若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个邻域内连续？

这曾经出现在华东师范大学2009年数学分析考研试题上，判断是否正确，正确给出证明，错误举出反例.

显然这是不对的！只能推出在 $x_0$ 点连续.举例也很好举，利用 $Dirichlet$ 函数构造即可.例如

\[f(x)=x^{\alpha} D(x) ,x\in[-1,1] ,\mbox{其中}\alpha>1,D(x)\mbox{为}Dirichlet\mbox{函数}\]

显然 $f(0)=0,f'(0)=0$ 但是 $f(x)$ 在 0 的任何邻域都不连续.