上面的音乐是来自棋魂的钢琴曲

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前几天看了应行仁老师关于博弈的一系列博文，在“从自私走向合作——6善良的回报”后面留了言：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=679411

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[11]张云  2013-4-12 20:40

例如15个程序14个是邪恶的，剩下的一个TFT应该拿不到总分第一。

博主回复(2013-4-13 01:50)：对。下一篇将讨论这个情况。

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后来一想觉得我的想法太极端了，如果15个程序13个是邪恶的，TFT能不能拿到总分第一呢？推了下发现似乎真的可以。无论类似于AllD的邪恶程序有多少，只要有2个TFT，TFT就能拿总分第一。

首先还是引用应老师的定义：

AllD:一律不合作

TFT:第一次合作，以后就照抄上一回合对手的策略。

   假设参与游戏的有x个类似于AllD的策略，y个类似于TFT的策略，两两捉对交锋150次：

       上表的内容其实挺直观的，还是解释一下吧：

AllD会遇到 $x-1$ 次AllD，每次交锋背叛150次，获得150P，共获得150P(x-1)的收入；遇到y次TFT，因为TFT第一次没有背叛，所以AllD获得 149P+T，共获得 (149P+T)y的收入。

TFT会遇到x次AllD，第一次没有背叛，然后背叛149次，获得149P+S，共获得(149P+S)x的收入；遇到 $y-1$ 次TFT，合作150次，获得150R，共获得150R(y-1)的收入；

AllD的总收入为：

$150Px-150P+149Py+Ty =150Px+150P(y-1)+(T-P)y$

TFT的总收入为：

$149Px+Sx+150Ry-150R =150Px+150R(y-1)-(P-S)x$

此时第一项两者相同，

第二项TFT多获得 $150(R-P)(y-1)$ ，                                  

第三项AllD多获得 $(T-P)y+(P-S)x$ ，这与第一次交易相关。

R-P、T-P、P-S是等数量级的，y-1，y，x也是等数量级的。TFT多个150的倍数。（错误！）

如果x=13，y=2，T-P=2(R-P)=2(P-S) ，TFT多获得的钱差不多是AllD的8.8倍。

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当然如果我们忽略掉第一次的情况，过程还可以更简化一点：

很明显： $149(x-1)+149Py=149Px+149P(y-1)$

是小于 $149Px+149R(y-1)$ 的。

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结合应老师的博文，这次计算给我的启示是，

邪恶者的眼中，所有对手都是邪恶的，包括TFT、Grim。而善良者能发现身边的善良者并与之共同获取更大的价值。

或许我们周围有很多邪恶的存在，但是只要有一个善良的存在，我就能和他一起获得比邪恶多得多的利益。当然，我们两个必须使用TFT或Grim一类的策略。

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公式一上一下的显得好不专业，算了，明天再改。

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补充：本文开头的结论“无论类似于AllD的邪恶程序有多少，只要有2个TFT，TFT就能拿总分第一。”是建立在忽略掉第一次交易的条件下的。如果要考虑第一次交易，必须：

${\color{Red} 150(R-P)(y-1)-(T-P)y-(P-S)x>0}$

TFT才能拿总分第一。感谢应老师的指点。

公式中150为交易次数，其实也应该用个变量代替。