1.设 $f(z)$ 在单位圆盘 $U$ 中解析且 $f(0)=0.$ 如果 $|\textrm{Re}f(z)|\leqslant A (A>0)$ 对所有的 $z\in U$ 都成立，则下列不等式成立.

$$(1) |\textrm{Re}f(z)|\leqslant \frac{4A}{\pi}\arctan|z|. (2) |f(z)|\leqslant  \frac{2A}{\pi}\log\frac{1+|z|}{1-|z|}.$$

提示: 根据“流程图”(几何上)令

$$g(z)=\frac{e^{i\frac{\pi}{2A}f(z)}-1}{e^{i\frac{\pi}{2A}f(z)}+1}.$$