1.证明 $\sigma$ 代数不可能是可数无穷的，即要么是有限的，要么是不可数的.

2.构造反例说明当 $\mu$ 不是 $\sigma$ 有限时，它从半集代数扩张到最小 $\sigma$ 代数上的扩张可能不唯一.

3.举例.非 Borel 集的 Lebesgue 可测集.

4.设 $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ 为概率空间，$A\notin\mathscr{A}$.令 $\mathscr{A}_{1}=\sigma(\mathscr{A}\bigcup \{A\})$,证明 $\mathbb{P}$ 可以扩张为 $\mathscr{A}_{1}$ 上的概率测度.

5.举例. $\displaystyle\xi_{n} \mathop{\longrightarrow}^{\mathbb{P}} \xi$ ，而 $\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\xi_{k} \mathop{\nrightarrow}^{\mathbb{P}} \xi$ .

6.设 $\xi_1,\xi_2,\cdots$ 是 i,i,d. 随机变量序列，分布律为 $\mu$ .给定 $A\in\mathscr{B} ,\mu(A)>0,$ 定义 $\tau=\inf\{k:\xi_k\in A\}.$ 证明: $\xi_{\tau}$ 的分布为 $\displaystyle\frac{\mu(\cdot\bigcap A)}{\mu(A)}$.