等比例增减行列数目。例如图9中灰色的区域是可以实现8个四面体的分隔包裹。扩充到白色区域后可以实现对18个四面体的分隔包裹。当行与列同时增加2（行由4行增加到6行，列由4列增加到6列），1：的比例不变。容易看出，这一递推过程在折痕上来看是隔行（列）复制。
目前笔者已经发现，还存在别的方法可以实现包裹无穷多四面体，并且该方法实现了对空间的镶嵌。限于篇幅，在此仅作预告。迄今本文这个结果或许可以用于建筑和太阳能等领域。弗罗斯特（J. Frost）和 卡格尔（P. Cagle）还利用填充空间的概念设计了教学活动[3]。这个能实现的折纸模型将更有利于这类活动的开展。当纸的长宽比放宽到任意比时，连续折出的四面体数量将可以是任意的正整数。比如图10所示的购物袋折成的４８个连续四面体结构。期待更多人来发现它的美妙用途。 （本文作者常文武为上海市普陀区现代教育技术中心教师，梁海声为上海汉威信息技术有限公司研发总监。） [1] Sommerville D M Y. Division of space by congruent triangles and tetrahedra. Proc Royal Society of Edinburgh, 1923, 43: 85. [2] Senechal M. Which Tetrahedra Fill Space? Mathematics Magazine, 1981, 54（5）:227. [3] Frost J，Cagle P. An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron［EB/OL］.［2012-04-12］:http://mathforum.org/pcmi/hstp/resources/dodeca/ paper.html.……
