前面讲过了电感L会导致电流滞后，电容C会导致电流超前，那么把R、L、C串联在一起会发生什么情况呢？

U为正弦电压时，这个电路有3个电位点D、E、F，可以用示波器观察三个波形，也可以用交流电压表测量U_D、U_E、U_L、U_R、U_C。右方的动态图反映了某种情况下这5个电压随时间的变化，以前是用指针表或者颜色变化来表示的。动态图中U_F就是U_L，其实应该还有一个电压U_DF，但我不想把下标有两个字母的电压添进来。

相量法可以说是天才想出来的解法，解题很方便，但也有可能让我们错过上方右图这种精彩的动态过程。设感抗为X_L、电阻为R、容抗为X_C时，这个电路的相量法求解思路如下：

交流电压表测出的U_R≠U_E-U_L，如果L是理想电感，那么这三者会构成一个直角三角形。U_C、U_D、U_E也会构成一个三角形，但不一定有直角。这并非意味着KVL不再成立，如果能测量某一时刻的瞬时值u，会发现u_R=u_E-u_L，u_C=u_D-u_E。另外，虽然没有测量电流，但U_R的变化和电流变化是同相位的。

正弦信号作用时，感抗X_L=ωL，容抗X_C=(ωC)^-1，两者相等的状态为谐振状态，此时可以算出一个谐振角频率ω₀，接下来我准备设定参数制作0.5ω₀，ω₀，2ω₀时，电压的相初始时刻的相量图、静态的正弦图以及电压瞬时值变化的动画。

模型参数：

U=6.00mV、R=2.00Ω（电流有效值小于3.00mA，一般不会烧元件）

C=125μF、L=0.500mH、可算出：ω₀=4000rad/s

（此时 f 约为637Hz，为方便建模，忽略电磁波辐射效应。相量图和正弦图里都是用的有效值，若考虑最大值则需要乘1.414）

一.0.5ω₀的情况

计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图：

分析：

1.电流可以根据u_R与R算出，最大值约1.57mA，一般不会烧元件。

2.相量图中U、U_L、U_R、U_C构成直角梯形，且符合相量加法。直角梯形的另外一条对角线就是我没有考虑的U_DF。

对于RLC串联电路，ω较小时，X_L较小，串联分压U_L也较小，X_C较大，串联分压U_C也较大。这种情况下，u_C最大值大于电源电压最大值，有可能导致电容损坏。

3.从电容充放电的角度分析：u_C大于零时的状态为电容的正向充电和正向放电过程，u_C小于零时的状态为电容的反向充电和反向放电过程。根据相量图，u_C滞后u_D约30°，根据正弦图，电容的充电开始于u_D的上升阶段。u_D开始下降时，u_E会以更快的速度下降，相当于电感在拉电容负极板的正电荷，维持电容的充电状态。一直持续到u_R为0，充电电流为0时，充电才结束。这时u_C最大值已经大于电源电压最大值了，如果不注意很有可能炸电容。

4.正弦图横坐标为时间，每一时刻u_R=u_E-u_L，u_C=u_D-u_E都成立。

5.静态的正弦图包含了下面动画里的信息，但是一般的人不一定能联想到这一点。右方电压的大小为左方相量在虚轴的投影长度，由于是两个gif，时间久了不一定能对应起来。u_L是孤独的领跑者，看上去和u_F成双结对，其实后者只是他的影子。

二.ω₀的情况

计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图：

分析：

1.电流可以根据u_R与R算出，最大值约4.24mA，一般不会烧元件。

2.相量图中U、U_L、U_R、U_C构成正方形，且符合相量加法。对于RLC串联电路，谐振时，X_L与X_C相等，串联分压U_L与U_C也相等。这种情况下，u_E最大值大于电源电压最大值，但不清楚会对元件有什么影响。

因为参数设置的问题，这里的X_L、X_C大小与R相等了，这只是个巧合。改变R的大小后U_R不会变，从正弦图中也能看出，u_L、u_C互相抵消导致瞬时值u_R、u_D完全重合。但电流会变，将导致u_L、u_C振幅同时增大或减小，有可能大于总电压，也有可能小于总电压。最终U、U_L、U_R、U_C四个电压相量将构成矩形。u_E达到最大值时，u_R、u_L恰好相等也只是巧合，改变R的大小后两者将不再相等。

如果R不变，RLC串联谐振时阻抗最小，电流最大。估计是受到了“电流最大”的影响产生的，画图之前我有：“RLC串联谐振时，U_L、U_C远大于总电压U”的观点，加个“有可能”会更好一点。而且如其他两种情况所示，即使不在谐振状态，U_L或U_C也有可能大于总电压U。（此段根据在3楼的留言做出了修改。）

3.从电容充放电的角度分析：根据相量图，u_C滞后u_D恰好90°，根据正弦图，电容的充电开始于u_D达到最大值并开始下降的时刻。u_R、u_D为0时，充电电流为0，充电结束。由于充电开始得太晚，所以u_C的最大值没有第一种情况那么大。

4.正弦图横坐标为时间，每一格的时间为第一种情况的一半。每一时刻u_R=u_E-u_L，u_C=u_D-u_E都成立。

5.时间动画如下：U_D与U_R最大值相等、U_L与U_C最大值相等。但由于参数的问题，四个电压最大值都相等了。下方是左右两个gif，时间久了不一定能对应起来。

三.2ω₀的情况

计算后可以画出初始时刻的相量图和静态的正弦图：

分析：

1.电流可以根据u_R与R算出，最大值约1.57mA，一般不会烧元件。

2.相量图中U、U_L、U_R、U_C构成直角梯形，且符合相量加法。对于RLC串联电路，ω较大时，X_L较大，串联分压U_L也较大，X_C较小，串联分压U_C也较小。这种情况下，u_L、u_E最大值均大于电源电压最大值，不清楚u_L太大是否会导致电感损坏。

3.从电容充放电的角度分析：根据相量图，u_C滞后u_D约150°，根据正弦图，电容的充电开始于u_D下降到约最大值一半的时刻。u_R、u_D为0时，充电电流为0，充电结束。由于充电开始得太晚，所以u_C的最大值比第二种情况还要小。

4.正弦图横坐标为时间，每一格的时间为第二种情况的一半。每一时刻u_R=u_E-u_L，u_C=u_D-u_E都成立。

5.时间动画如下：下方是左右两个gif，时间久了不一定能对应起来。右图中，u_C因为滞后太多，大部分时间是自己一个电压孤零零的位于横坐标的一方追着u_R，看着有点心酸。刹那的相逢，一生的追逐……

后记----------------------

1.u_L小于零时的状态为电感的正向放磁和反向充磁过程，u_L大于零时的状态为电感的反向放磁和正向充磁过程。可以试着从这个角度分析u_L或电流的变化，下周试着做个RLC并联的好了。

2.一直不知道是谁第一个提出相量法，只到看了这个链接才知道是德国人C.P.施泰因梅茨（1865~1923）于1893年提出。

3.电工里的相量是相位复矢量，英文应该是complexor，只有二维。

相量的英文还有phasor，应该是那种横坐标x，纵坐标v的相量吧。

矢量的英文是vector，一维到n维都可以，三者还是有些区别。

另外，有的教材写的“向量”应该是矢量而不是相量。

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这次的动画用的是几何画板，是以前一个教数学的聪明的小姐姐介绍给我的。如果看这篇博文的是女生，可以试着把这个软件介绍给明年新来的学弟。软件网址

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